薛定諤方程 也不妨寫成 的樣子。薛定諤、彭羅斯、陳省身等在論及虛(復)數的諸多場合都是用的表示而非 “i”。i，-i是等價的，同時出現才能表達問題的完備性。
摘要 常見的薛定諤方程被寫成的樣子，將它寫成
的樣子也未嘗不可。其實，薛定諤1926年的推導是用±號的?？紤]到波函數是復數，同時寫出互為共軛的和才更準確，知道這一點有助于理解量子場論的正確形式。i，-i是方程x2=-1的根，它們是等價的，同時出現才能表達問題的完備性。采用的約定卻不交代清楚背后的數學帶來了很多誤解。薛定諤1922年挽救外爾規(guī)范理論的論文，以及彭羅斯、陳省身等大數學家在論及虛 (復) 數的諸多場合都是用表示而非 “i”，這其中的道理值得我們深思。
引 子
2019年12月30日，我做出了我人生中一個大膽的舉動，舉辦個人跨年演講，演講題目為“什么是量子力學”。在闡述量子力學就是由量子力學的那些方程所支撐起的理論這個觀念時，我列舉了量子力學的薛定諤方程 (1926)、泡利方程 (1927) 和狄拉克方程 (1928)，其中我把薛定諤方程寫成了的形式。學過量子力學的朋友都知道，全世界的量子力學書中，近百年來薛定諤方程都是寫成的樣子的。這下完了，丟人丟大了，我把量子力學標志性的薛定諤方程給寫錯了。報告視頻上傳后，立馬就有人指出這是個錯誤。
然而，哪兒不對勁兒。我第一次見到薛定諤方程是1984年秋，到2019年已有35年之久，此前我也翻譯、講授過薛定諤1926年的經典論文Quantisierung als Eigenwertproblem (量子化是本征值問題)，撰寫過《量子力學少年版》，薛定諤方程對我來說應該是非常熟悉的存在。此前我都不知道寫過多少遍了(雖然一直不懂。薛定諤從經典力學中構造出薛定諤方程的過程其實很難理解，那才是我們要學的大科學家的功夫)，怎么這次會寫錯呢？我翻了翻我自2012年以來的量子力學講義和報告文件，發(fā)現也有幾處就是寫成了的樣子的。這也不象是無心的輸入錯誤??？我似乎潛意識中一直想寫。
2021年4月24日，為了撰寫《磅礴為一》中的薛定諤一章，我讀到彭羅斯 (Roger Penrose, 1931-) 在1996年給薛定諤的Nature and Greeks (自然與希臘人) 一書再版所寫的序，其中有這樣一段話：“Although these attempts had some success, the thrust of underlying mathematical conceptions has been, instead, to drive us in the direction of that curiously elegant form of continuity that is provided by complex numbers (numbers in which features). Complex numbers are fundamental to quantum theory (and occurs explicitly in Schr?dinger’s equation)”， 聯想起我為了撰寫《云端腳下》還研習過的薛定諤1922年挽救規(guī)范場論的那篇論文，我恍然大悟將薛定諤方程寫成的樣子也是對的以及為什么我想這么寫了。上述引的彭羅斯的第一句英文有點兒別扭，第二句倒是非常容易理解：“復數對于量子力學非常關鍵 (直白地出現在薛定諤方程里) ”。你注意沒有，彭羅斯可不是說“i”直白地出現在薛定諤方程里。
有趣的是，我2007年就讀過紙版的Nature and Greeks這本書，而且在上述這段話旁邊還寫下了“什么意思？”的批注 (圖1)，可見那時候我就開始思考這個問題了。不過, 我已經完全忘了這茬兒了。唉！
那么，為什么薛定諤方程也可以寫成的樣子呢？或者說，光寫 也有點兒不合適呢？容我慢慢分剖。
虛數啊虛數
虛數是在研究一元三次方程的解法時不得已被引入的(參閱拙著《云端腳下》). 可解代數方程的解會表示成分圓方程xn=1的n-個根的線性組合，對于一元二次方程，分圓方程x2=1有兩個根，1，-1，故而一元二次方程的根公式為。你看，這里分圓方程x2=1的兩個根是等價的、要同時被使用的，見于±1。上述公式與完備性、數域的封閉性有關，也很哲學 (用待求的解表示解)。請記住這一點。
解代數方程時會遭遇方程x2=-1的問題，這個方程有兩個根，記為i，-i。引入了i，-i以后，代數方程的解若有根z=a+ib，也必有根z=a-ib，這就是所謂的代數定理。你看，i，-i必須同時出現。記復數z=x+iy，則必然要有伴隨的，稱為互為共軛的。在Wirtinger 導數中，和也要同時出現。作為純虛數， i，-i是等價的；構成復數 (二元數)，z=x+iy和是共軛的。復數及其復共軛一起出現才是完備的。這一點在擺弄薛定諤方程的波函數 (是復數) 時似乎不必太在意，但在量子場論中就得注意了。
等價、對稱要針對具體的語境。分圓方程x2=1有兩個根，1，-1，它們是等價的，構成群。單靠i，-i不能構成群。但是i，-i 和1，-1 一起構成分圓方程x4=1的四個根，它們一起構成一個群。在這個語境下，1，-1，i，-i四者是等價的。
研究復數和復變函數一般就拿z=x+iy說事兒，這讓很多人忘了也是必須同時出現的。記是一個不完備的選擇， 也成立。如果大家足夠細心，很會發(fā)現很多場合下數理大家們，如本文提及的薛定諤、彭羅斯與陳省身，是選擇的寫法而不是草率地寫下 “i” (圖2)。
圖2. 陳省身著《九十初度說數學》截圖
薛定諤1922年論文與挽救外爾理論的第一步
1918年5月，外爾 (Hermann Weyl, 1885-1955) 發(fā)表了一篇題為“Gravitation und Elektrizit?t (引力與電) ”的論文，試圖統(tǒng)一引力和電磁理論，這后來成了規(guī)范場論的第一篇論文。在這篇文章中，外爾得到了一個結論，電磁場存在的時空里時空距離的平行移動會為時空長度帶來一個變換因子 。愛因斯坦 (他推薦的這篇論文) 在這篇論文之后有個評論：“W?re dies in der Natur wirklich so, dann k?nnte es nicht chemisch Elemente mit Spektrallinien von bestimmter Frequenz geben, sondern es müsste die relative Frequenz zweier (r?umlich benachbarter) Atome der gleichen Art im allgemeinen verschieden sein. Da dies nicht der Fall ist, scheint mir die Grundhypothese der Theorie leider nicht annehmbar, deren Tiefe und Kühnheit aber jeden Leser mit Bewunderung erfüllen muss (如果自然真是這樣的，則不可能存在具有確定頻率之譜線的化學元素，而是空間上相近的兩個同種原子一般來說會有不同的相關頻率。既然事情不是這樣的，這個理論的基本假設在我看來就是不可接受的。當然啦，這個理論的深度與膽識每個讀者都會佩服的) ”。外爾雖然稍微作了幾句辯護，但愛因斯坦的挑剔確實指出了問題的癥結。這篇文章發(fā)表后的一段時間里沒有后續(xù)進展。它在等著薛定諤1922年和1926年的兩篇突破性論文來救它。
1922年，薛定諤發(fā)表了題為“關于單電子量子軌道的一個值得注意的特性 (über eine bemerkenswerte Eigenschaft der Quantenbahnen eines einzelnen Elektrons) 的論文，建議將外爾的時空長度變換因子中的γ定義為，這可以說是挽救外爾理論的第一步。在論文中，薛定諤指出，那個能得到 (氫原子) 能量譜的量子化條件，，其中是系統(tǒng)在一個周期內的平均動能，可以使得中的指數對于系統(tǒng)的一個周期積分是的整數倍。將量子化條件用到中的積分項上，可得出個近似結果 。如果電子沿軌道的運動帶來 “長度”的變化，每個周期過后時空有“長度”變化 ，薛定諤說他很難相信這是量子化條件的偶然數學結果而沒有深刻的物理意義。注意到有兩個量綱為作用量的物理常數，一個是普朗克常數h， 一個是，于是薛定諤選擇假設 ， 則那個變化因子變成了模為1的復數，就能有效避免所謂的電子運動帶來的“長度”變化了。
筆者愿意強調，這是薛定諤挽救外爾理論——即后來的規(guī)范場論——的第一步，用的是量子化條件。
薛定諤1926年的論文與挽救外爾理論的第二步
1926年，薛定諤分四部分發(fā)表了Quantisierung als Eigenwertproblem一文，這是量子力學之波動力學形式的奠基性文章。請注意，薛定諤的這篇發(fā)表在Annalen der Physik 雜志上的論文整整140頁！140頁！140頁！不知道幾個學過量子力學的朋友知道這一點——關于量子力學誕生歷史的描述給我們的印象是薛定諤幾筆就劃拉出來了一個方程，那篇論文估計也就是三五頁的長度。筆者以為，這篇文章的題目“量子化作為本征值問題”，同黎曼1859年引Quanta這個詞入 (復) 幾何學以及用虛 (復) 數表示的量子化條件 (玻恩的手筆)，這三者才是量子力學的精髓。一般量子力學教科書根本是不明就里，基本上就是在那里解二階微分方程而已。當然，解方程也分懂不懂物理，Friedrich Hund 解薛定諤方程就解出了量子隧穿的概念。
令筆者萬分驚奇的是，那個量子力學的標志性方程，即后來被稱為薛定諤方程的方程， 第一次出現是在該論文的第四部分，即全文總140頁的第113頁上 (圖3) ！而且你看到方程里用的是 ±號！±號！±號！這就是說，把薛定諤方程寫成 或者 的樣子都對。實際上，在該論文總第134頁上， 薛定諤引入關于時間、空間坐標微分的算符時也是都帶±號的 (圖4)。用方程 替代方程 ，對應的是變換t→-t或者把關系式 改寫成，不會帶來物理問題的差別。當然了，正確的做法是分別用于波函數和它的共軛上，這一點薛定諤當時就是這樣處理的 (圖5)。再重復一遍，對于薛定諤方程這一點也許不重要 (對時間只有一階微分)，在量子場論里波函數和波函數的共軛應是同時出現的。
圖3. 薛定諤1926年論文第113頁的截圖
圖4. 薛定諤1926年論文第134頁的截圖
圖5. 薛定諤1926年論文第138頁的截圖
有了薛定諤方程的量子力學進入了新時代。1927年V.Fock和F. London 把薛定諤波動方程中的波函數變換同電磁規(guī)范變換結合在一起，從而帶來了外爾理論的復活。1929年，外爾重新回到他1918年思考的問題，發(fā)表了“Elektron und Gravitation (電子與引力)”一文，其中給規(guī)范變換補上了波函數變換，這標志著規(guī)范場論的正式誕生。此處不展開討論。
至此我算是說清楚了把薛定諤方程寫成 或者 的樣子皆可。其實，是將共軛的形式都寫出來更好。然而，一個具有物理學史的問題又來了。在薛定諤1926年的經典論文里，并沒有出現方程 。Hamilton一詞在薛定諤1926論文中出現16次，但涉及的都是哈密頓的經典力學理論。誰、何時把方程寫成了 的形式的，誰把這個方程叫成了薛定諤方程的 (總不會是薛定諤自己吧) ？薛定諤1926年談論矩陣力學同他的波動力學等價的論文中，方程形式為 也不是 的樣子， 見圖6。筆者發(fā)現，在玻恩1926年6月25日遞交的論文 Zur Quantenmechanik der Stossvorg?nge (論碰撞過程的量子力學) 中，就有die Schr?dingersche Wellengleichung (薛定諤波方程) 、der Schr?dingerschen Differentialgleichung (薛定諤微分方程) 的說法了，但卻沒有方程的影子?；蛟SMehra的the historical development of quantum theory中有線索，有空了俺再找找。
圖6. 薛定諤1926 論矩陣力學和波動力學等價的論文截圖
兩點感慨
直說吧。其一，練拳不練功，到老一場空。數學就是物理人的根基功夫。薛定諤的數學跟克萊因、外爾當然不能比，但似乎比愛因斯坦要強一些，在真一流物理學家中是靠前的。其1922年引入，，這帶來了這個理論中數系的擴展，這是規(guī)范場論這樣的理論之威力的源泉。重要的意義在于這么做了以后，他1926年引入 (復) 波函數以及別人為電磁規(guī)范變換加上波函數變換就沒有任何心理上的困難了。薛定諤本人一直思考統(tǒng)一場論方向的問題，這也是他和愛因斯坦、外爾可為伯仲的地方，他的《時空結構》一書表明他是相對論、統(tǒng)一場論方向的一流學者。有趣的是，薛定諤自己引入的，構造了波動力學的薛定諤方程引入了波函數，但是挽救或者說促成了規(guī)范場論的卻不是他，臨門一腳歸了兩位年輕人V. Fock和F. London。也許是波動力學的成功喜悅太沖了吧！
感慨之二是我稀里糊涂交錯地寫了幾年的 和 也渾然不知。我在瀏覽過薛定諤1922和1926年的論文，在撰寫《云端腳下》一書時仔細研究過復數的意義以及規(guī)范場論的基礎， 期間和 ，以及共軛、完備性、封閉性啊這些概念不知道在我面前晃過多少次，我仍然是渾然不覺。直到2021年04月24日重讀彭羅斯為薛定諤寫的序，那個才變得生動、清晰起來。打開一本書最迷人的地方，是你不知道那里的哪一句話會為你打開一扇意想不到的門！時常，這樣的一句話可能早在你面前晃蕩到疲倦了。唉，郁悶，不說啦。
注釋
[1] 見于陳省身著《九十初度說數學》
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