在本文中，我們將從矩形和正方形的判定入手，選擇合適的方法解決平面直角坐標系中矩形和正方形的存在性問題。
矩形的判定定理有3條：①對角線相等的平行四邊形是矩形；②有一個角是直角的平行四邊形是矩形；③3個角是直角的四邊形是矩形。 判定③對應在坐標系中就是使用勾股定理，這樣的計算過程比較復雜，因此判定③不做為選擇的方法。 矩形的存在性問題的題型往往是“兩定點+一個半動點+一個全動點”，以邊和對角線進行分類討論。當兩定點所在線段為矩形的對角線時，往往利用判定①畫出圖形，利用矩形對角線得對角線互相平分且相等來做；當兩定點所在線段為矩形的一邊時，往往利用判定②畫出圖形，利用勾股定理或銳角三角比解決問題。我們的解題思路是“先Rt再平四”，即選擇半動點構造直角三角形，利用平行四邊形的對稱性求出全動點坐標。分析：(1)直線l的解析式為:y=2x+2，B(0,2)，C(1,4).(2)矩形的兩定點為A、C，以AC為邊或對角線進行分類討論，構造Rt▲PAC，先求出點P的坐標，再利用平行四邊形對稱性求出點Q坐標。值得注意的是，本題中的矩形限定了情況，因此通過畫圖，排除不符合題意得情況。思考：若以A、P、C、Q四個點為頂點的四邊形是矩形，如何求P、Q坐標？其實矩形的存在性問題就是直角三角形的存在性問題，先通過對稱或勾股定理或相似三角形確定半動點的坐標，再根據(jù)平行四邊形的對稱性求出第四點的坐標。
正方形由于其特殊性(四個角是直角及四邊相等)，往往通過構造一線三等角模型，利用三角形全等求出點坐標。常見的題型也是“兩個頂點+一個半動點+一個全動點”。
如左圖，▲ABC為等腰直角三角形，利用平行四邊形的對稱性，可以求出第四點坐標；如右圖，▲AED為等腰直角三角形，利用平行四邊形的對稱性，可以求出第四點坐標。因此，正方形的存在性問題就是利用構造的全等三角形求出點的坐標。題型2：已知兩定點+一半動點+一全動點，解決正方形的存在性問題。分析：(1)本題的關鍵要發(fā)現(xiàn)BE⊥BC；(2)以▲OCB為目標三角形構造一線三等角模型，本題只要求E點坐標，F(xiàn)點坐標可以通過平行四邊形的對稱性求得。分析：(1)角平分線和平行線必出現(xiàn)等腰三角形。證明EB=OB,BF=OB，即可得證。(2)對角線互相平分且相等的四邊形是矩形。因為(1)已經(jīng)證明了EB=BF=OB，只要滿足OB=BA，即可證明EOFA為矩形，因此OB:OA=1:2；(3)由于AEOF為正方形，因此OA與EF垂直。對角線EF，已經(jīng)與x軸平行，因此另一條對角線OA必然與x軸垂直。即A在y軸上，因此A(0,4)，B(0,2)。其實矩形的存在性問題就是等腰直角三角形的存在性問題，先通過一線三等角模型確定半動點的坐標，再根據(jù)平行四邊形的對稱性求出第四點的坐標。
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