很多人大概都聽說過廣義相對論是愛因斯坦描述引力的幾何理論，也都聽說過引力會導(dǎo)致時空彎曲這樣的結(jié)論。但很多人并不清楚愛因斯坦是如何想到把引力這樣一個純粹的物理問題和幾何這樣一個純粹的數(shù)學(xué)問題聯(lián)系起來的。為了說清楚這點，我們還得從廣義相對論的基本公理，即“等效原理”出發(fā)（注：廣義相對論還有一條公理是所謂“廣義協(xié)變原理”，它只是狹義相對性原理的自然推廣，要求物理規(guī)律必須以張量方程的數(shù)學(xué)形式表述以保證其在任意坐標變換下協(xié)變，但這條公理將不作為本篇文章討論的重點）。
等效原理告訴我們：引力和加速系等價。這件事情第一眼看上去很顯然，但是這個原理真正的微妙之處在于：這里說的等價只是局部等價而不是全局等價！比如一個站在地球表面的人和一個處于理想的沒有任何物質(zhì)的外太空中做勻加速運動的人（假設(shè)加速運動的加速度和地球表面的引力加速度大小相等方向相反）無法“區(qū)分”自己到底處在哪種情況。注意：此處的“區(qū)分”加引號是因為這兩種情況還是可以被區(qū)分的：站在地球表面的人如果仔細測量還是能發(fā)現(xiàn)離地面不同高度不同位置的身體的各個部位所受到的地球引力的大小和方向是存在很細微的不同的。離地面越高的部位受到的引力越小，反之越大。也就是身體上不同部位對應(yīng)不同的引力加速度。所以這些不同的引力加速度是不能被一個單一的全局加速系取代的。
這種現(xiàn)象產(chǎn)生的根本原因在于宇宙中真實的引力場是由諸如行星，恒星等物質(zhì)產(chǎn)生的。也就是說，引力場是有源的，它在數(shù)學(xué)上對應(yīng)非零的散度?。ㄟ@里更準確的說法不是源而是匯 - sink，因為不像電荷有正有負，由于質(zhì)量恒正，引力場的力線總是終止于產(chǎn)生該引力場的物質(zhì)上，所以是匯。）所以根據(jù)高斯定理可知，正是這種有源性導(dǎo)致宇宙中并不存在空間各處完全均勻的引力場。所以由它產(chǎn)生的真實的引力效應(yīng)是無法被一個全局均勻的加速系替換掉的（注：真實的引力效應(yīng)會對物體產(chǎn)生不可消除的切向擠壓徑向拉伸的可觀測的形變效應(yīng)，這種效應(yīng)叫做“潮汐力”，潮汐力是表征引力最重要的特征）。所以等效原理嚴格來說只在空間無窮?。ň植浚┑姆秶锊懦闪?。
潮汐力示意
在上面的例子里，因為人的橫向尺度和徑向高度相對于地球半徑來說都太小了，所以我們才可以近似地認為他身體的每個部位都受到大小和方向完全相同的引力，然后才能應(yīng)用等效原理把它替換成一個單一的加速系。然而對于一個和地球尺度可比擬的物體來說，我們就不能對整個物體直接應(yīng)用等效原理把它受到的來自地球的引力用一個單一的全局加速系替換掉。這時候我們只能把物體分成很多無窮小的局部區(qū)域，然后對每個局部區(qū)域逐個應(yīng)用等效原理將其受到的引力等效替換成一堆局部加速系。所以整塊物體受到的來自地球的引力就可以被等價成無窮多個局部加速系的拼接（嚴格的數(shù)學(xué)用語叫“聯(lián)絡(luò)”）。
所以到此為止，我們已經(jīng)從等效原理出發(fā)，得出了引力 = 無窮多局部加速系的拼接這一極為重要的物理洞察！以上只是定性的推理，為了定量描述這些加速系，我們可以從最簡單的非相對論性運動學(xué)出發(fā)（即不考慮狹義相對論對運動速度上限的限制以及不同參考系中的時間膨脹和長度收縮等效應(yīng)）看看時空圖里的加速系（加速運動）是如何表示的從而獲得一些物理直覺。
不妨先從最平庸的加速度a=0做勻速直線運動的參考系開始考慮。假設(shè)初始位置是x=x，速度恒為v=v。所以相對于坐標原點處一個靜止不動的觀察者來說，這個勻速運動的參考系在某一時刻t的位置坐標是x(t)=x vt。所以我們可以反解出時間t和位置坐標x的函數(shù)關(guān)系是t(x)=(x-x)/v的線性形式。為直觀起見，下面作出了這個表達式在不同初始位置下的函數(shù)圖像（為了作圖方便假設(shè)v=1m/s）。其中斜線代表了處在坐標原點靜止不動的觀察者看到的勻速運動參考系的時空軌跡，豎線代表了處于那個做勻速運動參考系上的觀察者看到的這個參考系的時空軌跡。
容易發(fā)現(xiàn)，在不同的參考系下，這一系列橫向等距平行的豎線（直線）被映射到一系列橫向等距平行的斜線（仍然是直線！）。沒有任何有趣的事情發(fā)生。
圖1 –勻速系的時空圖。縱坐標是時間，橫坐標是位置
現(xiàn)在考慮稍微復(fù)雜一點的情形：一個參考系做一維勻加速直線運動（即一個全局的勻加速系），初始位置是x=x，初始速度是v=0，加速度是a=g。所以相對于坐標原點x=0處一個靜止不動的觀察者來說，這個加速參考系在某一時刻t的速度是v=gt，位置坐標是x(t)=x gt/2。所以我們可以反解出時間t和位置坐標x的函數(shù)關(guān)系是t(x)=±[2(x-x)/g]。為直觀起見，下面作出了這個表達式在不同初始位置x下的函數(shù)圖像（為了作圖方便假設(shè)g=1m/s）。其中曲線代表了處在坐標原點靜止不動的觀察者看到的勻加速直線運動參考系的時空軌跡，豎線代表了處于那個做勻加速直線運動參考系上的觀察者看到的這個參考系的時空軌跡。
圖2 –加速系的時空圖?？v坐標是時間，橫坐標是位置
容易發(fā)現(xiàn)，在不同的參考系下，這一系列橫向等距平行的豎線（直線）被映射到一系列橫向等距平行的曲線（注意這里是曲線?。?/strong>。也就是說，在我們使用了加速系以后，原先平直的時空坐標系變成了彎曲的時空坐標系。然后應(yīng)用等效原理，即加速系和引力等價，我們可以得出“引力”和全局等加速度彎曲的時空坐標系等價！也就是說，我們現(xiàn)在可以把這個全局的加速系a=g替換成一個全空間均勻的“引力場”，這個“引力場”在每點的強度都是a'=-g，沿x軸負方向。注意：此處的“引力場”加引號是因為此處的所謂“引力場”是虛假的，我們可以通過一個簡單的坐標變換x'=x-gt/2把這個“引力”在全空間徹底消除！
所以這里所謂的“引力效應(yīng)”并不是真實的由物質(zhì)產(chǎn)生的廣義相對論希望描述的引力，而僅僅是因為我們使用了不好的坐標系所導(dǎo)致的！一旦我們換到了好的坐標系，這些虛假的“引力”就會立刻消失！然而，說這個物理圖景不能描述真實的引力并不意味著它就完全沒價值需要被徹底放棄。注意我們之前說的是：引力 = 無窮多局部加速系的拼接，我們并沒直接說引力 = 加速系。所以無窮個局部加速系的拼接應(yīng)該對應(yīng)于無窮個局部等加速度彎曲（但全局不等加速度彎曲）的時空曲線坐標系的拼接，也就是對應(yīng)于一個每點加速度都不一樣的彎曲時空坐標系。然后真實的引力效應(yīng)就應(yīng)該被解釋成：如果對一塊區(qū)域施以任何的坐標變換都無法把原先彎曲的時空坐標系全局地變成平直坐標系的形式（注：這里的平直坐標系指的不是歐幾里得空間里由克羅內(nèi)克delta度規(guī)定義的平直坐標系而是狹義相對論里由閔可夫斯基度規(guī)定義的平直坐標系以滿足光速不變原理），那么在這塊區(qū)域里就一定存在真實的無法被消除的由物質(zhì)產(chǎn)生的引力。
質(zhì)量引起時空彎曲
也就是說，真實的引力是時空坐標系所描述的時空的一種內(nèi)稟屬性。這種內(nèi)稟屬性是不會因為人為的坐標系的選取而被全局消除的。再聯(lián)系到文章開頭時說的“真實的引力效應(yīng)會對物體產(chǎn)生不可消除的切向擠壓徑向拉伸的可觀測的形變效應(yīng)，這種效應(yīng)叫做潮汐力”。所以潮汐力其實就是我們這里講的時空的內(nèi)稟屬性對應(yīng)的物理可觀測量，是無法通過坐標變換移除的。說到這里，你應(yīng)該會聯(lián)想到19世紀黎曼等數(shù)學(xué)家發(fā)展出的黎曼幾何里一個完全平行的數(shù)學(xué)類比，即曲面的黎曼曲率這種內(nèi)稟屬性是沒法通過任何坐標變換移除的！
所以如果我們作如下的解釋，即把物理里的時空解釋成數(shù)學(xué)里的曲面（即一個抽象的彎曲空間/流形），把物理里觀察者測得的具體的時空坐標/參考系和它們之間的變換解釋成數(shù)學(xué)里抽象的坐標系和坐標系間的非線性變換，把物理里的潮汐力（真實的引力效應(yīng)）解釋成數(shù)學(xué)里的黎曼曲率，那么引力這樣一個純粹的物理問題就可以被等價地轉(zhuǎn)化成黎曼幾何這樣一個純粹的數(shù)學(xué)問題！這樣我們就可以套用19世紀數(shù)學(xué)家們已經(jīng)發(fā)展好的數(shù)學(xué)工具去解決物理上的引力問題。至此，我們已經(jīng)從等效原理這一基本公理出發(fā)闡述了廣義相對論核心的物理思想。
數(shù)學(xué)家黎曼
歷史上，在得到等效原理并理清這里面重要的物理思想以后，愛因斯坦最先將他的等效原理應(yīng)用到引力場對光線傳播（或更一般的電磁現(xiàn)象）的影響。“把等效原理應(yīng)用于像光這樣的電磁現(xiàn)象（而不是力學(xué)現(xiàn)象）”是當(dāng)時除了愛因斯坦沒人想過的在思想上革命性的飛躍！下面我們就定性半定量以一種不嚴格的手法在牛頓力學(xué)的框架下應(yīng)用等效原理討論一下光線掠過太陽表面時的偏轉(zhuǎn)并給出該偏轉(zhuǎn)角度一個大致的估計（雖然定量上是錯的，但已經(jīng)能給出足夠深刻的物理洞察）。盡管我們現(xiàn)在還沒給出嚴格的廣義相對論的場方程，但是僅僅依據(jù)等效原理這一強有力的公理，我們就已經(jīng)能夠推斷出：太陽表面對光的引力作用可以被等價成光處在一個與太陽表面所產(chǎn)生的引力加速度大小相等方向相反的加速系里，而在這個加速系里光走的路徑會發(fā)生彎曲！（這里可以把加速系想象成是一個加速電梯）。所以我們這里僅僅依據(jù)這一條看似平凡的等效原理就已經(jīng)定性地預(yù)言了光在引力場下的傳播軌跡會發(fā)生彎曲這一非平凡的結(jié)論！
光線在太陽引力場中彎曲 | 來源
假定太陽引力場的有效作用范圍就在它的一個直徑范圍內(nèi)，則這個假想的加速電梯的寬度將剛好橫跨一個太陽直徑2R的范圍。根據(jù)上述等效原理給出的推斷可以得出：太陽表面產(chǎn)生的引力效應(yīng)可以被等價替換一個電梯t=0在時刻從靜止在太陽表面的位置開始沿徑向垂直遠離太陽表面的方向做勻加速直線運動，加速度的大小g等于太陽表面的引力加速度的大小，方向與其相反，即：
假設(shè)一束光在t=0時刻從電梯的最左端水平向右射出。光的水平運動可以用勻速直線運動（水平速度用光速c做個估計）做個大致的估算，所以光從電梯最左端到達最右端所需要的時間大致是：
由于光在豎直方向的初始速度是0，加速度近似是g豎直向下指向太陽中心，所以我們可以大致估算出Δt時間后光抵達電梯最右端時速度的豎直向下的分量是：
所以我們得出光線抵達電梯最右端時的偏轉(zhuǎn)角估計值（等價于光線掠過太陽表面時的偏轉(zhuǎn)角）是：
因為上式分子中的萬有引力常數(shù)G很小，而分母中的太陽半徑R和光速的平方c很大，所以光線掠過太陽表面時的偏轉(zhuǎn)角非常非常小難以觀測！
所以這里我們已經(jīng)通過一些不嚴格的定性半定量的計算在牛頓力學(xué)的框架下從等效原理出發(fā)給出了光線偏轉(zhuǎn)角的估計值和大致的數(shù)量級。這個結(jié)果給出了很多關(guān)鍵的物理圖像和信息！而且更令人驚訝的是，這個如此容易計算的估計值竟然和用復(fù)雜的廣義相對論場方程嚴格計算出來的精確值之間僅相差一個系數(shù)2！
【注：下面這個偏轉(zhuǎn)角就是用場方程嚴格計算出的結(jié)果，即真實的偏轉(zhuǎn)角是估計值的2倍】
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編輯：云開葉落
