2022年高考數(shù)學(xué)理科全國乙卷的立體幾何問題,讓老黃在解題過程中學(xué)到了新的數(shù)學(xué)知識(shí)。建議大家每天花點(diǎn)時(shí)間學(xué)習(xí)一下,學(xué)習(xí)不會(huì)耽誤您!
如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點(diǎn).
(1)證明:平面BED⊥平面ACD;
(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60度,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),求CF與平面ABD所成的角的正弦值.
其實(shí)只要有好的空間想象能力,并且掌握立體幾何的一些基本定理,立體幾何是一點(diǎn)也不難的。但如果空間想象能力差,并且記不住一些基本定理,或者不會(huì)應(yīng)用的話,那立體幾何問題就無異于天書一般了。這一切能力,都是要靠平時(shí)努力得來的。當(dāng)年老黃就是不努力,現(xiàn)在回想起來,全是“后悔”!下面老黃會(huì)給大家留下大量打老黃的臉的機(jī)會(huì),看看您有沒有機(jī)會(huì)和本事打到老黃的臉!
分析:(1)第一小題要運(yùn)用“平面內(nèi)一條直線垂直于另一個(gè)平面,則兩個(gè)平面互相垂直”的定理。由于老黃這些立體幾何定理全是靠自己“連蒙帶猜加推理”出來的,所以語言上可能會(huì)有些不規(guī)范,請自行對照教材的定理。這個(gè)定理教材上一定有的。
而要證明一條直線垂直于另一個(gè)平面,就要通過“垂直于相交線的直線,也垂直于相交線所在的平面”這個(gè)定理來判定。因此,目標(biāo)是證明兩條相交線同時(shí)垂直于一條直線AC。
這就要運(yùn)用到“等腰三角形底邊中線也是底邊上的高”這個(gè)“三線合一”的初中數(shù)學(xué)定理了。這個(gè)定理很好用,但熟練應(yīng)用的人真不多。初中的定理老黃是滾瓜爛熟的。
也就是說,我們需要兩個(gè)等腰三角形,其中一個(gè)等腰三角形ACD是已知的,另一個(gè)可以通過證明三角形ADB和三角形CDB全等來實(shí)現(xiàn)。
上面運(yùn)用的是逆向思維,現(xiàn)在正向邏輯組織過程,就是證明:全等三角形->等腰三角形->同底兩高->線面垂直->面面垂直。不看下面的解題過程,您能自己解決了嗎?
(2)有兩種方法可以選擇,一種是建系,然后用向量的知識(shí)解決的代數(shù)法,一種是幾何法。這次老黃選擇幾何法。參考答案用的是代數(shù)法。
首先把圖中AC,BC,AB,BD,AD,CD,DE各邊的長都求出來,這些都是很好求的,因?yàn)槠渲杏械冗吶切蜛BC和等腰直角三角形ACD,利用它們的邊的關(guān)系,就很容易得到它們的長了。
而解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是:當(dāng)三角形AFC的面積最小時(shí),F(xiàn)點(diǎn)的位置應(yīng)該在哪里?由于F是BD上的動(dòng)點(diǎn),所以這個(gè)點(diǎn)有點(diǎn)捉摸不定。三角形AFC有一條底邊AC是不變的,如果是平面幾何問題,就好辦了,只要根據(jù)“點(diǎn)到線的距離垂線段最短”,立即可以解決。偏偏這是一個(gè)立體幾何問題,在BD上任一點(diǎn),都會(huì)有一條到AC的垂線段,那么這些垂線段中,又是哪一條最短呢?
這是老黃所不懂的,因?yàn)槔宵S一輩子也沒有接觸過這個(gè)問題,也不知道現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中有沒有這樣的定理。得虧這里的BD和AC互相垂直,因此老黃觀察之后,又開始“連蒙帶猜加推理”得到一個(gè)老黃今生第一次接觸到的立體幾何定理,描述起來還挺不方便的,就是“不在同一平面且互相垂直的兩條直線BD和AC,其中一條直線BD上一點(diǎn)F,與另一條直線AC構(gòu)成的面,與第一條直線BD互相垂直時(shí),這個(gè)點(diǎn)F是第一條直線BD上各點(diǎn)到另一條直線AC的最小距離”。您敢說老黃這個(gè)定理不對?它就是正確的啦!
不知道兩條直線不互相垂直時(shí)是個(gè)什么情況,有時(shí)間老黃再繼續(xù)“蒙猜推”一下看看。
有了上面的定理,同時(shí)也就可以得到CF與平面ABD的所成的角,這個(gè)角就是角AFC,而它是一個(gè)等腰三角形,因?yàn)樗膬蛇匒F和CF是全等三角形的對應(yīng)高。底邊AC已求,而AF和CF所在的三角形的三邊都已求,就可以求它們的長?,F(xiàn)在有了三角形AFC的三邊,就可以利用余弦定理求得角AFC的余弦值,再根據(jù)余弦和正弦的關(guān)系,求得最后的答案。不看下面的解題過程,您能自己解決了嗎?
好了,現(xiàn)在老黃來組織解題過程了。
(1)證明:∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ADB≌△CDB,
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),∴DE⊥AC,BE⊥AC, ∴AC⊥平面BED,
又AC?平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.
(2)解:依題意,AC=BC=AB=BD=2,AD=CD=根號(hào)2,DE=AC/2=1,
當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),BD⊥平面AFC;【為什么?讓批卷老師自己猜去,又不是證明題,您不需要告訴他為什么】
∠AFC就是CF與平面ABD所成的角;
設(shè)DF=x, 則BF=BD-DF=2-x,
2-x^2=4-(2-x)^2, 解得:x=1/2. CF=AF=根號(hào)(2-x^2)=根號(hào)7/2.
cos∠AFC=(AF^2+CF^2-AC^2)/(2AF*CF)=-1/7,
sin∠AFC=根號(hào)(1-(cos∠AFC)^2)=4根號(hào)3/7.
那么高考數(shù)學(xué)中,這種“連蒙帶猜加推”的方法,能不能用?為什么不能?就怕您沒有這個(gè)本身 。老黃當(dāng)年高考中,所有的數(shù)學(xué)公式公理,都是現(xiàn)推現(xiàn)用的。不過全靠這招,的確不太夠用,書上的知識(shí),還是要掌握??!
老黃最后再秀一把,剛才不是說老黃有空再探究兩條直線不在同一平面且不互相垂直的情況下,一條直線上的一點(diǎn)到另一條直線的最短距離嗎?老黃這篇文章還沒寫完,就已經(jīng)“蒙猜推理”出來了。兩條不在同一平面的直線(不論垂不垂直)的最短距離,在它們的共同垂線上。怎么樣,現(xiàn)在這個(gè)定理足夠簡單了吧?所以其實(shí)上題中F到AC的最小距離,就是當(dāng)CD垂直于平面ACF時(shí)的EF的長。(自娛自樂,開心就好)
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