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王老師說(shuō)

圓錐曲線一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，今天王老師幫大家整理了高中三年考試的?？碱}型與解題要點(diǎn)，附經(jīng)典例題和解析，希望能對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題
圓錐曲線中的雙切線問題解題技巧
圓錐曲線中選填壓軸之距離問題
圓錐曲線中的壓軸題切線問題
圓錐曲線中的選填壓軸之面積問題
圓錐曲線中的選填壓軸之角度問題

圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題

【方法點(diǎn)撥】

『技巧一』方程： $mx^2+ny^2=1$ ，①當(dāng) $m,n>0$ 且 $m≠n$ 時(shí)，表示橢圓；②當(dāng) $m,n>0$ 且 $m=n$ 時(shí)，表示圓；③當(dāng) $m,n$ 異號(hào)時(shí)，表示雙曲線。

點(diǎn)差法：答題規(guī)范模板：

step1：設(shè)直線與曲線：設(shè)直線 $l:y=kx+t$ 與曲線： $mx^2+ny^2=1$ 交于兩點(diǎn) $A$ 、 $B$ ，中點(diǎn)為 $P(x_0,y_0)$ ，則有 $A$ 、 $B$ 既在直線 $l:y=kx+t$ 上又在曲線 $mx^2+ny^2=1$ 上，設(shè) $A(x_1,y_1)$ , $B(x_2,y_2)$

Step2：代入點(diǎn)坐標(biāo)：即 $\left\{ \begin {array}{rcl} y_1=kx_1+t \\ y_2=kx_2+t \end {array}\right.$ ; ；

Step3：作差得出結(jié)論：（1）-（2）得： (作為公式記住，在小題中直接用。)

【技巧二】拋物線中點(diǎn)弦問題。

『秒殺策略』：拋物線：① $y^2=2px\Rightarrow y_0\cdot k=p$ 。

簡(jiǎn)答題步驟規(guī)范模板：

方法一：

①設(shè)直線 $AB$ 的方程；

②直線與曲線聯(lián)立，整理成關(guān)于 $x$ (或 $y$ )的一元二次方程；

③寫出根與系數(shù)的關(guān)系；

④利用 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2},y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$ ，把根與系數(shù)的關(guān)系代入。

方法二：點(diǎn)差法：

step1：設(shè)直線 $l:y=kx+t$ 與曲線： $y^2=2px$ 交于兩點(diǎn) $A$ 、 $B$ ，中點(diǎn)為 $P(x_0,y_0)$ ，則有 $A,B$ 既在直線上又在曲線上，設(shè) $A(x_1,y_1)$ , $B(x_2,y_2)$

Step2：代入點(diǎn)坐標(biāo)：即 $\left\{ \begin {array}{rcl} y_1=kx_1+t \\ y_2=kx_2+t \end {array}\right.$ ， $\left\{ \begin {array}{rcl} y_1^2=2px_1 \\y_2^2=2px_2 \end {array}\right.$ ；

Step3：作差得出結(jié)論：（1）-（2）得： $y^2=2px\Rightarrow y_0\cdot k=p$ (作為公式記住，在小題中直接用。)

同理可推出其余三類方程的中點(diǎn)弦結(jié)論：

② $y^2=-2px\Rightarrow y_0\cdot k=-p$ 。

③ $x^2=2py\Rightarrow x_0=p\cdot k$ 。

④ $x^2=-2py\Rightarrow x_0=-p\cdot k$ 。

【題型1】：求值，利用結(jié)論求k或斜率乘積定值。

【答案】D

【解析】

【答案】B

【解析】

結(jié)論：平行直線系，過(guò)橢圓中心（原點(diǎn)）時(shí)弦長(zhǎng)最大。

【題型2】：求當(dāng) $k_{AB}$ 為定值時(shí)，平行弦中點(diǎn)軌跡。

法一：直線與曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出中點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)方程，消參數(shù)即得中點(diǎn)弦軌跡方程。

法二：利用點(diǎn)差法得： $k_{AB}\cdot\frac{y_0}{x_0}=-\frac{m}{n}$ ，即 $y=-\frac{m}{kn}x$ （過(guò)原點(diǎn)的直線在曲線內(nèi)部的部分）。

【解析】

【題型3】：求當(dāng)直線 $l$ 恒過(guò)一定點(diǎn) $(e,f)$ 時(shí)，得定點(diǎn)弦中點(diǎn)軌跡：利用 $k_{AB}=\frac{y_0-f}{x_0-e}$ 消去 $k_{AB}$ 。

法一：直線與曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出中點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)方程，消參數(shù)即得中點(diǎn)弦軌跡方程。

法二：利用點(diǎn)差法得： $k_{AB}\cdot\frac{y_0}{x_0}=-\frac{m}{n}$ ，即 $\frac{y_0-f}{x_0-e}\cdot\frac{y_0}{x_0}=-\frac{m}{n}$ 。

【解析】

【技巧二】拋物線中點(diǎn)弦問題。

『秒殺策略』：拋物線：① $y^2=2px\Rightarrow y_0\cdot k=p$ 。

簡(jiǎn)答題步驟規(guī)范模板：

方法一：

①設(shè)直線 $AB$ 的方程；

②直線與曲線聯(lián)立，整理成關(guān)于 $x$ (或 $y$ )的一元二次方程；

③寫出根與系數(shù)的關(guān)系；

④利用 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2},y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$ ，把根與系數(shù)的關(guān)系代入。

方法二：點(diǎn)差法：

Step3：作差得出結(jié)論：（1）-（2）得： $y^2=2px\Rightarrow y_0\cdot k=p$ (作為公式記住，在小題中直接用。)

同理可推出其余三類方程的中點(diǎn)弦結(jié)論：

② $y^2=-2px\Rightarrow y_0\cdot k=-p$ 。

③ $x^2=2py\Rightarrow x_0=p\cdot k$ 。

④ $x^2=-2py\Rightarrow x_0=-p\cdot k$ 。

【題型4】：求值(求k或p)。

【答案】 $y=x$

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】2

【解析】

【答案】 $\pm1$

【解析】

圓錐曲線的雙切線問題處理技巧

【方法點(diǎn)撥】

這類試題主要的點(diǎn)在算理，即計(jì)算中如何合理的處理雙切線，我總結(jié)如下：已知曲線外一點(diǎn)

A(x_0,y_0)

,向二次曲線

E

引兩條切線

AB,AC

，設(shè)

B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)

第1步：分別寫出切線

AB,AC

的方程（注意斜率）；

第2步：聯(lián)立

AB,AC

與曲線

E

的方程，利用相切條件，得到代數(shù)關(guān)系①，②式，從而以

A(x_0,y_0)

的

x_0

或

y_0

坐標(biāo)為參數(shù)，進(jìn)一步構(gòu)造點(diǎn)

B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)

橫或縱坐標(biāo)滿足的同構(gòu)方程方程③；

第3步：利用方程③根與系數(shù)的關(guān)系判斷

B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)

與曲線的位置關(guān)系，或完成其他問題.

【典例賞析】

（2021甲卷）已知拋物線

C

的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)

O

，焦點(diǎn)在

x

軸上，直線

l:x=1

交

C

于

P,Q

兩點(diǎn)，且

OP⊥OQ

.已知點(diǎn)

M(2,0)

，且?

M

與

l

相切.

（1）求

C

，?

M

的方程；

（2）設(shè)

A_1,A_2,A_3

是

C

上的三個(gè)點(diǎn)，直線

A_1A_2 ,A_1A_3

均與?

M

相切，判斷直線

A_2A_3

與?

M

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【解析】

（1）設(shè)

C

的方程為

y^2=2px,p>0

，

由對(duì)稱性可知，

|OP|=|OQ|

，并假設(shè)點(diǎn)

P

在第一象限，點(diǎn)

Q

在第四象限，

故直線

l:x=1

將代入拋物線方程解得：

y_P=\sqrt{2p},y_Q=-\sqrt{2p}

，

又因?yàn)?span>

OP⊥OQ

，故

k_{OP}\cdot k_{OQ}=-1

，即

\frac{y_P}{x_P}\cdot \frac{y_Q}{xQ}=-1

代入點(diǎn)

P,Q

坐標(biāo)可得：

p=\frac{1}{2}

，

故

C

的方程為

y^2=x

再由直線

l:x=1

與?

M

相切可得?

M

：

(x-2)^2+y^2=1

（2）直線

A_2A_3

與?

M

相切.

理由如下：

假設(shè)直線

A_1A_2 ,A_1A_3

的斜率都存在，設(shè) ，

則可得

A_1A_2

的方程為：，整理可得：

x-(y_0+y_1)y+y_0y_1=0

，

由直線

A_1A_2

與?

M

相切得：

\frac{|2+y_0y_1|}{\sqrt{1+(y_0+y_1)^2}}=1

，整理得： ①

同理：

A_1A_3

的方程為

x-(y_0+y_2)y+y_0y_2=0

，

由

A_1A_3

與?

M

相切，即 ②.

由①，②可知

y_1,y_2

分別是下列方程的兩根， ③.

若

y_0^2-1=0

，代入③式得：

y=\pm1

，

與

A_1,A_2,A_3

是三個(gè)不重合的點(diǎn)矛盾，故

y_0^2-1≠0

，

則

y_1+y_2=\frac{-2y_0}{y_0^2-1}

y_1y_2=\frac{3-y_0^2}{y_0^2-1}

④,

最后，由于

A_2A_3

直線的方程為

x-(y_1+y_2)y+y_1y_2=0

，

那么圓心

M

到直線

A_2A_3

的距離為

d=\frac{2+y_1y_2}{\sqrt{1+(y_1+y_2)^2}}

，

代入④式得：

d=\frac{{y_0^2+1}}{\sqrt{({y_0^2+1})^2}}=1

故直線

A_2A_3

與?

M

相切.

當(dāng)直線

A_1A_2 ,A_1A_3

的斜率有一條不存在時(shí)，根據(jù)?

M

的位置關(guān)系可知，此時(shí)切線要么為

x=1

，要么為

x=3

不妨假設(shè)當(dāng)

A_1A_2

切線為

x=1

時(shí)，那么此時(shí)切線

A_1A_3

為

y=1

，不合題意.

假設(shè)當(dāng)

A_1A_2

切線為

x=3

時(shí)，可取兩點(diǎn)坐標(biāo)為

A_1(3,\sqrt{3}),A_2(3,-\sqrt{3})

，

設(shè)切線

A_1A_3

的方程為

y-\sqrt{3}=t(x-3)

，其與?

M

相切，故

\frac{|2t+\sqrt{3}-3t|}{\sqrt{1+t^2}}=1

,得

t=\frac{\sqrt{3}}{3}

即此時(shí)，切線

A_1A_3

，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)與?

M

相切，即

A_3(0,0)

這樣：

A_2A_3

的方程為：

y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x

，與

A_1A_3

關(guān)于

x

軸對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性可知

A_2A_3

與?

M

相切，綜上所述，直線

A_2A_3

與?

M

相切.

變式1. （2020成都三診）．已知橢圓

C

：

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)

的左焦點(diǎn)

F_1(-\sqrt{3},0)

，點(diǎn)

Q(1,\frac{\sqrt{3}}{2})

在橢圓

C

上.

（1）求橢圓

C

的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過(guò)圓

O

：

x^2+y^2=5

上一動(dòng)點(diǎn)

P

作橢圓

C

的兩條切線，切點(diǎn)分別記為

A

，

B

，直線

PA

，

PB

分別與圓

O

相交于異于點(diǎn)

P

的

M

，

N

兩點(diǎn).

（i）求證：

\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=0

；

（ii）求

△OAB

的面積的取值范圍.

【解析】

（1）∵橢圓

C

的左焦點(diǎn)

F_1(-\sqrt{3},0)

，

∴

c=\sqrt{3}

將

Q(1,\frac{\sqrt{3}}{2})

代入

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

，得

\frac{1}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1

又

a^2-b^2=3

，

∴

a^2=4,b^2=1

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

\frac{x^2}{4}+y^2=1

（2）（i）設(shè)點(diǎn)

P(x_0,y_0)

①當(dāng)直線

PA

，

PB

的斜率都存在時(shí)，

設(shè)過(guò)點(diǎn)

P

與橢圓

C

相切的直線方程為

y=k(x-x_0)+y_0

由，消去

y

，

得 .

令

\Delta=0

，整理得 .

設(shè)直線

PA

，

PB

的斜率分別為

k_1,k_2

∴

k_1k_2=\frac{1-y_0^2}{4-x^2}

又

x_0^2+y_0^2=5

，∴ .

∴

PM⊥PN

，即為圓

O

的直徑，

∴

\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=0

②當(dāng)直線

PA

或

PB

的斜率不存在時(shí)，

不妨設(shè)

P(2,1)

，則直線

PA

的方程為

x=2

∴

M(2,-1)

，

N(-2,1)

，也滿足

\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=0

綜上，有

\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=0

（ii）設(shè)點(diǎn)

A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)

當(dāng)直線

PA

的斜率存在時(shí)，設(shè)直線

PA

的方程為

y=k_1(x-x_1)+y_1

由，消去

y

，

得

令

\Delta=0

，整理得 .

則

∴直線

PA

的方程為

y=-\frac{x_1}{4y_1}(x-x_1)+y_1

化簡(jiǎn)可得

x_1x+4y_1y=x_1^2+4y_1^2=4

，即

\frac{xx_1}{4}+yy_1=1

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)直線

PA

的斜率不存在時(shí)，

直線

PA

的方程為

x=2

或

x=-2

，也滿足

\frac{xx_1}{4}+yy_1=1

同理，可得直線

PB

的方程為

\frac{xx_2}{4}+yy_2=1

∵

P(x_0,y_0)

在直線

PA

，

PB

上，即

\frac{xx_0}{4}+yy_0=1

，

\frac{xx_0}{4}+yy_0=1

∴直線

AB

的方程為

\frac{xx_0}{4}+yy_0=1

由，消去

y

，得 .

∴

x_1+x_2=\frac{8x_0}{3y_0^2+5}

，

x_1x_2=\frac{16-16y_0^2}{3y_0^2+5}

又點(diǎn)

O

到直線

AB

的距離 .

∴ .

令

\sqrt{3y_0^2+1}=t

，

t\in[1,4]

則 .

又

\frac{4}{t}\in[4,5]

，

∴

△OAB

的面積的取值范圍為

[\frac{4}{5},1]

圓錐曲線選填壓軸之距離

【方法點(diǎn)撥】

1.距離的幾何意義：

（1）數(shù)軸上的距離： $|x_1-x_2|,|y_1-y_2|$ （終點(diǎn)減去起點(diǎn)的絕對(duì)值）

（2）平面內(nèi)的距離： $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ （構(gòu)造直角三角形證明）

（3）三角形的邊的關(guān)系： $||a|-|b||\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|$

2.距離的代數(shù)表達(dá)：

（1）點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式：

（2）點(diǎn)到直接的距離公式： $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ ，

（3）兩條平行線的距離公式： $d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ .

【基本方法】

1.幾何轉(zhuǎn)化法：充分利用代數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為幾何意義；

2.坐標(biāo)轉(zhuǎn)化法：充分利用點(diǎn)和線段的坐標(biāo)化，將幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題；

3.構(gòu)造函數(shù)法：恰當(dāng)引入?yún)?shù)，建立函數(shù)關(guān)系，求解與距離相關(guān)的最值問題.

【典例賞析】

類型一直接利用距離轉(zhuǎn)化

【答案】A

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】A

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】A

【解析】

類型二將距離問題轉(zhuǎn)化坐標(biāo)運(yùn)算

【答案】D

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】C

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】A

【解析】

【答案】B

【解析】

三．利用距離的幾何意義求解

【答案】A

【解析】

【答案】D

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】A

【解析】

【答案】A

【解析】

【答案】B

【解析】

法一：

法二：

【答案】B

【解析】

圓錐曲線壓軸題之切線問題

綜述

圓錐曲線的切線問題有兩種處理方法：

方法1：導(dǎo)數(shù)法，將圓錐曲線方程化為函數(shù)

y=f(x)

，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)

y=f(x)

在點(diǎn)

(x_0,y_0)

處的切線方程，特別是焦點(diǎn)在

y

軸上常用此法求切線；

方法2：根據(jù)題中條件設(shè)出切線方程，將切線方程代入圓錐切線方程，化為關(guān)于（或y）的一元二次方程，利用切線與圓錐曲線相切的充要條件為判別式

△=0

，即可解出切線方程，注意關(guān)于

x

（或y）的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件，圓錐曲線的切線問題要根據(jù)曲線不同，選擇不同的方法

與切線有有關(guān)的結(jié)論：

1.橢圓的切線方程：橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 上一點(diǎn) $P(x_0,y_0)$ 處的切線方程是 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ ；橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 外一點(diǎn) $P(x_0,y_0)$ 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ .

2.雙曲線的切線方程：雙曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 上一點(diǎn) $P(x_0,y_0)$ 處的切線方程是 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$ ；雙曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 外一點(diǎn) $P(x_0,y_0)$ 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$ .

3.拋物線的切線方程：拋物線 $y^2=2px\ \ (p>0)$ 上一點(diǎn)處的切線方程是 $y_0y=p(x_0+x)$ ；拋物線 $y^2=2px\ \ (p>0)$ 外一點(diǎn) $P(x_0,y_0)$ 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 $y_0y=p(x_0+x)$ .

4.設(shè)拋物線 $C$ $y^2=2px\ \ (p>0)$ 的焦點(diǎn)為 $F$ ，若過(guò)點(diǎn) $P$ 的直線 $PA,PB$ 分別與拋物線 $C$ 相切于 $A,B$ 兩點(diǎn)，則 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

5.設(shè)橢圓 $C$ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 的焦點(diǎn)為 $F$ ，若過(guò)點(diǎn) $P$ 的直線 $PA,PB$ 分別與橢圓 $C$ 相切于 $A,B$ 兩點(diǎn)，則 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

6.設(shè)雙曲線 $C$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 的焦點(diǎn)為 $F$ ，若過(guò)點(diǎn) $P$ 的直線 $PA,PB$ 分別與雙曲線 $C$ 相切于 $A,B$ 兩點(diǎn)，則 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

【典例賞析】

（一）與圓有關(guān)的切線問題

【解析】

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