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【第二輪復(fù)習(xí)】——全等三角形模型

2023.01.16 上海

全等三角形模型主要涵蓋以下五類：軸對(duì)稱型、中心對(duì)稱型、一線三直角型、“手拉手型”(共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角形)以及半角模型。以上五類模型都源自教材、配套練習(xí)冊(cè)以及中考真題，掌握以上五種基本模型以及向衍生的變式模型，那么對(duì)于中考中與全等相關(guān)的幾何證明或幾何壓軸題就比較容易了。

(一) 軸對(duì)稱型

軸對(duì)稱型主要分為兩種：一種是以公共邊為對(duì)稱軸的“軸對(duì)稱型”，還有一種是以公共頂點(diǎn)所在直線為對(duì)稱軸的“軸對(duì)稱型”。

對(duì)于例1所示的全等三角形的證明，根據(jù)已知條件以及公共邊，即可利用S.A.S判定進(jìn)行證明。

對(duì)于例2所示的全等三角形的證明，根據(jù)已知條件以及再證明一對(duì)公共角，即可利用S.A.S判定進(jìn)行證明。

01

軸對(duì)稱模型(一)：關(guān)于公共邊對(duì)稱

02

軸對(duì)稱模型(二)：關(guān)于公共頂點(diǎn)所在直線對(duì)稱

03

軸對(duì)稱模型(三)：綜合應(yīng)用

01

模型整合：等腰三角形的三線合一

等腰三角形的三線合一是“軸對(duì)稱型”的典型應(yīng)用，在一些幾何證明題中，我們可以把一些圖形“補(bǔ)”成“三線合一型”，再通過(guò)全等三角形的性質(zhì)證明邊角之間的數(shù)量關(guān)系。

02

模型整合：角平分線背景下的“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法

當(dāng)題目中出現(xiàn)了“不在同一直線上的線段的和差關(guān)系”以及“角平分線背景”時(shí)，就可以利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法構(gòu)造全等三角形，從而實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。

(二) 中心對(duì)稱型

中心對(duì)稱型主要是指三角形繞著某一中心旋轉(zhuǎn)180°后的圖形與本身重合，“重心對(duì)稱型”也是常見(jiàn)輔助線“倍長(zhǎng)中線法”的由來(lái)。

對(duì)于例3所示的全等三角形的證明，根據(jù)已知條件以及平行線的性質(zhì)可得∠D=∠C，再結(jié)合對(duì)頂角，中點(diǎn)的意義，利用A.S.A證明兩個(gè)三角形全等。

04

中心對(duì)稱模型

03

模型整合：旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱相結(jié)合模型

04

模型整合：倍長(zhǎng)中線法

當(dāng)題目背景中出現(xiàn)中點(diǎn)或中線時(shí)，往往可以采取“倍長(zhǎng)中線”或作平行線的方式構(gòu)造全等三角形，從而證明邊或角之間的等量關(guān)系。

(三) 一線三直角型

一線三直角型的特點(diǎn)主要是“一條直線上有三個(gè)直角”，在全等模型中常常體現(xiàn)在等腰三角形背景或正方形背景。

對(duì)于例4所示的全等三角形的證明，根據(jù)已知條件以同角的余角想的，可得∠D=∠BAE，利用A.A.S可以證明三角形全等。

05

一線三直角型

05

模型整合：等腰三角形(正方形)存在性問(wèn)題

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中等腰直角三角形和正方形的存在性問(wèn)題，往往可以利用“一線三直角模型”向x軸或y軸作垂線，從而構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)行邊的轉(zhuǎn)化。

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中考鏈接

(四) 手拉手型

手拉手型又被稱為“共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角形”，指的是兩個(gè)頂角相等的等腰三角形通過(guò)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后所形成的全等三角形。

由△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，則△BAD與△CAE全等，即∠ADB=∠AEC=135°，則BE⊥CE.

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手拉手型

06

模型整合：等邊三角形中的手拉手三角形

(五) 半角模型

半角模型常常在正方形或者等腰直角三角形中出現(xiàn)，即出現(xiàn)45°角，往往可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)的方式，二次證明三角形全等，從而實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化。

本題第一問(wèn)需要尋找DE、BF和EF的數(shù)量關(guān)系，由于BF、DE、EF不在一直線上，因此需要進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)換，由于AD=AB，因此考慮旋轉(zhuǎn)△ADE，使AD與AB重合，得△ABG，再證明△ABG≌△AEF，達(dá)到線段轉(zhuǎn)化的目的。

本題的問(wèn)題背景是△ABC是等腰直角三角形，并且以直角頂點(diǎn)C作45°角：∠ECF，從而判定AE、EF和BF之間的大小關(guān)系，以及能否以EF為斜邊組成直角三角形。本題的突破口在于90°直角以及以直角頂點(diǎn)作45°角，AC=BC，這樣的“半角特點(diǎn)”，可以考慮利用旋轉(zhuǎn)或翻折進(jìn)行輔助線的添加，從而將AE、EF、BF轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，并且這個(gè)三角形是直角三角形，利用斜邊大于任意兩條直角邊，便可將這個(gè)問(wèn)題迎刃而解。

07

模型整合：等腰Rt△中的半角模型

08

模型整合：正方形中的半角模型

與半角模型相關(guān)的問(wèn)題變式較多，除了練習(xí)7外，可以在文末點(diǎn)擊“閱讀全文”進(jìn)行進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

(六) 綜合應(yīng)用

END

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