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快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“十字相乘法”

乘法公式有以下三種：

完全平方公式：（A+B）方=A方+2AB+B方；（A-B）方=A方-2AB+B方；

平方差公式：（A+B）（A-B）=A方-B方。

乘法公式的實(shí)質(zhì)是：兩個(gè)特殊的二項(xiàng)式相乘。

完全平方公式是二項(xiàng)式的平方，即殘余分子個(gè)相同的二項(xiàng)式相乘；

平方差公式中的兩個(gè)二項(xiàng)式則是，其中一項(xiàng)相同，而另一項(xiàng)相反。

那么，對(duì)于所有的二項(xiàng)式相乘，有什么特點(diǎn)呢？

這就是多余老師今天要講一講的“十字相乘法”。

這個(gè)名稱聽著新鮮吧？其實(shí)，我們?cè)谛W(xué)做筆算乘法時(shí)，就天天用到。

“十字相乘法”其實(shí)就是筆算乘法的運(yùn)算方法而已。

一、列豎立計(jì)算多項(xiàng)式相乘

教材上多項(xiàng)式相乘的法則：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

再想想筆算乘法的法則，看看實(shí)質(zhì)上是不是一樣的？

下面我們對(duì)比一下筆算乘法和列豎式計(jì)算多項(xiàng)式相乘

可以看到，二者實(shí)質(zhì)上是一樣的，有不同，是由小學(xué)的“數(shù)”到中學(xué)的“式”升級(jí)造成的。

表現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

1、數(shù)相乘要數(shù)位對(duì)齊，式相乘要同類項(xiàng)對(duì)齊；

2、式相乘存在正負(fù)號(hào)的符號(hào)問題；

3、式相乘不存在進(jìn)位的問題。

二、十字相乘法和乘法公式，都是式相乘的口算方法

對(duì)于一般的二項(xiàng)式相乘，我們可以寫成如下形式：

（AX+C）（BX+D）=ABX方+（AD+BC）X+CD

可用如下口訣：“十位相乘得百位，個(gè)位相乘得個(gè)位，個(gè)位與十位交叉相乘后的和是十位”

所以，十字相乘法中的“十字”就是表示“交叉”。

如：（2X+5）（3X-2）=6X方+（15-4）X-10=6X方+11X-10

十字相乘法，也可以用于兩位數(shù)相乘的口算。

只不過數(shù)相乘，存在著進(jìn)位問題，所以，對(duì)于一些特殊的兩位數(shù)相乘，才顯得非常簡(jiǎn)便：

1、十位相同，個(gè)位相加得10。

如：53乘57=2500+500+21=3021，或=（5乘5+5）乘100+3乘7=3021

2、十位相加得十，個(gè)位相同。

如：35乘75=2100+500+25=2625，或=（3乘7+5）乘100+5乘5=2625

3、十位和個(gè)位都相同，即兩位數(shù)的平方。（即完全平方公式）

如：23的平方=400+120+9=529

當(dāng)A=B=1時(shí)，簡(jiǎn)化為（X+C）（X+D）=X方+（C+D）X+CD

如：（X+2）（X+3）=X方+（2+3）X+2乘3=X方+5X+6

用這個(gè)式子來記我們常用的十幾的平方，非常簡(jiǎn)便準(zhǔn)確。

11方=100+20+1=121，12方=100+40+4=144，13方=100+60+9=169

14方=100+80+16=196，15方=100+100+25=225，16方=100+120+36=256

17方=100+140+49=289，18方=100+160+64=324。19方=100+180+81=361

當(dāng)A=B，C=D時(shí)，即為完全平方公式。

當(dāng)A+B，C+D=0時(shí)，即為平方差公式。并且，只有在這種情況下，積才是二項(xiàng)。

三、十字相乘法用于因式分解

因式分解，不能稱為是一種計(jì)算，而只是代數(shù)式的恒等變形。

即，因式分解中乘法的逆變形，而不是逆運(yùn)算。

因式分解實(shí)質(zhì)就是小學(xué)的分解因數(shù)。

在小學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)分解因數(shù)，其作用是找公倍數(shù)和公約數(shù)，然后在分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)廣泛使用。

與小學(xué)有整數(shù)，中學(xué)有整式一樣，小學(xué)有分?jǐn)?shù)，中學(xué)就會(huì)有分式。

在分式的運(yùn)算中，因式分解將會(huì)得到廣泛的使用。

而且，在前面我們可以觀察到：

兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積，一般是二次三項(xiàng)式。（只有平方差形式的結(jié)果是二項(xiàng)）

反過來說，說是二次式可能分解成兩個(gè)一次式相乘。這就是以后要用到的“降次”。

和二元方程組是通過“消元”變形成一元一次方程一樣，

以后，會(huì)遇到解一元二次方程，則是要通過“降次”變形成一元一次方程。

所以，因式分解除了在分式計(jì)算中廣泛應(yīng)用以外，還將在解一元二次方程，解一元二次不等式，解決二次函數(shù)等方面有著更廣泛的應(yīng)用。

十字相乘法因式分解，即把前面的乘法反過來進(jìn)行逆變形。

先說說簡(jiǎn)化形式，即X方+（C+D）X+CD=（X+C）（X+D）

如：X方+5X+6，

由于2乘3=6（常數(shù)項(xiàng)），2+3=5（一次項(xiàng)系數(shù)），

所以，X方+5X+6=（X+2）（X+3）

此類十字相乘法因式分解，由于分解過程容易，作為中學(xué)生是必須掌握的。

而十字相乘法因式分解的完整形式：

ABX方+（AD+BC）X+CD=（AX+C）（BX+D）

如：6X方+11X-10

由于6=1乘6=2乘3，10=1乘10=2乘5

經(jīng)過簡(jiǎn)單組合，可發(fā)現(xiàn) 2   5，交叉相乘后的和=11

                     3  -2

所以，6X方+11X-10=（2X+5）（3X-2）

此類十字相乘法因式分解，由于分解過程相對(duì)而言不太容易，作為程度較好的中學(xué)生應(yīng)該掌握。（因?yàn)榇祟惗稳?xiàng)式的問題也可以通過其他方法解決，但十字相乘法是最簡(jiǎn)便的）