和大一新生談學(xué)好高等數(shù)學(xué)之二
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前言：數(shù)學(xué)是大學(xué)學(xué)習(xí)生涯中要過好的第一道坎。
學(xué)好高等數(shù)學(xué)，究竟有沒有什么訣竅，或者說特殊的方法？以我之見說“有”也對，就是勤學(xué)苦練多做題；說“沒有”也對，想走不花力氣的捷徑是不可能的。
不要相信天花亂墜的所謂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法或高分秘訣。
講者滔滔不絕，頭頭是道，其實都是夸夸奇談。聽了好象很有啟發(fā)，其實一點都沒有好處。
所謂的技巧，也都不過是一些雕蟲小技而已。
以我之見，與其花時間去研究10種不同的高數(shù)學(xué)習(xí)方法，還不是花時間去熟悉10種不同的數(shù)學(xué)題型,“不熟焉能生巧”。
認(rèn)真學(xué)過高等數(shù)學(xué)的學(xué)生（參加過數(shù)學(xué)考研的學(xué)生）都知道，一元微分學(xué)最難，一元積分學(xué)其次。高等數(shù)學(xué)的上冊學(xué)好了，下冊多元函數(shù)應(yīng)該不成問題了。
可是現(xiàn)在大家的感覺恰恰是相反，可以說，這完全與教學(xué)內(nèi)容無關(guān)。
剛進(jìn)入大學(xué)校門，大家都有幾分熱情，花在學(xué)習(xí)上的時間也比較多，一點小聰明還在，最難的一元微分學(xué)雖然學(xué)得很累，期中考試也都通過了。
可是到了下半個學(xué)期，及至下半年，不少人熱情不再，一點小聰明資本也基本用完了，時間也都不知道花在了什么地方了。
這樣的狀態(tài)下，還能學(xué)得好，就是件怪事。
總之，我認(rèn)為學(xué)好高等數(shù)學(xué)，不在于你的天資（潛力），而在于你的勤奮（努力）。
在今天開學(xué)第一天，我想對愿意努力的同學(xué)說：如果你自始至終能夠切切實實按我對你的如下要求去行動。我就不相信一年后還不會有“我努力了，但是我還是沒有學(xué)好”的哀嘆。否則，你把預(yù)習(xí)筆記和課堂筆記拿給我看。
一．聽課，要注于專心
認(rèn)真聽課，這是個不言而喻的道理。所以就不多談了，這里只談?wù)動浌P記的事。要學(xué)好高等數(shù)學(xué)，一定要學(xué)會記筆記。
記筆記會使聽課更專注，也能幫你有效地進(jìn)行課外的復(fù)習(xí)鞏固。
有些同學(xué)不會記筆記，只要是老師所講，言無輕重、話無巨細(xì)，統(tǒng)統(tǒng)照記不誤，耳、眼、手忙得不亦樂乎，累得還哪里顧得上同步思考，如果是這個樣子，倒還不如不記。
課堂筆記沒必要追求齊全、講究系統(tǒng)。只要有選擇、有重點地記就可以了。但是課后復(fù)習(xí)時，一定要對筆記進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼硌a(bǔ)充，這就是一本好筆記。如果能再加上自己的心得體會與點評，那就是筆記的極品了。
如果預(yù)習(xí)得好，那么對哪些該記、哪些可不記，也會更有的放矢。
現(xiàn)在多數(shù)老師上課都用上了多媒體課件，但誰也不會是照屏宣科，精彩之處常在屏外的補(bǔ)充與發(fā)揮之中。這些補(bǔ)充與發(fā)揮之處尤其要詳細(xì)地記。
二．復(fù)習(xí)，要做到精心
在整個學(xué)習(xí)的過程中，復(fù)習(xí)是最重要的環(huán)節(jié)，有專家研究過所謂的“知識遺忘規(guī)律”有近快遠(yuǎn)慢的現(xiàn)象。學(xué)得越快越多，忘得也越快越多。
所以剛學(xué)的東西，一下課就要及時復(fù)習(xí)，這叫“鞏固記憶” ；期中考試再復(fù)習(xí)，這叫“加深記憶” ；期末考試系統(tǒng)地總復(fù)習(xí)，這叫“強(qiáng)化記憶” 。
對于搞數(shù)學(xué)教學(xué)的我，想把“知識遺忘規(guī)律”總結(jié)為“知識記憶的指數(shù)衰減律” 。于是得到下面兩個公式，第一個公式是
y＝A exp(－kt)，
我想把它稱為“龔氏第一公式” ，具體地說就是“復(fù)習(xí)記憶公式” ，其中A為初始學(xué)習(xí)量，t為時間，正數(shù)k就是復(fù)習(xí)記憶系數(shù)，y為時刻t的即時記憶量．
那么我們的復(fù)習(xí)就是在做系數(shù)k的修正工作，反復(fù)的復(fù)習(xí)可以把系數(shù)k改變成為一個很小的正數(shù)，從而達(dá)到最好的記憶效果。在k=0的極端情況下，記憶就會被“鎖住”而成為所謂的“永久記憶” 。
由于我們在復(fù)習(xí)的同時，或在復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，還在不間斷地學(xué)習(xí)著新的知識，所以反復(fù)的滾動復(fù)習(xí)所起的效果就是知識的積累。我們可以把這個意思寫成第二個公式
Y＝y(tǒng)1＋y2＋y3＋．．．＋yn
＝A1 exp(－k1 t)＋A2 exp(－k2 t)＋A3 exp(－k3 t)＋．．．＋An exp(－kn t)
這個公式可以稱為“龔氏第二公式”，也稱為“溫故知新公式”或“知識積累公式” 。
如果你在任何時刻的復(fù)習(xí)都能夠做得如此的精心，那么兩年以后的考研復(fù)習(xí)時，就只要在你的“記憶庫”中進(jìn)行輕松的搜索、回顧就可以了。
古代孔圣人曰“學(xué)而時習(xí)之，不亦說乎！”
現(xiàn)代世俗人謂“曲不離口，越唱越靈；拳不離手，越打越精” 。
三．作業(yè)，要肯下苦心
作業(yè)是復(fù)習(xí)的一個組成部分，不做作業(yè)的復(fù)習(xí)是虛空復(fù)習(xí)，不復(fù)習(xí)而做的作業(yè)是低效作業(yè)?？磿⒖垂P記、做作業(yè)，當(dāng)然需要有先、后的次序，但是適當(dāng)?shù)亟惶孢M(jìn)行會更有實效。
如果說做好預(yù)習(xí)是提高課堂聽課效率的充分條件，那么及時完成好作業(yè)就是讀好高等數(shù)學(xué)的必要條件。
老師所布置的作業(yè)是最低量作業(yè)要求，如果完成這些作業(yè)后還找不到明顯的感覺，就應(yīng)該適當(dāng)?shù)丶哟笞约旱淖鳂I(yè)量。
作業(yè)是為自己作的，抄作業(yè)實際上被欺騙的是自己。
老師批過的作業(yè)一定要認(rèn)真仔細(xì)地看，這不僅是對老師辛勤勞動的尊重，更是糾正自己的錯誤，以免重犯的絕好方法。
由于多數(shù)作業(yè)本是由助教批閱的，或許有批錯的地方，另外還可能有對老師在作業(yè)本上的批語沒全搞明白的地方，必須及時問老師。
四. 答疑，解決問題不過夜
學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中，必然會有各種疑問。思考越深，疑問越多。有疑問是好事，攻克的問題無論大小，積累起來就是“學(xué)問”。不思無問，就是瞎混混。到頭來，且不說一事無成，就是想涉險過關(guān)，也許沒那么僥幸。
學(xué)習(xí)要有憤悱意識，不憤不啟、不悱不發(fā)，自己發(fā)問、自己回答?！摆に伎嘞搿敝碌摹盎砣婚_朗”，那才真叫是“其樂無窮”。當(dāng)然這是理想境界，可遇也可求，但是不強(qiáng)求。
我們的功課門數(shù)很多，而精力很有限，不能全都化在高等數(shù)學(xué)一門功課上。
“冥思苦想”也不能死耗時間，自己想不明白，再問同窗學(xué)友?；ハ嗲写?，集思廣益。每個人有不同的亮點，一旦互相發(fā)生碰撞，興許就會產(chǎn)生絢麗的火花，三個“臭皮匠”賽過一個諸葛亮嘛！
為學(xué)生釋疑解難是老師的天職，我們學(xué)校里每天都安排老師值班答疑（固定時間，固定地點），這是你應(yīng)該充分利用的寶貴資源。只要是教高數(shù)的，隨便遇到那個老師都可以問，
答疑時，不要總希望老師把問題的解答向你和盤托出。而那些只給你以適當(dāng)提示和啟發(fā)，讓你自己繼續(xù)思考的老師絕對是個好老師。如果你認(rèn)為這樣的老師不夠熱心，那你就錯了。
這時候，反倒需要你要有足夠的耐心，認(rèn)真地按照老師指點，去動手演算一下。如果在經(jīng)過老師點撥后，你真的懂了，那當(dāng)然是最好。否則，就要窮追猛打，徹底弄懂。沒有搞懂就是沒有搞懂，不要不好意思多問，不要擔(dān)心老師會不耐煩。老師一定會給你第二步引導(dǎo)，第三次啟發(fā)。直到完全弄懂為止。
如果你來我這里答疑，我常常會對“表示已經(jīng)搞懂的”學(xué)生提出這樣的要求“你真懂了嗎？你來給我講一遍”。
五. 課外閱讀，看書有選擇
工科學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要求還是很基本的，考試也不會偏、難、怪。個人認(rèn)為：如果你沒有特殊要求，就沒必要去博覽群書、廣采泛擷。認(rèn)真研讀兩本三本高數(shù)的教學(xué)輔導(dǎo)書就非常足夠了。
?。ㄒ唬┙滩念惖臅?，沒有必要多研究。
國內(nèi)各校教材，雖然各有特色，但都是依據(jù)統(tǒng)一的教學(xué)大綱編寫，圍繞的重點也完全相同。
有些名牌大學(xué)教改步子特別大，壓縮了大綱內(nèi)的很多基本東西，編入了許多大綱外的東西，例如微分幾何的內(nèi)容、運(yùn)籌學(xué)的原理、還有數(shù)值計算的方法。本人認(rèn)為根本沒有必要讀這些書。除了你所在學(xué)校的指定教材外，別的教材都不要去分析比較了；
（二）教學(xué)輔導(dǎo)書要有選擇地讀，有指導(dǎo)地讀。
不少高數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書，用了大量的篇幅去講解所謂的重點、難點，在我看來只是教材簡單的重復(fù)、羅列；
還有一些學(xué)習(xí)指導(dǎo)書，做了很多所謂知識的圖表化、網(wǎng)絡(luò)化、程序化。在有些作者看來，編得太簡單似乎體現(xiàn)不出他的新意；而在我看來，去看編得那么復(fù)雜的書，真讓人好像感到進(jìn)入了一個高等數(shù)學(xué)的迷宮一樣。
靠它，我們怎么能學(xué)得好高等數(shù)學(xué)。而當(dāng)你學(xué)好了本課程后，可以發(fā)現(xiàn)這些“知識圖表化、網(wǎng)絡(luò)化、程序化”是極為簡單，應(yīng)該完全可以由學(xué)生自己動手來編寫。
還有不少輔導(dǎo)書很講究解題技巧，但很少講技巧的來龍去脈?？催@種書就好象看魔術(shù)，除了讓你感嘆、驚奇之外，對初學(xué)者幫助也不大。
各種五花八門的高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料與習(xí)題集目前是最受歡迎的。但是當(dāng)大家拿到這一種書時，要請注意若缺少對典型例題的深入剖析，沒有足夠數(shù)量的例題供揣摩，對學(xué)生也無多大益處。
（三）少而精，學(xué)到手。
有人剛開學(xué)，買書很積極，一大摞一大摞的買。當(dāng)然其中有些人基礎(chǔ)可能特別好，精力可能特別充沛，一本接著一本地讀。咱們基礎(chǔ)一般或較差的，不要去和他們攀比，也跟著去買很多書。
讀數(shù)學(xué)書是得邊看邊仔細(xì)思考的，怎能像看小說那樣一頁一頁地快速翻、一本一本地連著讀。
有需要才去買，買了就認(rèn)真看，不要把它作為收藏品。用不著包什么花花綠綠的封皮。把涂塑的封面都翻爛了，才算是真有本事。對于“工科學(xué)生學(xué)高等數(shù)學(xué)”來說，我看只要能“讀破兩本書”，基本上也就能“知識滿肚皮”了。
在這里，我們對別人編寫的高等數(shù)學(xué)教學(xué)參考書不作什么具體的評價了。因為，多年來我們利用教研室集體的力量，就寫有多本有關(guān)的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)參考書。這就是由我們集體編寫的，由龔成通老師主要負(fù)責(zé)的：
1．《高等數(shù)學(xué)起跑第一步》
適合中學(xué)里沒有學(xué)過“有理函數(shù)分解、極坐標(biāo)、復(fù)數(shù)的歐拉公式、．．．”等內(nèi)容的學(xué)生，大學(xué)數(shù)學(xué)老師講課時，都不會再講這些屬于《中學(xué)數(shù)學(xué)》的教學(xué)內(nèi)容。
本書的起點較低，適合初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好的同學(xué)。
2．《高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》
本書對大量典型例題進(jìn)行深入剖析，著重點不在解題方法的技巧上，而是著重于（1）教會你“怎么樣去找到”一個比較好的方法；（2）做完習(xí)題后有應(yīng)該怎么樣去進(jìn)行歸納小結(jié)。
本書例題和練習(xí)題起點略高，一般問題都要至少結(jié)合到兩個基本概念和兩種基本運(yùn)算，但是有一個鮮明的特點：就是例題分析詳略得當(dāng)，不強(qiáng)調(diào)技巧，而強(qiáng)調(diào)方法的來龍去脈。
3．《大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題精講》
屬于提高性質(zhì)。適合對象“大一高數(shù)希望考滿分，大四考研希望能通過”的同學(xué)（向一年級新生做特別說明：本書不是根據(jù)教學(xué)大綱編寫，而是根據(jù)考研大綱編寫。根據(jù)考研試題特點，本書在內(nèi)容及方法上具有前后交叉滲透特點）。
六．預(yù)習(xí)，能充分提高聽課效率
做好預(yù)習(xí)是學(xué)好高等數(shù)學(xué)課程的一個重要環(huán)節(jié)。預(yù)習(xí)能充分提高課堂聽課效率、良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣能夠為提高將來的自學(xué)能力打下扎實的基礎(chǔ)。
學(xué)生對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的感受是：“上課聽得懂，作業(yè)做不來”。說到底，還是上課沒真懂，而其因素之一可能是沒有認(rèn)真預(yù)習(xí)。
對于預(yù)習(xí)，大家都覺得特別累，既費(fèi)時間，又達(dá)不到很好的效果（也就是所謂的“事倍功半”）。這是因為大家對預(yù)習(xí)的“要求”沒掌握好，把預(yù)習(xí)當(dāng)作了自學(xué)。實際上預(yù)習(xí)與自學(xué)是兩個不同概念。
下面就具體談?wù)劯叩葦?shù)學(xué)課程的預(yù)習(xí)要求。
首先預(yù)習(xí)內(nèi)容不要太多，根據(jù)老師的教學(xué)進(jìn)度表，只要把下一次的教學(xué)內(nèi)容預(yù)習(xí)一下就行了。太多了理解不了，也難于消化。
其次掌握好精略得當(dāng)。
對于較淺顯的內(nèi)容，預(yù)習(xí)時可以看得細(xì)一點，思考得深一點。
通過預(yù)習(xí)能看懂或基本理解當(dāng)然是最好，但是一般說來老師的理解會比你更深刻、更全面。你再在課堂里仔細(xì)聽聽老師的分析、老師的理解，他能幫你產(chǎn)生認(rèn)識上的一個“疊加”或“倍增”甚至是“飛躍”。
高等數(shù)學(xué)的不少內(nèi)容是比較艱深的，對于這些內(nèi)容你可以看得略微粗一點，思考得淺一點。即便如此，恐怕也要硬著頭皮把一個完整的內(nèi)容看完。
最后告訴你預(yù)習(xí)的與聽課效率的關(guān)系。
預(yù)習(xí)的要求，本來就沒有要求你能全部都能搞懂，“模模糊糊、似懂非懂”應(yīng)該是屬于很正常的現(xiàn)象。
對于“似懂”之處，課堂上老師會幫你把模糊的影子變成清晰的形象，會使你的認(rèn)識得到“糾正”、“補(bǔ)充”，變“似懂”為“真懂”；
而對于“非懂”之處，在課堂上你一定會聽得更認(rèn)真、更仔細(xì)。
有些同學(xué)覺得高等數(shù)學(xué)課堂上記筆記抓不住要點。那么請你試試看，加強(qiáng)預(yù)習(xí)以后，這個感覺會不會得到改善。
預(yù)習(xí)與聽課效率之間的關(guān)系是不容置疑的，預(yù)習(xí)后的聽課收獲與感悟和未經(jīng)預(yù)習(xí)的情況不可同日而語。
高等數(shù)學(xué)的教學(xué)進(jìn)度是非?？斓?，每節(jié)課上要學(xué)的內(nèi)容多非常多。如果沒有經(jīng)過預(yù)習(xí)，要想跟上進(jìn)度確實不是很容易的。
不可否認(rèn)，也有不少同學(xué)覺得不經(jīng)過預(yù)習(xí)，高等數(shù)學(xué)也能學(xué)得蠻好。但是，我想反問一個問題“如果你預(yù)習(xí)工作做好了，是不是有可能把高等數(shù)學(xué)這門課程學(xué)得更好呢？”
其實，從近期看，預(yù)習(xí)可以提高聽課效率。從遠(yuǎn)期看，養(yǎng)成良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣，可以為將來自我獲取新知識（自學(xué)）能力打下良好的基礎(chǔ)。
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