一次函數(shù)
1. 正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念.
2. 一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）的圖象及性質(zhì).
3. 函數(shù)y＝kx與y＝kx＋b的關(guān)系.
4. 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.
二. 知識(shí)要點(diǎn)：
1. 一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念
（1）形如y＝kx＋b（k，b是常數(shù)，k≠0），那么y叫做x的一次函數(shù).
（2）形如y＝kx（k是常數(shù)，k≠0），那么y叫做x的正比例函數(shù).
注：一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）中，當(dāng)b＝0時(shí)，就成了正比例函數(shù)，所以正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).
2. 正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象和性質(zhì)
（1）正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象是過點(diǎn)（0，0）與（1，k）的一條直線. 在圖1中畫出y＝2x的圖象.
（2）正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象和性質(zhì).
①如圖2，k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；
②如圖3，k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小.
3. 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
（1）一次函數(shù)的圖象
一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象也稱為直線y＝kx＋b.
說明：一次函數(shù)的圖象是與坐標(biāo)軸不平行的一條直線，其中正比例函數(shù)的圖象是過原點(diǎn)的直線. 一次函數(shù)的圖象是一條直線，但直線不一定是一次函數(shù)的圖象. 如x＝a，y＝b分別是與y軸、x軸平行的直線，就不是一次函數(shù)的圖象.
（2）一次函數(shù)的圖象的畫法：作圖時(shí)通常取兩點(diǎn)（0，b）、（1，k＋b）連直線；
（3）一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
①如圖4，k＞0，b＞0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、二、三象限，y隨x的增大而增大；
②如圖5，k＞0，b＜0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三、四象限，y隨x的增大而增大；
③如圖6，k＜0，b＞0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、二、四象限，y隨x的增大而減?。?/span>
④如圖7，k＜0，b＜0時(shí)，圖象經(jīng)過第二、三、四象限，y隨x的增大而減小.
4. 一次函數(shù)y＝kx＋b與正比例函數(shù)y＝kx的圖象的關(guān)系：y＝kx＋b的圖象由y＝kx（k≠0）的圖象平移得到. 當(dāng)b＞0時(shí)，y＝kx（k≠0）的圖象沿y軸向上平移b個(gè)單位便得到y＝kx＋b（k≠0，b＞0）的圖象；當(dāng)b＜0時(shí)，y＝kx（k≠0）的圖象沿y軸向下平移︱b︱個(gè)單位便得到y＝kx＋b（k≠0，b<0）的圖象. 它們的解析式僅在常數(shù)項(xiàng)上有區(qū)別，其他部分完全相同. 因此，對于自變量的任一值，這兩個(gè)函數(shù)相應(yīng)的值總差同一個(gè)常數(shù). 這反映在圖象上，就是不論橫坐標(biāo)為幾，兩個(gè)函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)總差同一個(gè)值，即一個(gè)函數(shù)的圖象總比另一個(gè)函數(shù)的圖象高出同一高度.
5. 一次函數(shù)解析式的確定
待定系數(shù)法：要確定一次函數(shù)的解析式，先設(shè)出函數(shù)的一般形式y＝kx＋b，再找到k，b應(yīng)滿足的兩個(gè)條件，列出關(guān)于k，b的二元一次方程組，解出k與b，從而確定一次函數(shù)的解析式，這種方法就是待定系數(shù)法.
說明：用待定系數(shù)法解函數(shù)解析式共分四步：①設(shè)，根據(jù)題意設(shè)出函數(shù)解析式；②代，即把適合的點(diǎn)的坐標(biāo)代入，組成方程（組）；③解，解出所列方程（組）的解；④還原，把求得的字母的值代入解析式，從而確定函數(shù)解析式.
三. 重點(diǎn)難點(diǎn)：
1. 重點(diǎn)：一次函數(shù)的圖象和性質(zhì).
2. 難點(diǎn)：由一次函數(shù)的圖象歸納得出一次函數(shù)的性質(zhì)及對性質(zhì)的理解.
【考點(diǎn)分析】
一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是中考的一個(gè)重要考點(diǎn)，在填空題和選擇題中出現(xiàn)，常常是考查一次函數(shù)圖象所過象限、增減性、過不過某點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，在綜合題中考查學(xué)生的觀察能力，閱讀圖象獲取信息的能力，分析比較能力，一般情況下，所占分值在8~10分左右.
【典型例題】
例1. 下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù)？
（2）（2008年湖南郴州）一次函數(shù)y＝－x－1不經(jīng)過的象限是 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
（3）已知一次函數(shù)y＝kx＋b，y隨x的增大而減小，且kb＜0，則在直角坐標(biāo)系內(nèi)它的大致圖象是 （ ）
分析：（1）因?yàn)?/span>k＝2，k＞0，所以直線y＝2x－1呈上升趨勢，又因?yàn)?/span>b＝－1，b＜0，所以直線與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)的下方，所以正確選項(xiàng)是B. （2）可以判斷直線y＝－x－1經(jīng)過哪幾個(gè)象限，根據(jù)k＝－1＜0，b＝－1＜0，得此直線經(jīng)過二、三、四象限，所以不經(jīng)過第一象限. （3）在y＝kx＋b中，y隨x的增大而減小，說明k＜0，從而圖象呈下降趨勢，而kb＜0，則b＞0，說明交于y軸的正半軸. 應(yīng)選A.
解：（1）B（2）A（3）A
評(píng)析：直線y＝kx＋b的位置由k和b的符號(hào)確定，k決定直線的上升趨勢和下降趨勢，可形象地稱為“撇”和“捺”，b是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，函數(shù)圖象為“撇”；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，函數(shù)圖象為“捺”，當(dāng)b＞0時(shí)，函數(shù)圖象與y軸正半軸相交；當(dāng)b＝0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)b＜0時(shí)，函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸，我們可以綜合k、b的符號(hào)來判斷圖象的位置.
例3. （2008年上海）如圖，將直線OP向下平移3個(gè)單位，所得直線的函數(shù)解析式為_______
___.
分析：設(shè)直線OP的解析式為y＝kx，因?yàn)槠溥^點(diǎn)P（1，2），所以k＝2. 則其解析式為y＝2x. 向下平移3個(gè)單位后，k不變，直線與y軸的交點(diǎn)下移到（0，－3），即b＝－3，所以平移后直線的解析式為y＝2x－3.
解：y＝2x－3
評(píng)析：直線y＝kx向上、向下平移時(shí)比例系數(shù)k不變，只是增加了常數(shù)項(xiàng). 若向上平移b個(gè)單位得到直線y＝kx＋b，若向下平移b個(gè)單位，則得到y＝kx－b. 注意平移的方向是向上還是向下，從而決定是加還是減b個(gè)單位.
例4. 已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，－2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3，求一次函數(shù)的解析式.
分析：題中有兩個(gè)條件，一個(gè)是“圖象過點(diǎn)（0，－2）”，另一個(gè)是“與兩條坐標(biāo)軸圍成的直角三角形的面積為3”. 后一個(gè)條件的利用，需畫出函數(shù)圖象的草圖，再根據(jù)面積公式列方程.
評(píng)析：在表達(dá)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積時(shí)，關(guān)鍵是求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo). 利用交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化線段的長，注意加絕對值.
例5. 某汽車在加油后開始勻速行駛. 已知汽車行駛至20km時(shí)，油箱剩油58.4L；行駛至50km時(shí)，油箱剩油56L. 如果油箱中剩余油量y（L）與汽車行駛的路程x（km）之間的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系，請你求出這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍.
分析：由題意得兩組x、y的對應(yīng)值，（20，58.4）和（50，56），且y是x的一次函數(shù). 對于自變量的取值范圍要考慮汽車的最小行程x≥0和最大行程x，要使油箱中的余油量不能為負(fù)數(shù)，故有y≥0，得到x的取值
解：設(shè)所求一次函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b，
由題知函數(shù)過點(diǎn)（20，58.4），（50，56），
【方法總結(jié)】
1. 牢牢把握一次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.
2. 在解決與一次函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的題目時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合思想的使用.
【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）
一. 選擇題
1. 若正比例函數(shù)y＝（4m－3）x的圖像上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，y1＞y2，則m的取值范圍是（ ）
10. 如果一次函數(shù)y＝（m－1）x＋（n－2）的圖象不經(jīng)過第一象限，則m的取值范圍是__________，n的取值范圍是__________.
11. 已知一次函數(shù)y＝3x－6，它的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為__________.
**12. （2006年安徽）一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（－1，0），且函數(shù)值隨著自變量的增大而減小，寫出一個(gè)符合這個(gè)條件的一次函數(shù)解析式：__________.
三. 解答題
13. （2008年北京）如圖，已知直線y＝kx－3經(jīng)過點(diǎn)M，求此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
*14. 已知一次函數(shù)y＝（2k－1）x＋（3－2k），y隨x的增大而減小. 求實(shí)數(shù)k的取值范圍，并確定此時(shí)直線過哪幾個(gè)象限.
四. 實(shí)際應(yīng)用題
*15. 將長為30cm，寬為10cm的長方形白紙按如圖所示的方法粘合起來，粘合部分的寬度為3cm.
（1）求5張白紙粘合后的長度；
（2）設(shè)x張白紙粘合后的總長度為ycm，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x＝20時(shí)y的值.
**16. 觀察如圖所示的圖象，并根據(jù)你所獲得的信息回答問題.
（1）折線OAB表示某個(gè)實(shí)際問題的函數(shù)圖象，請你編寫一道符合圖象意義的應(yīng)用題；
（2）根據(jù)你所給出的應(yīng)用題分別指出x軸、y軸所表示的意義，并寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求出圖象AB的函數(shù)解析式，并注明自變量x的取值范圍.
【試題答案】
一. 選擇題
1. A 2. B 3. B 4. A 5. A 6. B
二. 填空題
聯(lián)系客服
