十字形模型及其典型變式
如圖1所示是典型的“十字形”模型，基本特征是在正方形中構(gòu)成了一個(gè)互相垂直的“十字形”，由此產(chǎn)生了兩組相等的銳角以及一組全等的三角形。將基本模型進(jìn)行變式，得到了以下的三種特殊情況：
如圖3和4所示是“十字形”模型的變式1和2，即將正方形中的頂點(diǎn)移動(dòng)到邊上，即正方形相對(duì)兩邊上的任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時(shí)這兩條線段的長(zhǎng)度是相等的。通過平移線段構(gòu)造如圖1所示的基本圖形，再借助全等三角形和平行四邊的性質(zhì)證明線段相等。
如圖9所示是“十字形”模型的變式3，即將變式2中的正方形變?yōu)榱司匦危?，即矩形相?duì)兩邊上的任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時(shí)這兩條線段的的比等于矩形的兩邊之比。通過平移線段構(gòu)造如圖1所示的基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。
十字形模型在幾何證明和計(jì)算中的應(yīng)用
在與“十字形”模型相關(guān)的幾何證明和計(jì)算中，其難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)隱含的模型，再將其“還原”成正方形或矩形背景下的基本圖形。
練習(xí)1中的十字形模型是正方形背景下的，通過DE⊥CF，發(fā)現(xiàn)全等三角形，再結(jié)合平行四邊形的判定得到FG//CE且FG=CE。
練習(xí)2中有兩組矩形背景下的十字形模型，要求CN:BM的值，就是求CD:BC的值。而根據(jù)EF:GH的值，通過平移線段化為變式3的基本圖形，得到EF:GH=AB:BC，從而求得CN:BM=AB:BC。
練習(xí)3不是典型的“十字形”模型，根據(jù)∠ACB=90° ，CE⊥BD，將圖形還原成矩形背景下的十字形模型，再根據(jù)圖中的相似三角形以及X型基本圖形，求得AE的長(zhǎng)度。
十字形模型在翻折運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用
在翻折問題中，當(dāng)出現(xiàn)隱含的“十字形”模型時(shí)，可以將圖形還原成變式2和變式3的基本圖形，再結(jié)合圖中的全等三角形或相似三角形求得線段的長(zhǎng)度或線段的比值。
練習(xí)1通過聯(lián)結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A和E，即構(gòu)造了十字形模型，根據(jù)變式1的基本圖形，可得折痕FG的長(zhǎng)度就是AE的長(zhǎng)度，通過勾股定理即可求解。
練習(xí)2中不是典型的“十字形”模型，根據(jù)∠B=90° ，AM⊥DN，將圖形還原成矩形背景下的十字形模型，根據(jù)翻折后的全等三角形的性質(zhì)以及一線三等角的基本圖形，借助比例線段求得BE的長(zhǎng)度，最后得到DN:AM=BE:AB.
練習(xí)3不是典型的“十字形”模型，根據(jù)∠ADB=90° ，AB⊥OD，將圖形還原成矩形背景下的十字形模型，通過設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)圖中的相似三角形以及勾股定理，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出比例系數(shù)k的值。
與相似三角形和比例線段相關(guān)的基本模型如下
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