中文字幕理论片,69视频免费在线观看,亚洲成人app,国产1级毛片,刘涛最大尺度戏视频,欧美亚洲美女视频,2021韩国美女仙女屋vip视频

1.引子

(2018年數(shù)學(xué)一第16題)將長為2米的鐵絲分成三段,依次圍成圓、正方形和正三角形，三個(gè)圖形的面積之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.

乍一看,這道考研題是在考查最值問題.與常見的數(shù)學(xué)題不同的是,這道題題干里卻沒有出現(xiàn)任何數(shù)學(xué)符號(hào).因此,在問題分析階段中,我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言將問題重述一遍。

數(shù)學(xué)語言:設(shè)圓的周長為,正方形周長為,正三角形周長為,求三個(gè)圖形面積之和

自然地,我們?yōu)榱饲?span role="presentation" data-formula="S" data-formula-type="inline-equation" style="">的極值需要使用拉格朗日乘數(shù)法,這是由于三個(gè)未知量之間有條件約束.而對(duì)于無條件極值問題,我們一般考慮黑塞矩陣即可.注意到此時(shí)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)為

然后,再依次對(duì)求導(dǎo),并令結(jié)果均為0.據(jù)此可以得到四個(gè)方程組合成的方程組,從而解此方程組確定每個(gè)參數(shù).

2.函數(shù)極值問題與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系

不論是一元函數(shù)求極值,還是二元函數(shù)乃至多元函數(shù)極值問題,都離不開對(duì)目標(biāo)函數(shù)求(偏)導(dǎo)運(yùn)算.從幾何視角出發(fā),函數(shù)圖象取得極值時(shí),切線必然是處于水平方向的.絕大多數(shù)情況下,切線平行于軸,意味著切線斜率為0,而切線的斜率可以用導(dǎo)數(shù)來刻畫.因此,不論是考慮"分析"視角下的極值還是"幾何"視角下的局部最高點(diǎn),我們都可以將問題轉(zhuǎn)化為求“已知函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0”問題.

一般來說,多元函數(shù)的極值問題較為復(fù)雜.以二元函數(shù)為例,我們會(huì)接觸到兩類極值情況:

• 無條件極值;
• 有條件極值.

針對(duì)兩類不同的極值問題,有的時(shí)候需要結(jié)合起來使用,比如下面這道練習(xí)題:

例題：設(shè),求在區(qū)域,內(nèi)的最大值和最小值.

分析:這道題為啥要考慮非條件極值和條件極值兩種情況?這主要是由于所給定的區(qū)域是有個(gè)帶有邊界的區(qū)域.針對(duì)無條件極值問題,我們考慮的變量往往是取遍的,因而在給定一個(gè)有界區(qū)域下我們是沒法直接考慮的.那么怎么辦?

• 區(qū)域內(nèi)部的,極值:無條件極值問題;

• 區(qū)域的邊界極值:條件極值問題.

最后函數(shù)在該區(qū)域下的最值就是綜合上述兩種情況下得到的,與之類似的還有區(qū)域給定為: ,其中為圓的半徑.更有甚者,給定橢圓區(qū)域或者更加復(fù)雜的區(qū)域,但分析問題的思路依然是一致的.

3.泛函的極值——函數(shù)極值問題的延伸

在高等數(shù)學(xué)或者數(shù)學(xué)分析里,我們探討的極值問題主要是針對(duì)函數(shù)來說的,區(qū)別僅僅在于函數(shù)自變量的個(gè)數(shù).而隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展,我們要考慮將函數(shù)概念進(jìn)行必要的推廣,即為"泛函".數(shù)學(xué)系的課程《泛函分析》的研究對(duì)象就是"泛函".我們知道函數(shù)本質(zhì)上是數(shù)與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,而泛函就是函數(shù)和數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.換句話說,泛函的原像取自于函數(shù)集合,而函數(shù)的原像則來源于數(shù)的集合.