女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。
前文回顧：
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《維度：數(shù)學(xué)漫步》導(dǎo)演Jos Leys的數(shù)學(xué)藝術(shù)1：蜘蛛網(wǎng)的藝術(shù)
今天探索一種幾何繪圖軟件，將其作為一種簡單快捷的工具，根據(jù)直尺和圓規(guī)的簡單已知構(gòu)造，設(shè)計并繪制出美觀的幾何圖案。對于試圖通過藝術(shù)活動來提高對幾何的興趣的教師，或者對于參與平面幾何繪圖的有經(jīng)驗的和正在經(jīng)歷的數(shù)學(xué)藝術(shù)家來說，該工作坊可能是特別感興趣的。不需要事先了解所使用的軟件Geogebra，但希望與會者能夠在研討會期間使用該軟件或同等軟件。
介紹
用直尺和圓規(guī)畫幾何圖形是兒童在早期學(xué)校接觸幾何圖形的一部分，這門學(xué)科的名字“繪畫”暗示了它與視覺藝術(shù)的聯(lián)系。事實上，幾何繪畫一直是畫家、雕塑家和建筑師知識的一部分，傳統(tǒng)上是作為一種實現(xiàn)結(jié)果的工具，正如人們可以在萊昂·巴蒂斯塔·阿爾伯蒂[1]的論文《論繪畫》中對透視的描述中看到的那樣，或者作為藝術(shù)品本身，例如在弦藝術(shù)中，這種情況與本次研討會所涉及的設(shè)計類型有很好的聯(lián)系。像往常一樣，了解連線藝術(shù)的一個很好的起點是維基百科關(guān)于這個主題的頁面，特別是參考文獻(xiàn)[4]。
雖然直尺和圓規(guī)打開了繪圖的多種可能性，但算法非常簡單，因此它們被教授給兒童，并被編碼在許多幾何軟件中，通常具有相似的界面。在這個工作坊中，我們使用GeoGebra，一個為教育目的而設(shè)計的開源免費數(shù)學(xué)軟件，特別是直尺和圓規(guī)繪圖，以比實際使用紙筆更快的速度來幫助進(jìn)行具有藝術(shù)目的的幾何圖形實驗。有了這個工具，我們不僅可以更快地進(jìn)行實驗，因此可以繪制更多更復(fù)雜的任意精度的圖片，從而提高藝術(shù)家或?qū)W生的創(chuàng)作可能性。Geogebra可以在其網(wǎng)站上免費獲得[2]。
活動
但是能畫出什么樣的畫呢？選擇是巨大的，研討會的目的是提供人們探索可能性所需的工具。但是由于選擇對于陳述是必要的，我將把會議的開始部分集中在陳述一些基本的結(jié)構(gòu)上，這些結(jié)構(gòu)是在我作為一個幾何愛好者的“職業(yè)生涯”開始時由一位數(shù)學(xué)老師向我展示的。目的是展示該軟件從頭開始提供的一些有趣的結(jié)構(gòu)的基本工具。例如，通過細(xì)分一對線段并正確連接點，可以得到看起來彎曲的直線(見圖1)，或者繪制多邊形中的所有對角線，可以繪制“超級圓”(見圖2)。構(gòu)造應(yīng)僅使用用于構(gòu)建或分割線段、構(gòu)建多邊形、繪制圓或反轉(zhuǎn)線的工具，所有功能都已內(nèi)置在Geogebra的選項中。
圖1：在正交線段上看起來彎曲的直線
圖2:一個32邊的超級圓
觀看如何制作這些構(gòu)造將使參與者熟悉Geogebra的界面和制作圖紙、著色以及使用拖動和縮放工具的基本技術(shù)，從而幫助完成困難的設(shè)計。
在這個大約半小時的簡短開場白之后，這個想法是參與者嘗試使用所展示的軟件和工具畫出他們自己的東西。重點不是在40分鐘左右的時間里創(chuàng)作出一幅杰作，而是在一個受控的環(huán)境中努力繪畫，在這里你可以與其他參與者互動，并與他人和演示者一起解決你的問題。我們的目標(biāo)是讓參與者在使用Geogebra進(jìn)行藝術(shù)繪畫時擁有自主權(quán)，以允許他們自己進(jìn)行進(jìn)一步的探索。
但是……為了什么
這是一個關(guān)于數(shù)學(xué)或藝術(shù)主題的棘手問題，但這是一個很好的借口來解決圍繞這些繪畫的一些背景問題。重要的是要強調(diào)，下面的大部分考慮來自于我作為一個年輕的學(xué)習(xí)者接觸紙和筆的這種活動的個人經(jīng)驗，并且它們應(yīng)該被如此看待。
從早期學(xué)校教育的角度來看，這項活動具有內(nèi)在的價值，可以刺激學(xué)生練習(xí)幾何繪畫。孩子們喜歡做這些美麗的事情，他們可能會努力畫更復(fù)雜的畫，用更多的線，探索新的形狀，只是為了它。他們也可能會發(fā)展出自己的管理繪圖的方法，因為一個人不會簡單地拿起鉛筆就畫出528條線。我記得我的老師給我上了一堂課，教我如何畫看起來彎曲的直線，在課結(jié)束時，她展示了一本相冊，里面有她以前一些學(xué)生的畫。在下一堂課上，一群11歲的孩子自發(fā)地畫了幾個“超級圓圈”。
除了這一挑戰(zhàn)方面，展示讓他們更好地了解自己的圖畫的方法也是很有趣的。計算每個圖形中的線數(shù)是一個簡單但非常具體的計數(shù)問題，它可能會以不同的方式呈現(xiàn)出來，這取決于圖形本身。例如，計算圖2的“超圓”所需的線數(shù)與求一個多邊形(包括它的邊)的對角線的數(shù)目是一樣的，n(n?3)/2+n是n邊的“超圓”，而像圖3這樣的混合圖像中的線數(shù)要簡單得多，因為它只取決于一個人決定向內(nèi)畫多少層六邊形，但需要一個更仔細(xì)的繪圖模型才能被計算，檢查繪圖中到底有多少行被倒置，以及重復(fù)步驟是否可以簡化計數(shù)問題-由于左側(cè)的繪圖是沿兩個圓圈倒置，以獲得右側(cè)的圖片，因此計算第一張繪圖的行數(shù)正好是最終結(jié)果中總行數(shù)的三分之一。
此外，最簡單的圖畫提出了平面幾何問題，如線的大小、它們的角度，以及一些基于問題對稱性的變換問題，這允許教師探索歐幾里得平面幾何中關(guān)于長度和角度的基本結(jié)果。
對于更高級的學(xué)生，可以從概念上甚至從技術(shù)上來說，對于微積分學(xué)習(xí)者，看起來彎曲的直線是平面中曲線包絡(luò)族的例子，也就是說，它們是由以下方程給出的曲線的切線族:
F(t，x，y)表示由參數(shù)t索引的曲線族的方程。
最常見的例子是出現(xiàn)在最簡單的線條圖中的拋物線，如圖1所示，但另一條曲線，星形曲線，其特征完全是這樣的曲線，所有切線都定義了第一象限中相同長度的線段，或者換句話說，是由連接兩條正交線的一族等長線段包圍的曲線。星形線是一個有趣的例子，因為它被定義為一條被一族容易繪制的線段包圍的曲線。這兩個例子的計算可以在維基百科的包絡(luò)曲線頁面上找到[3]。
一個有趣的附注是，如果一個人試圖通過迭代構(gòu)造來達(dá)到拋物線和星狀線這兩個例子，它們的行為不同：拋物線的包絡(luò)隨著圖中線條數(shù)量的增加而改變其形狀，而星狀線的包絡(luò)在所有步驟中都粘在曲線上。
另一方面，對于藝術(shù)家來說，繪圖軟件的使用提供了一個快速探索圖片的寶貴機會，從而產(chǎn)生一個更加動態(tài)的創(chuàng)作過程，允許快速改進(jìn)。此外，有些結(jié)構(gòu)太復(fù)雜，無法手工制作，但用計算機是可能的，特別是用它的放大/縮小工具和保存宏的可能性，如反轉(zhuǎn)。例如，圖3(右側(cè))是在Geogebra上直接制作的，在嵌套六邊形(左側(cè))的簡單結(jié)構(gòu)上反復(fù)使用“反轉(zhuǎn)”工具。當(dāng)然，我不能用手反轉(zhuǎn)所有的線條來保持圖畫的整潔，特別是添加顏色。不過，Geogebra在幾個小時內(nèi)就允許了這個過程。
圖3：我給出的一個關(guān)于數(shù)學(xué)和藝術(shù)之間的關(guān)系的微型課程的標(biāo)志(右)，是通過將嵌套的六邊形(左)相對于一個圓反演而獲得的。
參考文獻(xiàn)
[1] L. B. Alberti, “Da Pintura”, translation by Antonio da Silveira Mendona, 2nd ed. (1999), Editora da Unicamp.
[2] Geogebra’s website is http://www.geogebra.org/ (as of Feb. 14, 2016).
[3] Wikipedia entry on ”Envelope (Mathematics)” is available at http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_(mathematics) (as of Feb. 14, 2016).
[4] Wikipedia entry on “String Art” is available at http://en.wikipedia.org/wiki/String_art (as of Feb. 14, 2016).
[5] Vladmir Sicca, Euclid’s Digital Elements: Straightedge and Compass Softwares as Aid for Geometrical Design
青山不改，綠水長流，在下告退。
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