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   因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式乘積的形式，如果從運(yùn)算角度上考慮，也就是把一個(gè)和在保持大小不變的條件下，寫成一個(gè)乘積的形式，而有些運(yùn)算積比和算起來(lái)要簡(jiǎn)單，因此因式分解在解決實(shí)際問題中有著重要應(yīng)用．

　　一、提取公因式法的應(yīng)用

　　例1某市為適應(yīng)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，現(xiàn)需要將一條長(zhǎng)3300m的道路重新拓寬，預(yù)計(jì)3個(gè)月完成，已知第一個(gè)月完成34%，第二月完成36%，問這兩個(gè)月共完成多少米的拓寬任務(wù)？

　　分析：總共有3300m的道路，第一個(gè)月完成了34%，即完成了3300×34%第二月完成了36%，即完成了3300×36%，

　　兩個(gè)月共完成了3300×34%+3300×36%，如果直接運(yùn)算的話，顯然麻煩些，如果將3300×34%+3300×36%提取公因式，就簡(jiǎn)單多了．

　　解：3300×34%+3300×36%=3300（34%×36%）=3300×70%=2310

　　所以這兩個(gè)月共完成2310m拓寬任務(wù)．

　　例2在電學(xué)公式：U=IR₁+ IR₂ +IR₃，當(dāng)R₁=12.9 R₂=18.5  R₃=18.6，I=2時(shí)，求U的值

　　分析：直接代入數(shù)值，U=IR₁+ IR₂ +IR₃=2×12.9+2×18.5+2×18.6，如果直接計(jì)算，太麻煩，不妨提取公因式

　　解：當(dāng)R₁=12.9 R₂=18.5  R₃=18.6，I=2時(shí)

U=IR₁+IR₂+IR₃=2×12.9+2×18.5+2×18.6=2×（12.9+18.5+18.6）=2×50=100

　　評(píng)注：某些實(shí)際問題，如果列出代數(shù)式中，含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能夠湊整，用提取公因式計(jì)算較簡(jiǎn)單．

　　二、平方差公式的應(yīng)用

　　例3、學(xué)校在一塊邊長(zhǎng)為 13.2m的正方形場(chǎng)地，準(zhǔn)備在四個(gè)角落各建一個(gè)邊長(zhǎng)為3.4m的正方形噴水池，剩余的部分修成綠地，若購(gòu)買 130m²的草坪，夠不夠鋪綠地？

　　分析：原有的面積為13.2²，四個(gè)正方形水池的面積為4×3.4²，剩余部分的面積為13.2²-4×3.4²，如果先乘方，再減法，運(yùn)算量較大，如果按照平方差公式分解因式，較簡(jiǎn)單

　　解：依題意得13.2²?4×3.4²=13.2²?(2×3.4)²=13.2²?6.8²=(13.2+6.8)(13.2?6.8)=20×6.4=128

　　因?yàn)?/span>130>128

　　所以購(gòu)買130m²的草坪，夠鋪綠地．

　　例4、一種圓筒狀包裝的保鮮膜，如下圖所示，其規(guī)格為“20cm×60cm”，經(jīng)測(cè)量這筒保鮮膜的內(nèi)徑φ₁、外徑φ的長(zhǎng)分別為3.6cm、4.4cm，則該種保鮮膜的厚度約為_____（π取3.14，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）．

　　分析：圓筒狀包裝的保鮮膜展開與未展開體積是相同的．

　　設(shè)厚度為xcm，展開時(shí)體積為x×20×6000(cm³)

　　未展開的體積為

　　解：設(shè)設(shè)厚度為xcm，依題意得

x×20×6000=

x×20×6000=20×3.14×(2.2²?1.8²)

6000x=3.14×(2.2+1.8)(2.2?1.8)

6000x=5.024

　　解之得 x=8.4×10^?4

　　評(píng)注：如果由實(shí)際問題得到的代數(shù)式，滿足平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，而且分解后，兩個(gè)數(shù)的和或兩個(gè)數(shù)的差運(yùn)算較簡(jiǎn)單，通常應(yīng)用平方差公式．

　　三、完全平方公式的應(yīng)用

　　例5 達(dá)活泉公園有一塊長(zhǎng)為 51.2m的正方形綠地，為了便于游人通行，決定修兩條互相垂直的小路，如圖小路寬 1.2m，問剩余綠地的面積是多少？

　　分析：用整塊綠地的面積減去小路的面積就是剩余綠地的面積

　　解：51.2²?(2×1.2×51.2?1.2²)

=51.2²?2×1.2×51.2+1.2²

=(51.2?1.2)²

=50²

=2500

　　所以剩余綠地的面積為 2500m²

　　評(píng)注：由實(shí)際問題列出的代數(shù)式滿足完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，且寫成兩個(gè)數(shù)和或兩個(gè)數(shù)的差的平方又容易計(jì)算，通常應(yīng)用完全平方公式．

　　四、因式分解的綜合應(yīng)用

　　例6（05年浙江）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式x⁴?y⁴，因式分解的結(jié)果是(x?y)(x+y)(x²+y²)，若取x=9，y=9時(shí)，則各個(gè)因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x²+y²)=162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)式4x³y?xy³，取x =10，y =10時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：　　　(寫出一個(gè)即可)．

　　分析：按照原理，需把4x³y?xy³分解因式，再代入求值，就可以產(chǎn)生密碼

　　解：4x³y?xy³= x(4x²?y²) = x(2x+y)(2x?y)

　　當(dāng)x = 10，y = 10，各因式的值是：x = 10，(2x+y)= 30，(2x?y) = 10

　　又因?yàn)檫@六個(gè)數(shù)字不考慮順序，所以產(chǎn)生的密碼為103010；101030；301010

　　評(píng)注：在進(jìn)行因式分解時(shí)，首先提取公因式，然后再考慮用公式，注意每一個(gè)因式要分解徹底．