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【中考數(shù)學(xué)專題】存在性系列之矩形存在性問題（文末有福利）

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2020.04.21

關(guān)注

所謂矩形存在性問題，即在坐標系中確定動點位置，使其與其他點等構(gòu)成矩形，本文將對題型構(gòu)造及解決方法作簡單介紹．首先關(guān)于矩形本身，我們已經(jīng)知道：

矩形的判定

（1）有一個角是直角的平行四邊形；

（2）對角線相等的平行四邊形；

（3）有三個角為直角的四邊形．

01

問題與方法

題型分析

矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標系中的矩形滿足以下3個等式：

（AC為對角線時）

因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．

確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個．

題型如下：

（1）2個定點+1個半動點+1個全動點；

（2）1個定點+3個半動點．

思路1：先直角，再矩形

在構(gòu)成矩形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點，可先確定其中3個點構(gòu)造直角三角形，再確定第4個點．對“2定+1半動+1全動”尤其適用．

引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標．

【小結(jié)】這種解決矩形存在性問題的方法相當(dāng)于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點坐標，也是因為這兩個圖形之間的密切關(guān)系方能如此．

思路2：先平行，再矩形

當(dāng)AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：

其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點坐標后，代入點坐標解方程即可．

無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．

引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標．

【小結(jié)】這個方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個等式而已，剩下的都是計算的故事．

02

中考真題

2018鐵嶺中考刪減

【構(gòu)造直角得矩形】

如圖，拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點A，B，交y軸于點C．點B的坐標為（3，0）點C的坐標為（0，3），點C與點D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為拋物線對稱軸上一點，連接BD，以PD，PB為邊作平行四邊形PDNB，是否存在這樣的點P，使得平行四邊形PDNB是矩形？若存在，請求出tan∠BDN的值；若不存在，請說明理由．

2019南充中考刪減

【構(gòu)造對角線互相平分且相等得矩形】

如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），點B（-3，0），且OB=OC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上兩點M，N，點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為m+4．點D是拋物線上M、N之間的動點，過點D作y軸的平行線交MN于點E．

①求DE的最大值；

②點D關(guān)于點E的對稱點為F，當(dāng)m為何值時，四邊形MDNF為矩形．

2018遼陽中考刪減

【2定+1半動+1全動】

如圖，直線y=x-3與坐標軸交于A、B兩點，拋物線y=1/4x2+bx+c經(jīng)過點B，與直線y=x-3交于點E（8，5），且與x軸交于C，D兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在拋物線上，在坐標平面內(nèi)是否存在點Q，使得以點P，Q，B，C為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

2018曲靖中考

【1定+3半動】

如圖：在平面直角坐標系中，直線l：y=1/3x-4/3與x軸交于點A，經(jīng)過點A的拋物線y=ax2-3x+c的對稱軸是x=3/2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）平移直線l經(jīng)過原點O，得到直線m，點P是直線m上任意一點， PB⊥x軸于點B， PC⊥y軸于點C，若點E在線段OB上，點F在線段OC的延長線上，連接PE，PF，且PF=3PE．求證：PE⊥PF；

（3）若（2）中的點P坐標為（6，2），點E是x軸上的點，點F是y軸上的點，當(dāng)PE⊥PF時，拋物線上是否存在點Q，使四邊形PEQF是矩形？如果存在，請求出點Q的坐標，如果不存在，請說明理由．

來源：有一點數(shù)學(xué)，作者劉岳

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