【專題名稱】初中數(shù)學(xué)教與學(xué)【專 題 號】G352【復(fù)印期號】2010年10期【原文出處】《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》(津)2010年6期第24～31頁【作者簡介】楊新榮(1979- )，男，湖南益陽人，香港大學(xué)教育學(xué)院博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育、教師教育、比較教育等研究。【關(guān) 鍵 詞】EEUU
一、問題提出
雖然如湯普森指出的，“對于好的數(shù)學(xué)教學(xué)的構(gòu)成，很難有一個一致的認(rèn)識”[1]，但是毫無疑問，對于某個社會環(huán)境中所認(rèn)定的好的數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是數(shù)學(xué)教師自身對于好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識，不僅是一個影響教師教學(xué)實踐而且也是影響學(xué)生數(shù)學(xué)成績的重要因素。近年來，越來越多的研究者開始探討不同社會環(huán)境下好的數(shù)學(xué)教學(xué)的特點，特別是探討那些學(xué)生在大型國際比較研究中取得較好成績的國家或地區(qū)的好的數(shù)學(xué)教學(xué)的特點，如韓國、新加坡、中國香港以及中國內(nèi)陸等[2～5]。這些研究通過分析這些國家和地區(qū)一個或者幾個優(yōu)秀教師的課堂教學(xué)歸納出了一系列的好的數(shù)學(xué)教學(xué)的特點。不過這些特點的獲得大多是基于研究者本人的認(rèn)識和感受，而忽視對教師自身對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成認(rèn)識的探討。然而如Ernest[6]指出的，在眾多影響數(shù)學(xué)教學(xué)實踐的關(guān)鍵因素中，教師本身所持有的觀念系統(tǒng)是極為重要的一個。由此，要深入認(rèn)識某個特定環(huán)境下好的數(shù)學(xué)教學(xué)的構(gòu)成，就不能忽視數(shù)學(xué)教師自身對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識。
然而，迄今為止，雖然Wilson等人[7]探討了美國數(shù)學(xué)教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識，鮮有研究探討其他國家或地區(qū)數(shù)學(xué)教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識。眾所周知，東西方在社會文化環(huán)境和教學(xué)環(huán)境上存在一定的區(qū)別。而且事實上，教師所處的社會和文化環(huán)境將影響其教學(xué)觀念系統(tǒng)[6]，同時這種觀念系統(tǒng)將進(jìn)一步影響其對理想教學(xué)方式的選擇[1]。這也就說明，不同社會文化背景下的教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識可能將存在一定的差異。由此，探討不同文化背景下數(shù)學(xué)教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)的理解，不僅可以更深入、全面地理解某個特定文化環(huán)境中的好的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，而且可以更為深入地理解文化環(huán)境對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的影響。基于此，本研究主要采用半結(jié)構(gòu)式訪談探討在中國內(nèi)陸文化環(huán)境中中學(xué)數(shù)學(xué)教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識。
二、研究綜述
1.國際環(huán)境下好的數(shù)學(xué)教學(xué)研究
如前所述，近來越來越多的研究者開始探討好的數(shù)學(xué)教學(xué)的特點。Pang[2]通過分析3個韓國優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)韓國的好的數(shù)學(xué)教學(xué)在一定程度上比較偏向于“內(nèi)容導(dǎo)向”。韓國的好的數(shù)學(xué)教學(xué)特點有：(1)強調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)容；(2)考慮到學(xué)生的知識和能力程度；(3)強調(diào)多種解題方法和知識的連接性；(4)教師對教材的重新建構(gòu)。Kaur[3]分析了3個新加坡優(yōu)秀教師的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，發(fā)現(xiàn)其課堂教學(xué)可概括為——“教師為中心但學(xué)生為焦點”，其主要特點包括：(1)每個教學(xué)環(huán)節(jié)都有明確的目標(biāo)；(2)精選由易到難的例題；(3)學(xué)生練習(xí)時能積極監(jiān)控學(xué)生的理解而且能選擇合適的學(xué)生個案用作全班復(fù)習(xí)和討論；(4)通過詳細(xì)復(fù)習(xí)學(xué)生作業(yè)(包括家庭作業(yè))來鞏固學(xué)生對知識的理解。從這兩個研究的結(jié)果來看，如兩位研究者表明的，教師所在的教學(xué)環(huán)境對教師的好的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐存在一定的影響。如受考試文化的影響，韓國與新加坡的好的數(shù)學(xué)教學(xué)中都強調(diào)知識的理解與掌握、解題技能等。由此，如Pang[2]指出的，“好的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐是扎根于某根深蒂固的文化價值和規(guī)范的”。這也就說明社會文化環(huán)境將影響好的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐。由此要深入了解好的數(shù)學(xué)教學(xué)的構(gòu)成，就不應(yīng)脫離其所在的社會文化環(huán)境。為了深入探討數(shù)學(xué)教師自身對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識，Wilson等人[7]訪談了9位美國數(shù)學(xué)教師。他們發(fā)現(xiàn)美國數(shù)學(xué)教師認(rèn)為好的數(shù)學(xué)教學(xué)主要由如下幾個方面構(gòu)成：(1)教師要具備廣闊的數(shù)學(xué)學(xué)科知識和學(xué)生知識。(2)促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。好的數(shù)學(xué)教學(xué)要能促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)，能在課堂內(nèi)外運用數(shù)學(xué)。具體包括如下幾個方面：①注重數(shù)學(xué)知識的連接，包括不同知識點間的連接和數(shù)學(xué)與生活間的連接；②數(shù)學(xué)知識的形象化。能運用電腦、計算器、繪畫以及其他具體實物幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識形象化；③迅捷且及時地評價學(xué)生理解；④避免教師直接告知。(3)激勵且引導(dǎo)學(xué)生參與。(4)有效的課堂調(diào)控。
從上述美國數(shù)學(xué)教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成認(rèn)識來看，雖然如Wilson等人反思的，美國教師也認(rèn)為教師應(yīng)該對課堂教學(xué)的順利實施負(fù)責(zé)，但是對于學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位還是有一定的強調(diào)。同時，與前面所概括的韓國和新加坡好的數(shù)學(xué)教學(xué)的特點相比，如多種解題方式、知識的鞏固等體現(xiàn)得都不是非常的明顯。這就進(jìn)一步說明，在不同的文化環(huán)境下，教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)的構(gòu)成認(rèn)識與實踐將存在一定的差異。
2.國內(nèi)好的(數(shù)學(xué))教學(xué)認(rèn)識研究
對于教師的好的教學(xué)的認(rèn)識，也有相關(guān)研究探討大陸教師的認(rèn)識。如Gao和Watkins[8]發(fā)現(xiàn)大陸物理教師所持有的物理教學(xué)概念中，其中學(xué)生的考試成績，特別是學(xué)生在公開考試中所取得的成績是衡量教學(xué)好壞甚至學(xué)校教育成功與否的一個主要部分。也就是說好的教學(xué)要能提升學(xué)生的考試成績。Chen[9]探討了北方不同學(xué)科教師所持有的“優(yōu)秀教學(xué)”的概念，發(fā)現(xiàn)參與教師傾向于認(rèn)為“優(yōu)秀教學(xué)”應(yīng)當(dāng)做到：(1)關(guān)注學(xué)生(包括創(chuàng)設(shè)溫和、激勵的課堂氣氛，積極的師生關(guān)系，激勵表揚學(xué)生等)；(2)促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展；(3)注重知識內(nèi)部和知識與生活世界間的聯(lián)系；(4)結(jié)構(gòu)有序的教學(xué)計劃等。與Gao和Watkins的研究不同的是，在Chen的研究中，學(xué)生的考試成績并不是一個重要的組成部分。
對于數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，雖然鮮有研究探討教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識，但是也有研究，特別是一些國際比較研究，探討了大陸數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教學(xué)觀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。這些研究發(fā)現(xiàn)，與西方教師相比，中國數(shù)學(xué)教師無論在數(shù)學(xué)觀還是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀或者數(shù)學(xué)教學(xué)觀都存在一定的不同[10～11]。如前所述，教師的教學(xué)觀念系統(tǒng)將進(jìn)一步影響其教學(xué)方式的選擇。如在一項教師對“有效數(shù)學(xué)教學(xué)”認(rèn)識的國際比較研究中就發(fā)現(xiàn)，與西方數(shù)學(xué)教師所持有的“學(xué)生為中心的”觀點不同的是，中國內(nèi)陸的數(shù)學(xué)教師就此較傾向于持有一種“教師為中心”的觀點[12]。具體的，中國內(nèi)陸的數(shù)學(xué)教師認(rèn)為“有效的數(shù)學(xué)教學(xué)”應(yīng)當(dāng)具備如下特點：連貫性、涵蓋預(yù)定的內(nèi)容、好的問答過程、輕松的課堂氛圍、學(xué)生參與度高、靈活的課堂教學(xué)過程、具體教學(xué)實例的使用和對數(shù)學(xué)內(nèi)涵的概括等”[13]。最近，Huang和Li[5]也深入分析了中國內(nèi)陸的一堂數(shù)學(xué)示范課，發(fā)現(xiàn)了這堂被認(rèn)定為好的數(shù)學(xué)課的一些特點：教學(xué)的連貫性、發(fā)展良好的知識、運用變式問題練習(xí)知識、揭示數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)文化價值、激勵學(xué)生的參與和自我探究等。
如前綜述中，相關(guān)研究通過分析一個或者幾個優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的教學(xué)實踐活動概括出了不同環(huán)境下好的數(shù)學(xué)教學(xué)的特點。但是這些特點的獲得大都基于研究者的認(rèn)識和概括，較少關(guān)注這些環(huán)境中數(shù)學(xué)教師自身對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識。同時，雖然也有研究探討中國內(nèi)陸教師對“優(yōu)秀教學(xué)”或者“好的教學(xué)”的認(rèn)識，但是其研究對象并非數(shù)學(xué)教師或者不是全部為數(shù)學(xué)教師，同時其結(jié)果還存在一定的差異。此外，雖然有研究探討內(nèi)陸數(shù)學(xué)教師對“有效教學(xué)”的認(rèn)識，但是其研究對象主要為非常有經(jīng)驗的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，同時一部分還是教研員。由此，對于中國內(nèi)陸中學(xué)數(shù)學(xué)教師怎樣理解好的數(shù)學(xué)教學(xué)的構(gòu)成還不得而知。特別的，從前述研究可以看出，與其他國家教師相比，中國內(nèi)陸教師無論在教學(xué)觀念和實踐都存在一定的不同，由此便可以預(yù)測中國內(nèi)陸中學(xué)數(shù)學(xué)教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識上可能也將存在一定的差異?；诖耍狙芯窟\用定性研究方法探討在新一輪數(shù)學(xué)課程改革進(jìn)行多年背景下的中國內(nèi)陸初中數(shù)學(xué)教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識，以其更為深入地理解內(nèi)陸文化環(huán)境下，中國數(shù)學(xué)教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識。
三、研究方法
1.研究對象
本研究主要采用目的抽樣選取研究參與者。在綜合考慮了學(xué)校性質(zhì)(如重點與普通)，教師資歷(不同職稱)、教師教齡等因素后，本研究選取了重慶市9名初中數(shù)學(xué)教師(來自5所中學(xué)，為保護個人隱私，在往后行文過程中將分別記為T1，T2，…，T9）作為研究對象。其具體信息如下：
表1 參與教師具體信息
教師代號 性別 職稱 教齡 學(xué)校性質(zhì) T1 女 中一 7 重點中學(xué) T2 女 中一 9 普通中學(xué) T3 男 中二 4 重點中學(xué) T4 女 高級 17 普通中學(xué) T5 女 中一 14 普通中學(xué) T6 男 中二 3 普通中學(xué) T7 男 高級 23 重點中學(xué) T8 女 中一 10 普通中學(xué) T9 男 高級 27 重點中學(xué) |
2.數(shù)據(jù)收集
本研究主要采用半結(jié)構(gòu)式訪談來收集相關(guān)數(shù)據(jù)。第一次訪談問題的編制和執(zhí)行主要參考Wilson等[7]的研究并結(jié)合中國教學(xué)實際予以適當(dāng)?shù)男薷摹５谝淮卧L談問題主要包括：(1)被訪談?wù)咦约荷线^的最好的一堂數(shù)學(xué)課?為什么這樣認(rèn)為?(2)被訪談?wù)咚犨^的最好的數(shù)學(xué)課?為什么這樣認(rèn)為?(3)若被訪者上這堂課，會做哪些變動?為什么?(4)被訪談?wù)呃硐氘?dāng)中最好的數(shù)學(xué)課?為什么這樣認(rèn)為?每個訪談歷時28分鐘到40分鐘不等。所有訪談均錄音并隨后實錄成文本。第二次訪談主要針對前次訪談中被訪者沒有詳細(xì)闡述的方面進(jìn)行。在第二次訪談前，被訪教師首先閱讀了前次訪談實錄并做相應(yīng)補充。相應(yīng)的，所有訪談均被錄音并隨后實錄成文本以備分析。
3.數(shù)據(jù)分析
數(shù)據(jù)分析的目的在于鑒別被訪者所認(rèn)為的好的數(shù)學(xué)課的構(gòu)成要素。本研究采用“不斷比較方式”[14](constant comparative style)對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，這也就使得一些“種類”(categories)能從數(shù)據(jù)自身顯現(xiàn)出來。通過對每個教師的訪談文本進(jìn)行編碼、對各個編碼進(jìn)行文本內(nèi)部和跨文本間的比較和歸類以及對各個“種類”(categories)內(nèi)部和“種類”(categories)間的關(guān)系進(jìn)行更深入地分析整理，以濃縮和提煉出受訪教師對好的數(shù)學(xué)課構(gòu)成上的一些主要的“主題”(themes)。
四、研究結(jié)果
通過分析9個
初中數(shù)學(xué)教師對其自身上過的好的數(shù)學(xué)課，其聽過的好的數(shù)學(xué)課以及其理想當(dāng)中的好的數(shù)學(xué)課認(rèn)識概括出了7個主要相似的方面。表2列出了這7個方面以及每個教師認(rèn)識的分布情況。
表2 教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成認(rèn)識分布
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 A + + + + + + + + + B + + + + + + C + + + + + + + + + D + + + + + + E + + + + + + + + F + + + + + + + + G + + + + + + + + + |
注：A——教學(xué)內(nèi)容與生活實際相連；
B——營造和諧氣氛、激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；
C——學(xué)生為主，保障學(xué)生探究的時間和空間；
D——尊重學(xué)生差異，注意教學(xué)內(nèi)容的層次性；
E——深層次挖掘數(shù)學(xué)知識，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)；
F——注重知識間的聯(lián)系，綜合性地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、
思想；
G——發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力
(1)課堂教學(xué)內(nèi)容與生活實際相連。
9位老師均強調(diào)一堂好的數(shù)學(xué)課其教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該與學(xué)生的生活實際相連接，力求讓學(xué)生身臨其境地解決一個具體的生活問題，也就使數(shù)學(xué)貼近學(xué)生的生活。如T1強調(diào)：讓學(xué)生從生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識。因為很多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是比較空的。首先從引入方面去講其實數(shù)學(xué)是來源于生活的……學(xué)了數(shù)學(xué)是作用于生活的。(T1)
至于將教學(xué)內(nèi)容與生活實際相連的方式，其提到最多的是在課堂引入部分將新課題與生活實際相整合。他們在回顧自己或者他人上過的一堂好的數(shù)學(xué)課時，無一例外地都提到引入新課時將新課題與生活實例相整合。此外，一堂好的數(shù)學(xué)課，如果可能，其例題或者習(xí)題也應(yīng)盡量與生活實際相連。如有老師提到用諸如“鋪地板”“企業(yè)盈利”等生活中的實際事例來改編例題或者習(xí)題。做到在教學(xué)過程中讓學(xué)生“感覺數(shù)學(xué)很多時候不是那么抽象。有的時候就是根據(jù)生活當(dāng)中一些例子類比過來的一些概念和知識，這樣學(xué)生接受起來容易些”。(T2)
(2)營造和諧的課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。
在本研究中發(fā)現(xiàn)，教師能否營造和諧的課堂教學(xué)氣氛，能否激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也是衡量一堂課好壞的一個重要方面。有6個教師都提及到一堂好的數(shù)學(xué)課應(yīng)該具備和諧、輕松的課堂氣氛，在課堂教學(xué)過程中，教師要善于且能夠激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。如T3強調(diào)：一堂好課，首先是課堂氣氛要好。讓學(xué)生感覺到上課是一種享受，而不是非常難受地坐在那個地方。然后激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。讓他們覺得學(xué)數(shù)學(xué)是件很愉快的事。(T3)
(3)充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，保證學(xué)生自主探索的空間和時間。
在本研究中，每個教師都提到，對于一堂好的數(shù)學(xué)課而言，在其教學(xué)過程中，應(yīng)該發(fā)揮學(xué)生的主體性，學(xué)生能積極參與到課堂活動中來，學(xué)生通過自己的探索來找到解決問題的方法、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。有6個教師在回顧其自己或者他人上得好的數(shù)學(xué)課時都提到“小組活動”“讓學(xué)生操作很多東西”“學(xué)生通過復(fù)習(xí)，自己遷移到這個上面，自己進(jìn)行比較”等。對于教師和學(xué)生在課堂中的身份，T4強調(diào)“教師只是組織者、協(xié)調(diào)者”。
此外，于一堂好課而言，教師應(yīng)該給予學(xué)生比較充分的時間，即學(xué)生應(yīng)該具有自主探索的時間和空間。在教學(xué)過程中，學(xué)生要能有機會去探索、發(fā)現(xiàn)，能體驗知識的形成或者發(fā)展過程。如T5指出：在教學(xué)過程中，應(yīng)該盡量讓學(xué)生能夠體會到這個知識的產(chǎn)生過程，讓他去理解數(shù)學(xué)的來源，真正地理解這種來源。(T5)
與此同時，教師還要能給學(xué)生制造具備一定挑戰(zhàn)性的空間，從而不斷激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，使之積極地去從事學(xué)習(xí)、探索。如T4強調(diào)：我覺得教師應(yīng)該充分地把握住學(xué)生的元認(rèn)知水平。在元認(rèn)知水平上能夠拓展到帶有挑戰(zhàn)性的程度，就是讓學(xué)生有一個發(fā)展(的空間)，這與他輕松地掌握沒有一個發(fā)展是不一樣的。(T4)
這也就是說，對于一堂好的數(shù)學(xué)課，教師不應(yīng)將所有的
知識點、方法都講得非常透徹，代替學(xué)生思考，剝奪學(xué)生自主探索、思考的時間和空間。于一堂好的課而言，留適當(dāng)?shù)臅r間給學(xué)生思考和探索是非常必要的。
(4)關(guān)注學(xué)生的個體差異和可接受程度，有層次、梯度地呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容。
有6個教師提到，在一堂好的數(shù)學(xué)課中，教師應(yīng)該尊重學(xué)生的個體差異，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和可接受程度，并且在備課和教學(xué)過程中能做到有層次、梯度地處理和呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容。如T5提到：對于一般的班級來說，學(xué)生水平是參差不齊的，那么好的學(xué)生要照顧，一節(jié)課一兩道問題可以深一點，就是說這些學(xué)生能夠得到好的發(fā)展。但是對于另外一些學(xué)生，需要設(shè)計稍微淺一點的問題，因為深了，他不太感興趣了，對這堂課不感興趣，對你這個老師不感興趣，那么必定是失敗的一堂課。(T5)
也就是說，對于一堂好的數(shù)學(xué)課，教師要能針對不同層次的學(xué)生設(shè)計不同的問題，保障知識結(jié)構(gòu)上的合理化，從而做到在知識的呈現(xiàn)上有一定的層次和梯度，由淺入深地展開教學(xué)。如T6提到的：通過一些環(huán)節(jié)的設(shè)置，能夠讓學(xué)生通過他的了解然后讓他逐步地深入到問題的核心部分，然后帶動學(xué)生一起進(jìn)行思考。(T6)
同時在教學(xué)過程中，教師也要善于利用學(xué)生數(shù)學(xué)能力上的差異，選擇合適的教學(xué)方法和策略，做到讓學(xué)生之間相互啟發(fā)。如T7老師提到：學(xué)生有好、中、差，好學(xué)生的思維就可以啟發(fā)一些中等或者差一點的學(xué)生，教師要能利用這點。(T7)
(5)深層次地挖掘數(shù)學(xué)知識，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)。
如前所述，雖然絕大部分受訪教師認(rèn)為一堂好的數(shù)學(xué)課學(xué)生應(yīng)有機會參與不同的活動等，但是根據(jù)這9位老師后繼的闡述，一堂好的數(shù)學(xué)課，在教學(xué)過程中絕不能由于關(guān)注某些活動而使得數(shù)學(xué)課堂喪失了應(yīng)有的數(shù)學(xué)味，相反的，好的數(shù)學(xué)課要突出數(shù)學(xué)自身所具有的特色，強調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)。也就是說某些活動的運用其主要目的在于促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的體驗和理解，或者說活動本身應(yīng)與相關(guān)知識的學(xué)習(xí)能有機地整合。根據(jù)這9位老師的闡述，作為一堂好的數(shù)學(xué)課，首先在知識處理上教師要注重挖掘知識的內(nèi)涵與外延。如T4指出：課堂知識內(nèi)涵和外延都有自己獨特的見解，都挖掘出來。不僅讓聽課的老師覺得很新奇、很輕松，也要讓學(xué)生覺得很新奇。(T4)
其次在課堂上，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生比較深層次地探討數(shù)學(xué)知識，如T7在講述自己認(rèn)為一堂什么樣的課才能稱為好的數(shù)學(xué)課時強調(diào)：我感覺一堂好的數(shù)學(xué)課，應(yīng)該從數(shù)學(xué)這個角度來說，不是表面上看上去非常的熱鬧，而是從深層次上看這個知識應(yīng)該是比較活躍的，要強調(diào)數(shù)學(xué)實質(zhì)性方面的知識……我覺得一堂好的數(shù)學(xué)課應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從問題的實質(zhì)，從問題的核心入手去展開，把握一些深層次的東西。(T7)
(6)注重數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的前后銜接，綜合性地呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容。
對于教學(xué)內(nèi)容的處理，所有被訪教師都提到不能就教材教教材。教師自身要對教學(xué)內(nèi)容有自己獨到的見解，對教材有自己的認(rèn)識，要能結(jié)合學(xué)生實際靈活地處理教學(xué)內(nèi)容。特別在對教學(xué)內(nèi)容的處理上不能僅僅局限于本堂課的
知識點和數(shù)學(xué)思想，而要考慮到學(xué)生已有的知識儲備和后繼學(xué)習(xí)的需要，注重將相關(guān)知識和數(shù)學(xué)思想方法前后銜接，能綜合性地處理教學(xué)內(nèi)容。如T5在描述一堂好的數(shù)學(xué)課如何處理其教學(xué)內(nèi)容時強調(diào)：對于教材內(nèi)容，不能僅僅考慮到這節(jié)課的內(nèi)容，有可能還要涉及本章、本冊書，甚至是整個中學(xué)階段的內(nèi)容。這樣一來，你就要了解它的一個形成過程，這一塊學(xué)了之后，什么時候再學(xué)，那么我這個深度要講到什么地方為止，這就是一個連環(huán)性的問題。(T5)
(7)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考。
本研究發(fā)現(xiàn)，于一堂好的數(shù)學(xué)課而言，教師應(yīng)該能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。教會學(xué)生數(shù)學(xué)地思考、理性地看待問題是所有老師衡量一堂課好壞的一個關(guān)鍵。如前面提到的給學(xué)生一定的挑戰(zhàn)空間和機會也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一方面。其次在知識的處理上更要注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透。如T8強調(diào)：你講這些
知識點，學(xué)生能產(chǎn)生哪些方法，能滲透哪些數(shù)學(xué)方法進(jìn)去，滲透哪些數(shù)學(xué)思維進(jìn)去。如果你一堂課連一個數(shù)學(xué)思維方法也不滲透，甚至就題講題，這個不是好的課。(T8)
再次，在教學(xué)過程中，更要注重學(xué)生思維上的參與，如T9強調(diào)的：對于一堂好的數(shù)學(xué)課，你要能夠讓學(xué)生有一個思維的參與度，不是說表面上大家一起說了，把過程答案直接講出來，而是說思維方面，你要讓學(xué)生的思維參與進(jìn)去。你在學(xué)生思維參與方面有沒有一些措施，就是啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生有這種思考的方向、深度、廣度，我覺得這是一個比較重要的方面。(T9)
如T9強調(diào)的，對于一堂好的數(shù)學(xué)課，教師不僅要有讓學(xué)生思維參與的意識，同時還要有不同的教學(xué)策略啟發(fā)學(xué)生思維的碰撞，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)的思考，探索解決問題的方法。同時，還有老師強調(diào)，對于一堂好的數(shù)學(xué)課而言，教師要能做到舉一反三，做到一題多解，促進(jìn)學(xué)生思維的拓展和發(fā)散。在思考問題的時候，教師要能照顧學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，站在學(xué)生的立場思考問題。如T1提出的：最好教他(學(xué)生)一些思維，能夠在以后做數(shù)學(xué)題(中用到)，因為數(shù)學(xué)題不是一成不變的，它有很多改變，能夠舉一反三，這個思維一定要慢慢地教，只能慢慢養(yǎng)成。(T1)
五、討論
本文的主要目的在于探討在大陸教育文化背景下，中學(xué)數(shù)學(xué)教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識。從上述研究結(jié)果來看，在當(dāng)前，這9名
初中數(shù)學(xué)教師在衡量一堂好的數(shù)學(xué)課時，主要考慮的因素有：
1.注重數(shù)學(xué)課堂教學(xué)氣氛和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣
從本研究結(jié)果來看，如果一堂數(shù)學(xué)課稱得上好的數(shù)學(xué)課，其課堂教學(xué)氣氛一定要和諧、愉快、輕松，學(xué)生要能快樂地學(xué)數(shù)學(xué)，教師亦要能激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，讓學(xué)生真正喜歡上數(shù)學(xué)。這也就說明，中國教師認(rèn)為好的數(shù)學(xué)教學(xué)要能關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感體驗，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心等。對于和諧、輕松的課堂教學(xué)氣氛上的強調(diào)，在另外兩個有關(guān)中國教師關(guān)于“優(yōu)秀教學(xué)”[9]和“有效數(shù)學(xué)教學(xué)”[13]的認(rèn)識上也有類似發(fā)現(xiàn)。
2.注重學(xué)生的主體性和探究性的學(xué)習(xí)方式
從上述研究結(jié)果來看，尊重學(xué)生的個體差異，強調(diào)學(xué)生的主體性，給學(xué)生自主探索的時間和空間也是教師衡量一堂數(shù)學(xué)課好壞的一個主要方面。這也就表明，在這部分教師的認(rèn)識中，并沒有反映以往一直批判的那種傳統(tǒng)課堂教學(xué)過程中教師對課堂教學(xué)的絕對主導(dǎo)的認(rèn)識。相反的，如同前面與美國教師觀點比較一樣，好的數(shù)學(xué)教學(xué)要避免教師的直接“告知”，教師要能意識并且強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中學(xué)生的主體性，強調(diào)學(xué)生的參與和自主探究，教師不能對課堂教學(xué)過程做絕對控制。這也就說明，在新課程背景下，注重改變學(xué)生的課堂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的多樣性，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法也是教師衡量一堂數(shù)學(xué)課好壞的重要指標(biāo)之一。
3.注重知識間的聯(lián)系和數(shù)學(xué)本質(zhì)
從上述研究結(jié)果來看，對教學(xué)內(nèi)容結(jié)合學(xué)生實際做靈活處理，突出數(shù)學(xué)知識與學(xué)生生活以及數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系，有梯度地呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，強調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)部以及數(shù)學(xué)與生活實際的聯(lián)系，將不同的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行綜合，深層次地挖掘數(shù)學(xué)知識以及突出數(shù)學(xué)本質(zhì)是9位被訪教師衡量一堂數(shù)學(xué)課好壞的一個相當(dāng)重要的因素。對于教學(xué)內(nèi)容做合適的處理在其他東亞地區(qū)的好的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中也有發(fā)現(xiàn)，如前提到的，韓國的好的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中就有對教材的重新建構(gòu)[2]，新加坡的課堂中也發(fā)現(xiàn)教師要設(shè)計由易到難的習(xí)題等等[3]。不過根據(jù)Wilson等人[7]的研究，雖然美國數(shù)學(xué)教師也強調(diào)促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，但是對于數(shù)學(xué)本質(zhì)尤其是深層次地挖掘數(shù)學(xué)知識并非美國數(shù)學(xué)教師提及的重點。
中國內(nèi)陸數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)知識的靈活處理和重視、突出數(shù)學(xué)本質(zhì)等認(rèn)識是受中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)影響的。在中國內(nèi)陸，重視基礎(chǔ)知識和基本技能的傳授一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)。教學(xué)過程中對基礎(chǔ)知識講解得比較細(xì)致，數(shù)學(xué)教學(xué)旨在于系統(tǒng)的、全面的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和對數(shù)學(xué)知識的深刻認(rèn)識[15]。在具體教學(xué)過程中，如涂榮豹等[16]指出，中國的數(shù)學(xué)教學(xué)在知識目標(biāo)上比較突出，長于由“舊知”引出“新知”而且在教學(xué)過程中注重新知識的內(nèi)部的深入理解。同樣，如鄭毓信[17]總結(jié)的，中國數(shù)學(xué)教師更為強調(diào)知識內(nèi)容間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣一方面可以很快進(jìn)入主題，同時也可以體現(xiàn)教學(xué)在整體上的一致性。另一方面，這也是受到當(dāng)前數(shù)學(xué)課程改革理念的影響。如在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的，同時綜合運用所學(xué)知識和技能解決相關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識等也是本次新課標(biāo)突出強調(diào)的理念[18]。
4.注重數(shù)學(xué)方法和學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展
在本研究中，教師們對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成的認(rèn)識上最為突出強調(diào)的一個方面是，要能將不同的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法與教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有機的整合，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?，引?dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)不同的解題方法和規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考等。也就是說對于學(xué)生在課堂上的數(shù)學(xué)思維層次上的參與，以及學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的掌握等是教師用來衡量一堂數(shù)學(xué)課好壞的關(guān)鍵。在訪談中，有老師甚至提到有幾堂課他們并沒有完成教學(xué)任務(wù)，或者課堂結(jié)構(gòu)看上去比較混亂，但是學(xué)生能夠積極參與討論、提出有挑戰(zhàn)性的問題或者新奇的解決問題的方法，所以他們?nèi)匀徽J(rèn)為這些數(shù)學(xué)課是好的數(shù)學(xué)課。這也就說明，于這幾個老師而言，好的數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)鍵并非組織多少活動，而在于關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維層次的參與度以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。對于重視解題方法的歸納、重視數(shù)學(xué)思想的滲透和注重學(xué)生思維發(fā)展，這些前面的研究發(fā)現(xiàn)比較一致。如Leung[11]發(fā)現(xiàn)北京教師比較注重題型的總結(jié)，An[10]也發(fā)現(xiàn)中國教師認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的各種能力和思維。但是對于先前研究中所發(fā)現(xiàn)的完成既定教學(xué)任務(wù)或者完整的課堂結(jié)構(gòu)等在這些老師看來并不是關(guān)鍵。在他們看來，好的數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵還在于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問題和解決問題的能力。不過與Wilson等人[7]，的研究相比，美國數(shù)學(xué)教師并沒有突出強調(diào)這方面。
其實培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和各種數(shù)學(xué)能力也一直是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育思想之一。重視解題，關(guān)注方法和技巧是中國數(shù)學(xué)教學(xué)的一大特點[16]。如相關(guān)學(xué)者指出的，在中國內(nèi)陸，數(shù)學(xué)問題解決不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)而且也是一種重要的數(shù)學(xué)教學(xué)方式。在中國課堂中，數(shù)學(xué)教師將突出強調(diào)“一題多解”“一題多變”以及“多題一解(法)”等[19]。此外，如鄭毓信[20]指出的，中國數(shù)學(xué)教師的一個基本信條是要使學(xué)生知其然，更要使學(xué)生知其所以然。也就是在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不能僅僅追求熟練的運算能力，更要追求對數(shù)學(xué)的深層次的理解，突出對學(xué)生思維的培養(yǎng)。其實，“數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)”已成為中國一線數(shù)學(xué)教師的共識[20]。此外，對于學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展上，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)的思維方式去考察、分析、解決各種問題的能力也是我國歷次數(shù)學(xué)教學(xué)大綱或者課程標(biāo)準(zhǔn)突出強調(diào)的重點。特別是在新近修改的課標(biāo)中，“基本思想”更是成為“四基”的一個重要組成部分，在具體教學(xué)過程中，“基本思想”更是統(tǒng)整全部內(nèi)容的主線[21]。
六、結(jié)論
從教師的角度探討好的數(shù)學(xué)課的構(gòu)成，不僅可以用來詮釋教師所認(rèn)為的什么是數(shù)學(xué)課堂中最應(yīng)該進(jìn)行或者完成的，什么是數(shù)學(xué)教學(xué)最應(yīng)該達(dá)到的理想目標(biāo)等，同時也可以更為深入地、完整地了解特定環(huán)境中好的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐。雖然本研究的發(fā)現(xiàn)是基于9位
初中數(shù)學(xué)老師的觀點，其觀點不足以代表大部分
初中數(shù)學(xué)教師或者小學(xué)和高中數(shù)學(xué)教師的觀點，但是因為本研究采用半結(jié)構(gòu)式訪談，其結(jié)果均來自被訪教師自身的認(rèn)識，由此在一定程度上也能反映當(dāng)前
初中數(shù)學(xué)教師對一堂好的數(shù)學(xué)課的認(rèn)識。此外，本研究還發(fā)現(xiàn)了一些與先前研究不一致的地方，如先前研究中那種結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)、完成既定教學(xué)任務(wù)或者幫助學(xué)生在考試中取得好的成績等并非本研究參與者強調(diào)的重點。特別的，與美國數(shù)學(xué)教師對好的數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成認(rèn)識相比，中國數(shù)學(xué)教師比較傾向于強調(diào)學(xué)生對數(shù)學(xué)的體驗，強調(diào)課堂中數(shù)學(xué)特色和本質(zhì)的體現(xiàn)，強調(diào)數(shù)學(xué)思維和解題方法的培養(yǎng)。而對于美國數(shù)學(xué)教師所提出的一些諸如教師知識的儲備、課堂中信息技術(shù)的運用和課堂調(diào)控等，中國數(shù)學(xué)教師都沒有作為一個重點。這也就進(jìn)一步說明，在不同文化環(huán)境下，教師自身對好的數(shù)學(xué)教學(xué)的構(gòu)成認(rèn)識上存在一定的差異，由此，要全面理解好的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，教師自身的認(rèn)識就不能忽視。
從本研究結(jié)果看來，對于好的數(shù)學(xué)教學(xué)的構(gòu)成，9位參與教師一方面都能意識到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要突出強調(diào)學(xué)生的主動參與，強調(diào)學(xué)生對數(shù)學(xué)的體驗、探究和發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。同時，這9位教師也認(rèn)為好的數(shù)學(xué)教學(xué)要保持?jǐn)?shù)學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)特色和本質(zhì)，要關(guān)注數(shù)學(xué)知識和思維方法的綜合性，引導(dǎo)學(xué)生深層次地探索和理解數(shù)學(xué)。更為重要的是，這9位數(shù)學(xué)教師認(rèn)為好的數(shù)學(xué)教學(xué)其根本在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)地思考問題的能力?？偟膩碚f，中國內(nèi)陸數(shù)學(xué)教師所認(rèn)為的好的數(shù)學(xué)教學(xué)的構(gòu)成可以簡略地概括為：“學(xué)生為主體”+“數(shù)學(xué)知識(本質(zhì))為中心”+“數(shù)學(xué)思想方法為根本”。
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