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【圓錐曲線】圓錐曲線壓軸題之切線問題

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小π，怎么下載（可編輯Word版）【圓錐曲線】圓錐曲線壓軸題之切線問題？

小π在呢，方法在文末哦！

綜述

圓錐曲線的切線問題有兩種處理方法：

方法1：導數法，將圓錐曲線方程化為函數

y=f(x)

，利用導數法求出函數

y=f(x)

在點

(x_0,y_0)

處的切線方程，特別是焦點在

y

軸上常用此法求切線；

方法2：根據題中條件設出切線方程，將切線方程代入圓錐切線方程，化為關于（或y）的一元二次方程，利用切線與圓錐曲線相切的充要條件為判別式

△=0

，即可解出切線方程，注意關于

x

（或y）的一元二次方程的二次項系數不為0這一條件，圓錐曲線的切線問題要根據曲線不同，選擇不同的方法

與切線有有關的結論：

1.橢圓的切線方程：橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 上一點 $P(x_0,y_0)$ 處的切線方程是 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ ；橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 外一點 $P(x_0,y_0)$ 所引兩條切線的切點弦方程是 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ .

2.雙曲線的切線方程：雙曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 上一點 $P(x_0,y_0)$ 處的切線方程是 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$ ；雙曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 外一點 $P(x_0,y_0)$ 所引兩條切線的切點弦方程是 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$ .

3.拋物線的切線方程：拋物線 $y^2=2px\ \ (p>0)$ 上一點處的切線方程是 $y_0y=p(x_0+x)$ ；拋物線 $y^2=2px\ \ (p>0)$ 外一點 $P(x_0,y_0)$ 所引兩條切線的切點弦方程是 $y_0y=p(x_0+x)$ .

4.設拋物線 $C$ $y^2=2px\ \ (p>0)$ 的焦點為 $F$ ，若過點 $P$ 的直線 $PA,PB$ 分別與拋物線 $C$ 相切于 $A,B$ 兩點，則 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

5.設橢圓 $C$ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 的焦點為 $F$ ，若過點 $P$ 的直線 $PA,PB$ 分別與橢圓 $C$ 相切于 $A,B$ 兩點，則 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

6.設雙曲線 $C$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 的焦點為 $F$ ，若過點 $P$ 的直線 $PA,PB$ 分別與雙曲線 $C$ 相切于 $A,B$ 兩點，則 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

【典例賞析】

（一）與圓有關的切線問題

【解析】

（2）（i）本題有兩種解法：

（方法一）：橢圓和圓有公切線時求點

P

的坐標，可先設公切線方程為

y=kx+b

然后根據直線分別與圓和橢圓相切求出的

k,b

值，再求出點

P

的坐標，這個方法很容易想到，但是需要兩次計算相切時的條件。

（方法二）：題目中讓求點

P

的坐標，不如一開始就設出點

P

的坐標，利用點

P

的坐標表示出切線方程，然后直線與橢圓聯(lián)立，

△=0

即可求出點

P

的坐標。

這里我們選用第二種方法：

（ii）分析：第二問由于

△OAB

的高即為圓的半徑，故由面積可以得出弦長

AB

的值，根據弦長再求出直線方程，最容易想到的就是設出直線方程

y=kx+b

，根據直線與圓相切可得

b^2=3k^2+3

，然后直線與橢圓聯(lián)立，根據韋達定理寫出弦長公式，將

k

或

b

轉化成一個，求出即可，但是計算過程很麻煩，下面給出同一個方法的兩種不同解法：

注意此處，根據韋達定理得出的兩根和與積的形式本來很復雜，如果利用上式還需要進行平方，再將 $b$ 轉化為 $k$ 的形式計算起來相當復雜，因此我們要想辦法避開平方，因此不如直接根據直線與橢圓聯(lián)立的方程解出兩根，再利用弦長公式，就可以避開平方的出現(xiàn)，解法也會簡單一些。

（二）與橢圓有關的切線問題

【解析】

【答案】A

【解析】

（三）與拋物線有關的切線問題

【解析】

【答案】D

【解析】

【提高訓練】（共7道題）

【答案】 $2\sqrt{2}$

【答案】 $\sqrt{3}+1$

【答案】C

【解析】

【答案】B

【解析】

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