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父子上陣攻難題

親子，學(xué)習(xí)

今天晚上在家很有成就感，主要是與兒子一起攻克了兩道數(shù)學(xué)難題。一個(gè)填空壓軸，一個(gè)類比探究，并且兒子還在5分鐘之內(nèi)完成了選擇題實(shí)戰(zhàn)演練一，錯(cuò)一個(gè)題，得27分，失分原因很低級(jí)，覺得以前做過(guò)，直接選答案，然而這個(gè)題目多一個(gè)條件沒(méi)看，典型的經(jīng)驗(yàn)主義錯(cuò)誤，以后謹(jǐn)記讀題，不管做過(guò)多少篇。

晚上自習(xí)結(jié)束后回到家里，看到兒子在客廳學(xué)習(xí)桌上學(xué)習(xí)，正在做一個(gè)填空壓軸題，是一個(gè)比較難算的題目，如果不得法，就需要有耐心把很多線段的長(zhǎng)計(jì)算出來(lái)，因?yàn)閿?shù)都是分?jǐn)?shù)，算起來(lái)很費(fèi)勁，但是方法卻是對(duì)的，只不過(guò)不是最簡(jiǎn)單的方法。

這個(gè)題目我已經(jīng)講過(guò)，所以有簡(jiǎn)單的方法，就跟兒子討論了起來(lái)。題目1：在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7，如圖，在底邊BC上取一點(diǎn)D，連接AD，使得∠DAC=∠ACD.將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得C點(diǎn)落在點(diǎn)E處，連接BD得四邊形ABED，則BE的長(zhǎng)是       .

分析條件，就會(huì)想到相似，相似的三角形很多，可以通過(guò)相似求出任意一條邊長(zhǎng)，卻需要用很長(zhǎng)的時(shí)間，這已經(jīng)被兒子印證過(guò)了，他算得頭疼。那就想簡(jiǎn)單方法，好的方法得從構(gòu)造圓這個(gè)輔助線開始，當(dāng)我們看到AB=AE=AC，就應(yīng)該想到以A為圓心以AB為半徑的圓，如圖所示，

此時(shí)就可以得到∠EBC=∠CAD=∠C，從而得BE∥AC，但如果此時(shí)再用相似，依然沒(méi)有找到好方法，要開動(dòng)腦筋，想折疊具有什么樣的性質(zhì)，角相等，邊相等，角平分線也應(yīng)該想到，構(gòu)造等腰三角形，因?yàn)榻欠制?，等腰成，不好想，但是要有這方面的意識(shí)。如圖所示，得等腰三角形AEF，再用△ADC與△FDB相似即可得BE的長(zhǎng)。此法計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但是不好想，特別是圓這條輔助線不好想，因?yàn)椴怀Ｓ?，所以在遇到多條線段相等并且共端點(diǎn)時(shí)，一般想到圓這條輔助線。此題得以解決，兒子又自己推演了一遍，算是學(xué)會(huì)了。

 此題被拿下，感覺腦洞大開。兒子又拿出一個(gè)題，是類比探究題，也是難度較大的題目。

題目2：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某學(xué)習(xí)小組對(duì)有一內(nèi)角為120°的平行四邊形ABCD（∠BAD=120°）進(jìn)行探究：一塊含60°角的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD內(nèi)，將直角三角板在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，且60°角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)（不包括線段的端點(diǎn)）.

（1）初步嘗試

如圖1，若AD=AB，求證：①△BCE≌△ACF；②AE+AF=AC；

（2）類比發(fā)現(xiàn)

如圖2，若AD=2AB，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，求證：AE=2FH；

（3）深入探究

如圖3，若AD=3AB，探究得

 他說(shuō)想了一晌了，都沒(méi)想到最后一問(wèn)如何解決，只是想到與前一問(wèn)一樣構(gòu)造相似，如圖構(gòu)造∠GFC=∠ACE，從而得兩對(duì)三角形相似，△AEC∽△GFC，△ABC∽△GCA，然后就不知道該干什么了。我說(shuō)這已經(jīng)相當(dāng)可以了，說(shuō)明你充分掌握了類比探究的要領(lǐng)，從前面題目的解題方法遷移到其他題目中來(lái)，就差一步了。

我說(shuō)了我的想法，其實(shí)當(dāng)時(shí)我是看到了結(jié)果是個(gè)常數(shù)，就有理由相信，在特殊位置時(shí)常數(shù)t也是一樣的，所以我就讓圖形變成了如下圖的位置。

 易知△AEB是直角三角形，△CDF是等邊三角形，設(shè)AE=1，從而能表示AF，AC的長(zhǎng)，此題得解，但這總歸沒(méi)有得到一般的推理論證，對(duì)于幾何證明來(lái)說(shuō)總是有些遺憾。但此時(shí)的我突然從兒子的思路得到了靈感，那就是利用相似再加上我的想法就可以得到一般的推理計(jì)算，真是最佳組合。

回歸到一般圖形，由△ABC∽△GCA，可得

由△AEC∽△GFC，可得

原式

作AQ⊥BC利用特殊三角形與勾股定理可得BC與AC的關(guān)系，從而得解。

 仔細(xì)梳理此題，兒子的構(gòu)造相似是正確的，但卻沒(méi)有把相似后的三邊比例寫出來(lái)，從而沒(méi)有進(jìn)入下一步，如果寫出來(lái)后，就有再進(jìn)一步的可能，所以在做題時(shí)，可以把得到的結(jié)論都寫下來(lái)，然后再進(jìn)行分析，這樣以來(lái)就可以為進(jìn)一步解題做好鋪墊。

接下來(lái)，兒子就感覺這個(gè)題目沒(méi)什么難度了，因?yàn)樽约河兴伎迹境墒?，有了方法就迎刃而解了?/span>

這兩個(gè)題目都不容易，但是兒子并沒(méi)有放棄，選擇了認(rèn)真思考，好樣的，并且第二個(gè)題目我也沒(méi)有得到一般化的推理方法，兒子想到了，說(shuō)明對(duì)于類比探究，他已經(jīng)有了一定的方法，這是進(jìn)步的表現(xiàn)。難能可貴的是認(rèn)真思考，不看答案。相信長(zhǎng)此以往，數(shù)學(xué)會(huì)有一個(gè)提升。

俗話說(shuō)：上陣父子兵，今天算是打了一個(gè)勝仗，我和兒子都感覺很有成就感，他的想法得幫到了我，我的想法啟發(fā)了他，互相學(xué)習(xí)。

明甫其實(shí)