【專題名稱】高中數學教與學【專 題 號】G312【復印期號】2011年04期【原文出處】《中學數學教學參考》(西安)2010年11上期第52～56頁【作者簡介】孫居國，江蘇省南京師范大學附屬中學。【關 鍵 詞】EEUU
一、研究目的
數學教學過程是一系列數學問題的提出并解決的活動過程，問題貫穿著課堂的始終，它們是組織教學的聚焦點和動力源，是引導學生學習的方向標和里程碑，是維持課堂活力的加油站和接力棒，也是學生發(fā)展的催化劑和啟動器。課堂教學過程是不斷發(fā)現問題、探究問題、解決問題并提出新問題的過程，在這一過程中，讓學生的數學思維得到充分的發(fā)展。
基于問題對數學課堂教學過程及學生的數學思維發(fā)展有著重要的意義，我們提出“以問題為中心引領教學，以思維為核心促進發(fā)展”的基本觀點。
通過研究，能夠挖掘目前數學課堂教學中存在的一些問題，進一步提高課堂效率，促進學生的數學思維發(fā)展，形成有南京師范大學附屬中學特色的數學課堂教學行為。
通過研究，對學生數學學習的規(guī)律、特點有進一步的了解和認識，結合學生的特點，使他們形成主動提出問題、勇于探索問題、獨立思考問題、理性分析問題、科學解決問題的研究意識和能力。
通過研究，促進每一位教師學習和研究的意識，自覺學習教育教學的理論知識，關心課程與課堂教學的發(fā)展與改革動向，形成研究的文化和氛圍，投身課堂教學改革的行列。
二、背景分析
1.歷史背景
南京師范大學附屬中學數學教研組是一個具有優(yōu)良傳統(tǒng)的教研組，一直處于中國中學教育教學改革的前列，在基礎教育的理論總結和實踐探索方面做出了杰出的貢獻，形成了教師不做教書匠而要做教育家的優(yōu)良傳統(tǒng)。秉承“尊重教學規(guī)律，關注學生發(fā)展”的教育理想，在建設教師隊伍、提升課堂效率、提高教學質量、研究教育教學等方面有著較大的影響和驕人的成績，為學校的課題研究打下了良好的基礎。
2.現實背景
(1)新課程改革給學校的課題研究帶來了良好的機遇，給教師提供了豐富的學習機會和良好的發(fā)展平臺，同時，也帶來了許多的思考與困惑，促使教師加強學習和研究，以適應新的發(fā)展的需要。
(2)目前由于評價模式比較單一，課堂教學受應試教育、升學的影響，更多地關注學生的考試成績、應試技巧等，忽視了學生的學習規(guī)律和心理壓力，加重了學生的學習負擔，違背了教育教學的科學規(guī)律，往往使得廣大學生失去了自信和對數學學習的興趣，對學生的發(fā)展產生了不利的影響。
(3)前不久江蘇省教育廳提出《關于進一步規(guī)范中小學辦學行為深入實施素質教育的意見》的五項規(guī)定，其中要求嚴格控制學生在校集中教學活動的時間，嚴格執(zhí)行國家課程計劃，切實減輕學生的學習負擔，深入實施素質教育，對課堂效率提出了更高的要求。
(4)隨著社會經濟等方面的發(fā)展，學生的發(fā)展呈現出多元化發(fā)展的趨勢，越來越多的學生選擇到國外去發(fā)展。為了適應國外對人才選拔的要求，高校自主招生的計劃逐步擴大，對學生的考查越來越注重能力、潛能及特長和個性。
3.現狀分析
目前教學反映出下列一些特點：
(1)在一節(jié)課的教學過程中，教師往往能注意到以問題開始，注重從具體數學問題出發(fā)組織學習和教學，有一個問題引出的情境、實驗或懸念。
(2)問題給出后，教師的啟發(fā)或引導往往過多過細，給學生獨立思考的時間過少，學生思維的空間不大，忽略了啟發(fā)引導學生去動手、動腦，并在數學問題解決的過程中發(fā)現、產生新的問題。
(3)教師的設計更注重于知識層面，只是為了得到一個確定的結論，而忽略了探究問題的過程，不能促進學生建構靈活的知識基礎，不能有效發(fā)展學生解決問題的能力，忽視了學生的創(chuàng)新精神和實踐意識的培養(yǎng)。
(4)在整個課堂當中，歸納猜想少，演繹論證多，從問題提出到得出結論的時間短，而從得出結論到鞏固應用的時間長。
由此可見，問題的意識并沒有充分地形成，問題的價值沒有得到充分的開發(fā)，學生的思維不能有效的、充分的發(fā)展。
三、研究過程
1.加強理論學習
(1)為了了解當前數學教育教學的前沿情況和理論研究現狀，筆者所在學校多次請專家到學校作專題報告，使教師對當前的課程及課堂教學的理論研究有了一些了解。其中，有下列一些講座：
李克正“數學在金融方面的應用”；
馬明“教材對教學的制約作用”；
涂榮豹“數學中的元認知”“教與學的對應”；
章建躍“新課程背景下的十個論題”；
葛軍“數學的解題策略”；
李善良“教師的專業(yè)發(fā)展”；
邱學華“嘗試法教學”；
單壿等“數學思維和解題方法”。
(2)為了了解當前課堂教學情況，筆者所在學校積極組織教師參觀學習，積極參加全國及省市組織的各項教研活動，廣大教師對目前的課堂教學情況有了進一步的認識。
(3)加強教師對當前教育教學理論的學習，認真學習專著和最新的教育論文，并收集相關資料，個體學習和集中學習相結合，并及時整理反思，形成自己的觀點。
2.加強實踐探索
(1)為了做到理論與實踐相結合，筆者所在學校組織了豐富多彩的特色教研活動：
①研討學習新課程：《對稱與群》（邢偉）、《信息安全與密碼》（周杰）；
②現代技術培訓“幾何畫板與圖形計算器的使用”（陶維林）；
③講座：附中數學組優(yōu)良傳統(tǒng)（陶維林、仇炳生、沈建國）；
④組內賽課活動，每年一度的青年教師賽課活動；
⑤接待外地學校的來訪（美國、新加坡，臺灣、浙江等國外和國內的學校）；
⑥研討IB課程對高中數學課程的影響；
⑦研究性教與學專題研究；
⑧研課活動常態(tài)化；
⑨錄像分析教案反思；
⑩對教師進行與新課程有關的調查研究；
(11)每年一度的教育教學論文評比。
(2)為了更好地促進學生的全面主動發(fā)展，筆者所在學校開展了各式各樣的學生活動，進一步拓寬學生的學習渠道，促進學生的思維發(fā)展，主要有以下學生活動：
①數學基本功大賽；
②數學史知識競賽；
③數學文化周活動；
④每月一題專欄；
⑤學生的研究性學習和社團活動；
⑥境外數學競賽（EUCLID競賽、FEMAT競賽、無境數學競賽）；
⑦全國高中數學聯賽；
⑧參觀大學，體會專業(yè)文化機構的氛圍；
⑨數學講座；
⑩學生數學論題的研究與論文撰寫；
(11)開展豐富多彩的校本課程：中學數學思維方法選講、幾何畫板、圖形計算器、數學史等選修課。
3.加強調查研究
為了了解學生的真實學習情況，了解教師的課堂教學情況，更好地設計教學過程，提高教學效率，促進學生的發(fā)展，學校進行了形式多樣的調查統(tǒng)計。
(1)教師的聽課評價調查；
(2)學生的課前知識準備的調查；
(3)高中數學課堂情況調查；
(4)學生對數學史學習活動情況的調查；
(5)對圖形計算器改善課堂教學的調查；
(6)高中學生對導數的學習現狀調查。
四、研究結論
1.以學生的思維水平為起點，有效地開發(fā)和選擇問題
(1)目標明確，內容充實
案例1 等比數列的求和。
問題：從前，一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口答應了下來，但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，以后每天所借的錢數都比上一天多一萬；但借錢第一天，窮人還1分錢，第二天還2分錢，以后每天所還的錢數都是上一天的兩倍，30天后互不相欠。窮人聽后覺得挺劃算，但怕上當受騙，所以很為難。請在座的同學思考一下，幫窮人出個主意。
問題設計的目的是為了讓學生得出一個等差或等比數列求和的形式。而學生要抽象出這些模型需要花費大量的時間，注意力往往集中在實際問題的數學化，與本節(jié)課的主要內容沒有本質的聯系，偏離了本節(jié)課數列求和的教學重點，干擾了學生的思維。筆者認為完全可以按照以下問題的形式展開教學：前面我們研究了等差數列的求和問題，那我們今天來研究等比數列怎么求和。這樣直截了當，學生的注意力就集中到本節(jié)課的重點上來。
(2)難易適度，啟發(fā)得當
案例2 橢圓的簡單幾何性質。
問題：①初中我們學習過二次函數，知道它的圖象是拋物線，我們討論過拋物線的哪些性質？
②現在我們手里都有一個橢圓模型，你能發(fā)現這個橢圓有什么性質嗎？
③誰能告訴我們橢圓是什么對稱圖形？
④幾何圖形的對稱性有哪幾種類型？
⑤我們怎么證明橢圓的對稱性？
⑥我們能不能從橢圓的方程入手來研究橢圓的幾何性質呢？
⑦拋物線可以向某個方向無限延伸，那么橢圓是否有這個特點呢？那么橢圓的范圍受到了怎樣的限制呢？
……
從問題③到問題⑦來看，問題過細，針對性太強。應留給學生足夠的時間來思考，從幾何方法不好入手，只能從代數方法來討論。必須要知道方程，從而通過方程解決問題。
(3)力求開放，層次分明
案例3 “直線的方程”單元復習。
問題：已知直線l經過點P(1,2)，請同學們自己再加另一個條件，求直線l的方程。
以下選擇了部分學生的回答：
①k=2；
②與直線y=-x垂直；
③與y=7x+2平行；
④原點到該直線的距離為1；
⑤與
相切；
⑥在x軸與y軸上的截距相等；
⑧與兩坐標軸圍成的面積是3。
降低思維的起點，是創(chuàng)設思維活動的基礎。由于各類學生的差異性和個性特征不同，為了讓不同的學生都有思考的空間，所以教學的設計要能促使每一位學生都有思維活動的基礎，以拓寬問題的出口，展示思維的過程和風格。
(4)靈活變更，有效遷移
案例4 面面垂直的判定。
問題：如圖1，已知PA⊥平面ABC，問在這個圖形中，有哪些面互相垂直。
這個問題有較大的可變更性，可以根據學生的情況，做出相應的簡化或深入，例如可以做如下的調整：
圖1
①寫出一對互相垂直的平面；
②寫出所有互相垂直的平面；
③如果添加條件CA⊥AB，那么有多少種面面垂直關系？
④如果添加條件BC⊥AB，那么有多少種面面垂直關系？
⑤在這個圖形中，至多有多少種面面垂直關系？其他的為什么不垂直？
綜上所述，問題的開發(fā)和選擇來自教師和學生兩個方面，尤其是學生生成的問題，更能調動學生學習的積極性和創(chuàng)造性，促進思維的深入和發(fā)展。
2.以學生的思維過程為線索，合理地組織和呈現問題
從當前研究的課堂行為分析和整理，筆者認為以問題為中心引領教學的課堂模式有下列幾種基本模式：
(1)分步串聯，層層遞進
問題以串聯的形式出現，聯系緊密，依次展開，層層遞進，通過問題串的逐步解決，完成教學任務（圖2）。
圖2
案例5 函數單調性。
本節(jié)課設置了如下幾個問題：
問題1：函數是描述事物運動變化規(guī)律的數學模型，如果了解了函數的變化規(guī)律，那么也就掌握了相應事物的變化規(guī)律。在事物變化過程中，保持不變的特征就是這個事物的性質。觀察圖3中各個函數的圖象，你能說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規(guī)律？
圖3
問題2：根據函數的定義，對于自變量x的每一個確定的值，變量y有唯一確定的值與它對應。那么，當一個函數在某一區(qū)間上是單調遞增（或遞減）的時候，相應的，自變量的值與對應的函數值的變化規(guī)律是怎樣的？
問題4：歸納函數單調性的定義。
(2)分類并聯，類比聯想
問題以并聯的形式出現，相對獨立，根據學生的生成情況因勢利導，并列展開，逐個解決，完成教學任務（圖4）。
圖4
案例6 同角三角函數的關系。
問題2：下面請大家來探索同一個角的六個三角函數之間有哪些關系式。
問題3：這么多關系式，我們怎么來認識它們呢？能不能給它們歸歸類？你有什么發(fā)現？
學生歸類，可以分成倒數關系、平方關系、商數關系（可能還有其他關系）。
(3)分解探究，演繹證明
問題以交叉的形式出現，當要解決一個問題時，不容易得出結論，需要從不同側面、不同角度解決幾個問題，然后在解決幾個問題的基礎上經過推理論證完成任務（圖5）。
圖5
案例7 三角函數的誘導公式。
問題1：求390°的正弦、余弦值。
問題2：你能找出和30°角的正弦值相等，但終邊不同的角嗎？
問題3：兩個角的終邊關于x軸對稱，你能得出什么結論？兩個角的終邊關于原點對稱呢？
問題2是問題1的發(fā)展，事實上可以看成是“若兩個角的終邊相同，則它們的正弦值相同”的逆命題，即“若兩個角的正弦值相同，則兩個角的終邊相同”。但這里是以問題的形式提出的，這樣設計一方面很自然，因為我們在研究問題的時候常常會研究它的逆命題、否命題、等價命題等，問題的設置處在學生的最近發(fā)展區(qū)；另一方面，實際上教會了學生一種自己研究問題的方法。
(4)整合分析，歸納概括
當一個問題比較抽象或涉及范圍較大時，不能直接得出結論。需要從不同的既相對又獨立的幾個問題分別研究，從中分析差異，找出共性，歸納類比，從而抽象概括出本質特征（圖6）。
圖6
案例8指數函數。
情境1：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，……，一個這樣的細胞分裂n次后，能分裂成多少個細胞？
情境2：某種商品的價格從今年起每年降低10%，設原來的價格為1，那么，x年后的價格y是多少？
問題1：從以上情境中你能抽象出哪些函數關系式，請寫出這些函數解析式，并利用圖形計算器作出它們的圖象。
問題2：你能再舉出類似的函數嗎？并利用圖形計算器作出它們的圖象。
問題3：觀察上述函數的解析式及它們的圖象，你能歸納出這些函數的性質嗎？
從上述幾個問題中，發(fā)現其形式及本質上的區(qū)別及統(tǒng)一，從而得出指數函數的概念及性質。
3.以學生的思維發(fā)展為核心，科學地分析和解決問題
(1)創(chuàng)設問題情境，激發(fā)創(chuàng)造性思維
案例9 三角函數起始課。
問題：假如摩天輪所做的是勻速圓周運動。如圖7，不妨設該摩天輪的半徑為1個單位長度，點O距地面的高度為
個單位長度，點P為輪上的一點，起始位置在最低點處，摩天輪每2分鐘轉一圈。請考察在這個運動中，有哪些相應的函數關系？請寫出其中的一些函數關系。
圖7
設計此問題的目的，首先，加深學生對原先學習的函數概念的認識，從函數的觀點來看待問題，拓展思維，形成相應的函數模型；其次，面對新的情境和問題，讓學生充分調動自己的已有知識，經歷直觀感受、觀察發(fā)現、空間想象、歸納類比、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程，使其得到充分的體現和應用；再次，使學生的認識過程經歷由模糊到清晰，從片斷到整體，從不和諧到和諧，從不平衡到平衡，從零碎到系統(tǒng)，從無到有，形成理性思考的習慣。思維能力得以較充分的發(fā)展，從中提出一系列的新問題，開闊學生的思路，營造獨立的探究活動空間，串聯本章節(jié)的主要
知識點，使知識來源自然，符合學生的認知規(guī)律。
(2)提供多樣選擇，培養(yǎng)發(fā)散思維
案例10解三角形。
問題：在一般三角形ABC中，a、b、c,∠A、∠B、∠C之間有何數量關系？
在問題提出后，留給學生足夠的思考時間。學生經過思考討論給出下列四種解決途徑：
途徑1：通過大量一般三角形邊角值的測量，分析所得數據，歸納出邊角的一般關系（此種研究方法體現了由特殊到一般的歸納式數學研究思想）。
途徑2：將一般三角形轉化為直角三角形進行研究（此種研究方法體現了數學中將未知化為已知、復雜化為簡單的化歸思想）。
途徑3：部分學生聯想到任意角的三角函數的定義方式，建立直角坐標系研究其邊角關系（體現了將幾何問題轉化為代數問題進行研究的解析思想）。
途徑4：建立三角形向量關系式
，對其進行數量化變形（體現了將幾何問題代數化的思想）。
學生獲得四種研究途徑后，可分組各自獨立進行研究然后討論交流，學有余力的學生會選擇兩到三種途徑甚至采用其他的思路進行自主研究，也有學生翻看書本、參考資料或向教師尋求幫助，還有學生在研究的過程中和同桌或教師交流階段性成果。教師在整個研究過程中是以組織者、合作者、幫助者、質疑者的身份出現。而學生的思維得到了充分的展示。
(3)呈現問題結構，加強邏輯思維
案例11 y=Asin（ωx+ψ）的圖象。
問題1：分別畫出
在一個周期上的圖象，并說出與y=sinx的圖象的關系。
問題2：選取問題1中三個函數中的任意兩個，組合成新的函數，作出它的圖象，并說出怎么得到圖象的。
問題3：你能畫出
的圖象嗎？請說出你的作圖過程。
從表面上看，數學活動的上述三個問題很普通，似乎并沒有使學生對數學活動增進多少理解。但是，將數學活動分成這樣幾個問題逐步展開具有明顯的層次性。將抽象的數學活動具體化，突出了數學活動的過程性，使得數學教學中的數學活動具有明顯的可操作性。因為活動的可操作性帶來了思維的層次性和逐漸深入性，學生的邏輯思維能力從中得到加強與提升。在學習過程中不斷地改造、重組、轉換，階梯式的呈現思維活動過程。學生根據經驗來建構自己的數學理解力，這些經驗的擴展能夠創(chuàng)造思想的智力框架，從而使每位學生獲得真正屬于自己的數學知識。
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