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傅種孫幾何作圖思想探析

?——紀(jì)念傅種孫先生誕辰120周年

?張彩云，代欽(內(nèi)蒙古師范大學(xué))

摘要：傅種孫是我國上世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，畢生致力于我國數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育事業(yè)，被學(xué)界譽(yù)為數(shù)學(xué)教育的一代宗師和中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的先驅(qū)。他是將數(shù)理邏輯和西方數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究引入中國的第一個(gè)數(shù)學(xué)家。他的數(shù)學(xué)教育思想和數(shù)學(xué)方法論是豐富而又博大精深的。他的《初級混合數(shù)學(xué)》、《高中平面幾何》、《幾何基礎(chǔ)研究》、《作圖漫談》等著作中所蘊(yùn)含的幾何作圖教育思想對今天的幾何課程改革、中學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫和數(shù)學(xué)教師教育具有一定的啟示和借鑒作用。

關(guān)鍵詞：傅種孫；幾何作圖思想；初級混合數(shù)學(xué)；高中平面幾何；幾何基礎(chǔ)研究；作圖漫談

1 傅種孫生平及主要貢獻(xiàn)

傅種孫(1898-1962)，字仲嘉，于1898年2月27日出生于江西省高安縣朱湖村，是我國上世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。他從小讀書聰慧刻苦、思維敏捷，在5個(gè)孩子中獨(dú)受父親傅元弼(清末秀才)重視，其父在病逝前曾留遺囑：“不要使種孫輟學(xué)，他大可造就”。傅種孫在讀中學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)成績已很突出，尤其酷愛幾何，幾何題做得多，老師幾乎找不到題目給他練習(xí)了，在南昌二中時(shí)寫的軌跡論文曾留校展覽多年。1916年被北京高等師范學(xué)院(國立北平師范學(xué)校前身，以下簡稱北高師)數(shù)理部錄取。在北高師一年級的立體幾何課上曾反駁老師關(guān)于“斜圓柱的側(cè)面展開是平行四邊形”的講解，當(dāng)場用報(bào)紙制成一個(gè)斜圓柱側(cè)面后，沿母線把紙展開并指著其波形邊沿說：“請看，這能是平行四邊形嗎？”師生不禁佩服他的反應(yīng)快和想得深。他是《數(shù)理雜志》主要?jiǎng)?chuàng)始人之一。他先后在該雜志上發(fā)表幾何、代數(shù)等方面的論文和譯文16篇。他的論文《大衍(求一術(shù))》用近代數(shù)學(xué)研究中國古算的創(chuàng)舉影響很大，中算史專家李儼先生曾說：“我看了傅先生的《大衍(求一術(shù))》一文后，對中國古算發(fā)生了興趣，決心把中國數(shù)學(xué)史整理出來。”[參見：傅章秀.熱愛教育事業(yè)的數(shù)學(xué)家——傅種孫先生[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1991(6)：2.]1920年7月北高師畢業(yè)，被留其附中任教。于1922年在國內(nèi)率先翻譯出版了羅素(B·Russell，1872-1970)的《羅素算學(xué)哲理》(Introduction to Mathematical Philosophy)，又于1924年翻譯出版了德國著名數(shù)學(xué)家D.希爾伯特(David Hilbert，1862-1943)的名著《幾何原理》(The Foundations of Geometry，今譯《幾何基礎(chǔ)》)。抗戰(zhàn)前兼任過北京大學(xué)、輔仁大學(xué)、北平大學(xué)女子文理學(xué)院教授；流亡時(shí)在陜西城固停留期間曾任西安臨時(shí)大學(xué)、西北聯(lián)合大學(xué)和西北大學(xué)教授；抗戰(zhàn)勝利后，赴英國牛津大學(xué)、劍橋大學(xué)考察兩年。1947年11月回國，任國立北平師范學(xué)校(今北京師范大學(xué)前身)教授，直至1962年1月18日去世，一直未脫離一線教學(xué)，有很多全國知名的學(xué)者都曾受教于他，如錢學(xué)森院士、段學(xué)復(fù)院士、閔嗣鶴、熊全淹、魏庚人、趙慈庚、金保赤、張?jiān)_(dá)、袁兆鼎等，并深受其影響。錢學(xué)森院士曾回憶說：“聽傅老師(種孫)講幾何課，使我第一次懂得了什么是嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)。”[參見：祁淑英，魏根發(fā).錢學(xué)森[M].石家莊：花山文藝出版社，1997：15.]在美國學(xué)習(xí)時(shí)，錢學(xué)森的導(dǎo)師馮·卡門(Von Karmann)曾稱贊他的科學(xué)基礎(chǔ)好，而他本人則認(rèn)為得益于從傅種孫老師那里學(xué)會(huì)了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方法。還有，在段學(xué)復(fù)院士的傳中說：“在傅種孫先生等的影響下，段學(xué)復(fù)對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。”[參見：程民德等.中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家傳(第二卷)[M].南京：江蘇教育出版社，1995：228.]更有，熊全淹教授的傳中說：“提到老師，熊全淹認(rèn)為，他的業(yè)師中，影響他最大的有兩位。一位是中學(xué)時(shí)的老師，傅種孫教授。他為人正直，剛正不阿，學(xué)問淵博，深受學(xué)生愛戴。熊全淹選學(xué)數(shù)學(xué)，與傅先生之關(guān)懷與誘導(dǎo)有很大關(guān)系。”[參見：程民德等.中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家傳(第一卷)[M].南京：江蘇教育出版社，1995：168.]傅種孫先生學(xué)術(shù)與經(jīng)驗(yàn)了然于胸，講授之中輒有深見，即使在抗戰(zhàn)后方講學(xué)的四五年間亦譽(yù)冠當(dāng)時(shí)，成為西北地區(qū)的名教授。[參見：趙慈庚.傅種孫先生的教育思想[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1997(8)：1.]傅種孫先生是民國時(shí)期中國數(shù)學(xué)教育的領(lǐng)袖人物。[參見：張奠宙.中國數(shù)學(xué)教育拒絕實(shí)用主義——從徐光啟、傅種孫到姜伯駒[J].教育科學(xué)研究，2014(12)：5-9.]被張英伯教授譽(yù)為中國數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的先驅(qū)、我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的先驅(qū)和最出色的數(shù)學(xué)老師。[參見：張英伯.傅種孫——中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的先驅(qū)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2008，47(1)：8-10.]他居高聲遠(yuǎn)，影響很大，不愧為數(shù)學(xué)教育的一代宗師。[參見：王光明，楊世明，周學(xué)智.傅種孫關(guān)于“中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的思想初探[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2003(3)：3-5.]傅種孫先生雖然未能像弗賴登塔爾那樣寫出數(shù)學(xué)教育專著，但是凝聚了他數(shù)學(xué)教育思想的著作如《初級混合數(shù)學(xué)》、《高中平面幾何教科書》(1982年改稱《平面幾何教本》，以下簡稱《高中平面幾何》)、《初等幾何研究》(原名為《初等數(shù)學(xué)研究》)等都獨(dú)具匠心、特色鮮明，在當(dāng)時(shí)的教育界影響頗大。在1998年北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系紀(jì)念傅種孫先生誕辰100周年的座談會(huì)上，主持人劉紹學(xué)教授在致辭中說：“中國的傅種孫，德國的F.Klein(1849-1925)，美國的G.Polya(1887-1985)，都同樣得到我們的敬仰和熱愛。”[參見：傅種孫.傅種孫教育文選[M].北京：人民教育出版社，2005：代序9-10.]可見學(xué)界對傅種孫數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育研究工作的認(rèn)可和肯定。截止目前，從宏觀研究的角度而言，對傅種孫先生教育思想研究的碩果累累，如：“教不嚴(yán)，師之惰”的為學(xué)生服務(wù)的原則，修業(yè)與進(jìn)德并行的育人宗旨，“賣米賣糠說”所體現(xiàn)的唯物主義人才觀，極度認(rèn)真、嚴(yán)于律己、勇于任事、剛直不阿、憂國惜才的治學(xué)之道，修根固本、正源清流的遠(yuǎn)見卓識，等等，對我國數(shù)學(xué)教育的發(fā)展起到了積極的促進(jìn)作用；但從微觀研究角度的看，對他的幾何作圖思想至今沒有深入的涉獵。幾何作圖是傅種孫先生初等數(shù)學(xué)研究工作中重要的一部分，他在幾何作圖方面有開創(chuàng)性的工作。在他的著作《初級混合數(shù)學(xué)》、《高中平面幾何》和《幾何基礎(chǔ)研究》中都有作圖的章節(jié)進(jìn)行闡述。此外，還有一個(gè)《作圖漫談》的講題，專門講述幾何作圖。它們是傅種孫大部分知識和智慧的結(jié)晶，本文主要結(jié)合如上著作來闡述他的幾何作圖思想。

?2 傅種孫的幾何作圖思想

傅種孫的幾何作圖思想是滲透在他的初等數(shù)學(xué)研究和教育工作中的，實(shí)實(shí)在在的有兩件事：一是編寫《初級混合數(shù)學(xué)》和《高中平面幾何》教科書；二是開展中學(xué)數(shù)學(xué)研究，從理論上和教法上進(jìn)行分量輕重和深淺程度的分析后結(jié)合國內(nèi)教育實(shí)況寫出若干專題，借師資培訓(xùn)之機(jī)，深入淺出地講給教師聽?！稁缀位A(chǔ)研究》和《作圖漫談》便是他講題當(dāng)中的主要內(nèi)容和研究成果。傅種孫從高等數(shù)學(xué)的視角審視初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)重要性，將數(shù)學(xué)的“高觀點(diǎn)”深入淺出得編入教材，有的介紹給學(xué)生，有的供教師和高材生研究參考，從而達(dá)到“以其昭昭，使人昭昭”的目的。[參見：楊之.傅種孫的數(shù)學(xué)教育思想(上)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2000，(8)：4-6.]

2.1 傅種孫幾何作圖研究成果簡介

《初級混合數(shù)學(xué)》是1923年在北京高師附中率先進(jìn)行學(xué)制改革實(shí)驗(yàn)時(shí)為適應(yīng)新學(xué)制下數(shù)學(xué)課程，由傅種孫和程廷熙編寫的一套教科書(共6冊，商務(wù)印書館，1923-1926)。這套書的特點(diǎn)是內(nèi)容豐富，理論嚴(yán)密，語言準(zhǔn)確，例題生動(dòng)，并且將算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角等知識混合編排進(jìn)行聯(lián)絡(luò)教學(xué)，因此被當(dāng)時(shí)很多學(xué)校選用。[參見：羅德建.傅種孫先生在北京師大附中[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2008，47(2)：11-20.]其中，除第四冊外都有幾何作圖的相關(guān)內(nèi)容。

傅種孫先生的著作《高中平面幾何》給出了在中學(xué)階段數(shù)學(xué)課的嚴(yán)格化處理的一種模式和范本，這本書直到今天還有價(jià)值。[參見：孫永生.紀(jì)念傅種孫先生[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1999，(4)：1.]《高中平面幾何》于1933年初版，到1937年共印四版，每版都進(jìn)行了修訂。該書理論體系完備，語言嚴(yán)謹(jǐn)，在當(dāng)時(shí)盛行全國。在基本訓(xùn)練方面也有獨(dú)到之處，如書中很多題目一開始就給出與之相關(guān)的圖形，有些題目甚至一題多圖。圖形的使用，在一定程度上幫助學(xué)生更好地理解問題，尋找解決問題的方法。[參見：陳婷，田麗娜，詹紫浪.傅種孫《高總平面幾何講義》之考察[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2012，31(8)：57.]全書共有七篇，第四篇專講作圖。

幾何基礎(chǔ)是傅先生用力最勤、宣講最多的數(shù)學(xué)科目之一。[參見：王世強(qiáng).懷念傅種孫先生改革數(shù)學(xué)教育的幾點(diǎn)感想[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1998，(12)：2-4，24.]《幾何基礎(chǔ)研究》是傅種孫先生從教10多年，在了解了羅素和希爾伯特的數(shù)學(xué)工作后敏銳地洞見了它們的重要性和當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)趨勢，在汲取精髓的基礎(chǔ)上根據(jù)自己的教學(xué)、科研經(jīng)驗(yàn)感知到許多中學(xué)教師不善于把高等數(shù)學(xué)的理論和中學(xué)教材結(jié)合起來，而他認(rèn)為師范院校的學(xué)生需要在這方面有所引導(dǎo)，所以于1930年前后在北高師開設(shè)了初等數(shù)學(xué)研究的課程，為此編寫的講義?！稁缀位A(chǔ)研究》有四部分組成，它們是總論篇(P1-P36)、幾何基礎(chǔ)篇(P37-P128)、作圖篇·上(P129-P262)和作圖篇·下(P263-P293)，作圖篇占了一半以上的篇幅。

《作圖漫談》[參見：傅種孫.傅種孫數(shù)學(xué)教育文選[M].北京：人民教育出版社，2005：147-155.]是傅種孫先生在1934-1944年間歷次在北平師大(西北師院前身)、西北師院(今西北師范大學(xué)前身)和陜西省舉辦的中學(xué)理科教員暑期講習(xí)會(huì)的講稿之一，它的小標(biāo)題為“工具和賦予它們的全能”。

 傅種孫著作中幾何作圖的主要內(nèi)容如表1所示：

表1 傅種孫著作中幾何作圖的主要內(nèi)容

傅種孫對幾何作圖研究的成果是他幾何作圖思想的具體呈現(xiàn)和集中反映。其有如下特點(diǎn)：(1)幾何作圖是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的必不可少的內(nèi)容。無論是在他編寫的中學(xué)教科書中，還是大學(xué)講義中，甚至師資培訓(xùn)的教材中，都有專門講解幾何作圖的章節(jié)；(2)幾何作圖的主要內(nèi)容集中于作圖題與存在問題、作圖方法、作圖工具、正多邊形作圖和尺規(guī)作圖不能問題；(3)隨著接受對象的不同，其著作中所涉及幾何作圖的理論深淺亦不同。從初中—高中—大學(xué)—師資培訓(xùn)，作圖也從基本作圖—正多邊形作圖—尺規(guī)作圖不能問題—探討作圖理論；(4)對于作圖方法，主要介紹了8種：如拼合法、造因法、三角形奠基法、遷移法、放大法、分析法與輔助線、代數(shù)分析法、軌跡交點(diǎn)法。并強(qiáng)調(diào)了造因法是其中最重要的方法；(5)對于作圖工具，談到了尺規(guī)作圖、直尺作圖、直尺及一、二無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作圖、直尺及遷線器作圖、直尺和一個(gè)有圓心的定圓作圖、直尺與銅圓作圖、圓規(guī)作圖；(6)對于正多邊形的作圖和尺規(guī)作圖不能問題有專門的、且深入的理論分析，用代數(shù)方法進(jìn)行了能否作圖的一些代數(shù)性質(zhì)充分條件的討論，正是這些知識的引導(dǎo)學(xué)習(xí)者對幾何作圖產(chǎn)生本質(zhì)的認(rèn)識和啟發(fā)，激發(fā)學(xué)習(xí)者更深的思考和探索。

2.2 傅種孫幾何作圖個(gè)案賞析

傅種孫在《高中平面幾何》的自序中說“幾何之務(wù)，不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然？”[參見：傅種孫.高中平面幾何教科書(序)[M]北京：算學(xué)叢刻社，1933.]傅種孫對幾何作圖問題的研究就充分證明了這一點(diǎn)。從幾何作圖與存在問題之間的關(guān)系、作圖方法、作圖工具、正多邊形作圖、作圖不能問題，一步步闡述了幾何作圖的本質(zhì)，幾何作圖的根據(jù)、限制及能否作圖的條件，并更進(jìn)一步地進(jìn)行代數(shù)方法的解析和證明。也許，只有這樣才算達(dá)到他所追求的“幾何之務(wù)”，不僅能做出符合某種條件的幾何圖形，還要知道它的作圖根據(jù)是什么，更要明白為什么會(huì)有如此限制，最終領(lǐng)會(huì)作圖的內(nèi)涵。

對于作圖題與存在問題之間的關(guān)系，傅種孫認(rèn)為幾何作圖是證實(shí)某種圖形存在與否的一種方法，如果符合某個(gè)條件的圖形可以作出，則證明該存在定理為真，即作圖題就是研究某種圖形是否存在的問題。如“兩點(diǎn)決定一條直線”本來是存在定理，而通常用來證明“該直線存在”的卻是通過作出此圖形(直線)。作圖題分“有解”、“無解”和“不能解”。“有解”則斷定所求作的圖形存在；“無解”則斷定所求作的圖形不存在；“不能解”既不能斷定所求作圖形存在也不能斷定它不存在。

對于作圖工具及其效能，傅種孫明確指出：初等幾何只講直線和圓。因此，它所采用的作圖工具也只限于直尺和圓規(guī)兩種。直尺，既直又長。圓規(guī)，腿長而且開閉靈活。它們有定線、作圓、求交點(diǎn)三種功能。即給出兩點(diǎn)，可以用直尺作出直線(見圖1)；給出任意點(diǎn)為圓心，任意長為半徑，可以用圓規(guī)畫出圓(見圖2)；對于應(yīng)該相交的兩直線、兩圓或一直線和一圓，就可用直尺和圓規(guī)確定它們的交點(diǎn)(見圖3、4、5)。一道作圖題是否能尺規(guī)作圖解答，判斷的依據(jù)則是其能否通過有限次的以上五種基本作圖解決。另外，在《作圖漫談》中，他如是說：“工藝制造，土木建筑，各有工具。工具各有功能。工事的精粗，往往因所用工具而不同。成果的多少，又因我們賦予工具的權(quán)能大小而不同。幾何作圖也是這樣；成就的范圍如何，由所選的工具和賦予它們的權(quán)能來定。”在該篇中，他特別介紹了直尺作圖法、直尺及一、二無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作圖法、直尺及遷線器作圖法、直尺圓規(guī)作圖法、直尺和一個(gè)有圓心的定圓作圖法、直尺與銅圓作圖法、圓規(guī)作圖法。當(dāng)然這些作圖法都有各自所遵循的一套公理體系，如此一來，幾何作圖的成就的多少便取決于所選的作圖工具和公理體系。

對于作圖的根據(jù)，傅種孫指出有三種：第一種是存在公理，如截割公理、平行公理、遷線公理、交圓公理等；第二種是存在定理，常用的有六個(gè)。如一條直線和一個(gè)多邊形，如果有一個(gè)公共點(diǎn)，只要它不是頂點(diǎn)，就一定還有第二個(gè)公共點(diǎn)；第三種是作圖成法，以有解的情形而論，給出了如下十種：1、以一條定線段作為一邊，作一個(gè)角使它符合于一個(gè)已知角；2、已知三邊(任何兩邊的和都大于第三邊)或兩邊和夾角或兩角和一邊(兩角之和小于二直角)或兩邊和其中一邊所對的角(角和兩邊有限制)，求作一三角形；3、過一定點(diǎn)作一直線垂直于一條定直線；4、過一定點(diǎn)作一直線平行于一定直線；5、平分一個(gè)角；6、平分一個(gè)弧；7、作線段的垂直平分線；8、把一個(gè)線段分為若干等份；9、作一三角形的內(nèi)切圓、旁切圓和外接圓；10、作正方形、正三角形。就作圖成法，傅種孫強(qiáng)調(diào)，在作圖時(shí)沒有成法不許動(dòng)手亦如證定理時(shí)沒有根據(jù)不能開口。

對于作圖的規(guī)范，傅種孫認(rèn)為作圖題的解法應(yīng)該按照五個(gè)步驟來敘述。第一步是設(shè)定，即羅列題中的設(shè)定件，一定要齊全；第二步是求作，即說明題中求作的圖形，要連帶說明它必須滿足的全部條件；第三步是作法，即敘述作圖的方法，其中是否添加輔助線等，動(dòng)手的次序一定要記錄詳細(xì)明白；第四步是證明，即證明按照上述作法所得到的圖形正是所求作圖形。在“作法”的末尾有一句說“某圖形就是求作的”，而這句話是否正確是需要證明的；第五步是推究，即按照設(shè)定件的多少、位置以及相互關(guān)系對作圖題的有解、無解、能解、定解、不定解、一解、多解進(jìn)行判定。如果能找到一個(gè)適用于設(shè)定件各種情形時(shí)的作法，應(yīng)在“作法”中寫出，至于因情形有別的細(xì)節(jié)，則放到“推究”去討論；反之，按不同使用不同作法。

對于作圖方法，傅種孫認(rèn)為“馭作圖題之方法”[參見：傅種孫.《幾何基礎(chǔ)研究》[M]北京：北京師范大學(xué)出版社，2001：143-204.]較淺易的有8種：拼合法、造因法、三角形奠基法、遷移法、放大法、軌跡交點(diǎn)法、反映法、代數(shù)分析法。此外，還有平移法、翻褶法、旋轉(zhuǎn)法、倒極法、嘗試法(二重點(diǎn))。他還指出用拼合法時(shí)必須注意拼合時(shí)的先后次序；造因法是各法中最重的，分為兩步：第一步，選出一條學(xué)過的定理，使它的題斷與本作圖題的求作相吻合。第二步，設(shè)法作圖以實(shí)現(xiàn)該定理的題設(shè)，獲得題斷，達(dá)到求作的目的；旋轉(zhuǎn)法在解作圖題時(shí)有很多應(yīng)用之處；軌跡交點(diǎn)法應(yīng)用很廣，但須將軌跡了然于胸；思考探究幾何作圖方法雖多，但往往顧此失彼，或者常用的則熟練生巧而不常用的則拙劣生疏，而應(yīng)用比較廣泛，并且最有準(zhǔn)繩規(guī)矩可以遵循的，非代數(shù)分析法莫屬。諸種作圖法無論遵循哪種公理體系，但在正式作圖前都必須進(jìn)行“分析”。步驟是：1繪出草圖，具備設(shè)定件和求作件；2添繪有重要關(guān)系的點(diǎn)、線等；3盡量考究圖中各件之大小、位置及相互關(guān)系，逐漸推斷并標(biāo)識；4繼續(xù)增添次要之輔助線，直至問題解決。此種分析中的添加的輔助線對于正確而快速地的解題尤其重要，適時(shí)的添加輔助線因題不同而不同，也取決于學(xué)習(xí)者的眼光。另外還應(yīng)特別注意作圖中交點(diǎn)的有、無、個(gè)數(shù)與作圖題有解、無解和解的個(gè)數(shù)的關(guān)系。

以上諸種見解在傅種孫的著作中都有具體而又詳細(xì)的論述。幾何作圖題有一個(gè)解并簡單者少，而復(fù)雜需要推究者多，下面選取其著作中“作圖規(guī)范”一節(jié)的例題如下，關(guān)于其幾何作圖工具及效能、作圖根據(jù)、作圖規(guī)范、作圖方法、交點(diǎn)與解的個(gè)數(shù)關(guān)系、添加輔助線等思想可見一斑。

2.3 傅種孫幾何作圖思想的特點(diǎn)

(1)強(qiáng)調(diào)對幾何作圖本質(zhì)的認(rèn)識

傅種孫強(qiáng)調(diào)幾何作圖是存在問題的變形，其依據(jù)為存在問題所本公理體系，就性質(zhì)而言，幾何作圖是幾何事理的另一種表現(xiàn)形式，然其作圖依據(jù)依然是幾何事理。于是，他格外提醒學(xué)習(xí)者從概念上注意問題中所設(shè)的條件(包括所采用的公理體系及允許用的工具)，并要從認(rèn)識上分清客觀的可能性與人們主觀能力大小的區(qū)別。他在《高中平面幾何》和《幾何基礎(chǔ)研究》中明確指出：“作圖題乃存在問題之變形。” [參見：傅種孫.高中平面幾何教科書[M]北京：算學(xué)叢刻社，1933：153.] “而存在問題之解決，胥視全部公理以為準(zhǔn)據(jù)。” [參見：傅種孫.幾何基礎(chǔ)研究[M]北京：北京師范大學(xué)出版社，2001：130-131.]即符合某種條件的圖形是否存在，能否作出，決定于公理。他更生動(dòng)的論述道：“Klein，數(shù)學(xué)泰斗也，授之以規(guī)矩不能為正七邊形。Hilbert，幾何巨臂也，挾其所謂遷線之器不能變矩形為正方。豈其才智之不如人，所本則不同耳”。[參見：傅種孫.幾何基礎(chǔ)研究(序2)[M]北京：北京師范大學(xué)出版社，2001：6.]對于非歐幾何，他也談到由于公理體系不同而出現(xiàn)的不同于歐氏幾何的現(xiàn)象。每門科學(xué)的發(fā)展史就是人類對于這門科學(xué)的認(rèn)識過程。傅種孫強(qiáng)調(diào)學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)亦不能過遠(yuǎn)地脫離這個(gè)認(rèn)識過程，從歐氏幾何誕生到當(dāng)前的幾何，這一步的飛躍不是十幾歲的學(xué)生所能輕易接受的。而幾何作圖的各種變形可以靈活而直觀的示以公理的條件和工具限制的不同層次。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是三種關(guān)系，一種是數(shù)和數(shù)的關(guān)系，也就是代數(shù)關(guān)系，然后是圖形和圖形的關(guān)系，就是幾何關(guān)系，還有一種是隨機(jī)的關(guān)系，一部分表現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)中，一部分在概率里。[參見：史寧中.《平面幾何》改造計(jì)劃[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，46(6)：1-3.]幾何作圖是探討“圖形和圖形關(guān)系”時(shí)必不可少的過程，而這也正是認(rèn)識幾何公理體系的過程。如幾何學(xué)上的三大幾何作圖難題，在先輩們堅(jiān)持不懈的探索中，清晰地認(rèn)識了歐氏幾何公理體系的全貌，領(lǐng)會(huì)了尺規(guī)作圖的真諦，而且在突破作圖限制的大膽嘗試后有了新的發(fā)現(xiàn)和成果。傅種孫著述中的“正多邊形作圖”、“作圖不能問題”、“規(guī)矩作圖之根本意義”、“求作線段所能適合之方程”、“圓規(guī)直尺不可解之作圖題”等內(nèi)容都是從幾何作圖的依據(jù)出發(fā)，用代數(shù)解析法闡述了尺規(guī)作圖的本質(zhì)，以供學(xué)習(xí)者進(jìn)入“何由以知其所以然”的境界。當(dāng)然，對于幾何作圖問題的難易層次問題，傅種孫有著清晰的認(rèn)識，對于幾何作圖的教學(xué)他有獨(dú)到的見解。傅種孫所編寫的初中、高中、大學(xué)及教師培訓(xùn)的幾何教材中，幾何作圖不僅是必不可少的內(nèi)容，且因?yàn)閷W(xué)段不同而有側(cè)重。

(2)注重幾何作圖對數(shù)學(xué)邏輯思維能力的培養(yǎng)

就作用而言，幾何作圖在訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯性和嚴(yán)密性方面很多時(shí)候大有裨益。在幾何作圖的過程中要經(jīng)歷一系列的、復(fù)雜的邏輯思維過程，如解答幾何作圖問題中的“分析”、“討論”等過程，都是在學(xué)習(xí)者大腦中將幾何事實(shí)具體化的同時(shí)學(xué)習(xí)幾何事理，掌握幾何知識，領(lǐng)悟幾何精神，在潛移默化中培養(yǎng)和塑造學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)邏輯性和嚴(yán)密性，進(jìn)而探索更深的知識和人生哲理。正如前文錢學(xué)森院士所說：“聽傅老師講幾何課，使我第一次懂得了什么是嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)。”而且錢學(xué)森院士本人也認(rèn)為其科學(xué)基礎(chǔ)得益于從傅老師那里學(xué)會(huì)了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方法。談到數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)密性，歐幾里得的《幾何原本》是世界公認(rèn)的，這主要源于它演繹推理的方法和其奉為金科玉律的尺規(guī)作圖。數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)密性是統(tǒng)一的，簡單說就是在概念、判斷和推理的過程中把所有的可能性都考慮到并說明白。幾何作圖問題尤其能突出這一點(diǎn)，比如從分析題目的條件和結(jié)論，條件中包含哪些概念、定理和公理及它們之間的聯(lián)系，如何在此基礎(chǔ)上選擇合理優(yōu)化的策略達(dá)到目的，然后體會(huì)對結(jié)論進(jìn)行證明的必要性，討論如此作圖的正確性和可能性。傅種孫邏輯造詣精深，很多著述都能給讀者以思維方法的深刻啟迪。[參見：王樹銘.學(xué)習(xí)《平面幾何教本》推進(jìn)數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)——紀(jì)念傅種孫先生百年誕辰[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1998，(1)：7-10.]如在《作圖漫談》中提到傅種孫在幾何課上看到學(xué)生拿銅圓代替圓規(guī)畫圓，于是出了這樣一個(gè)題目，讓他們研究“一個(gè)銅圓代替圓規(guī)，能否做直尺與圓規(guī)所能作的一切工作？”不僅引起同學(xué)們極大的興趣，讓他們在研究中認(rèn)清作圖工具的條件限制，而且從中受到教育，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)習(xí)慣。當(dāng)然，這不是他心血來潮，而是他對幾何作圖在培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力的深刻認(rèn)識和重視，讓學(xué)生在潛移默化中受到教育。也正是如此，他面對Malfatti[即：求作三圓互切，且各切于一定三角形之二邊.]問題，根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)前人的著作中解的個(gè)數(shù)為32個(gè)或36個(gè)，在數(shù)目上都不對，太小。于是在1936年的整個(gè)寒假夜以繼日地寫、畫，在屋中四壁掛滿了圖，紙簍的廢紙每天倒出三四筐，右手食指外側(cè)因使用圓規(guī)磨出了老繭，終于得出了108個(gè)解，后又用整個(gè)暑假復(fù)查一遍無誤后才寫成論文《Malfatti問題之108解》，并在1936年8月的中國數(shù)學(xué)會(huì)上宣讀過，這是傅種孫開創(chuàng)性的成果，也是他“幾何追求”之下的必然結(jié)果。不難發(fā)現(xiàn)，幾何作圖已經(jīng)成為傅種孫研究幾何問題時(shí)的必要手段和一種習(xí)慣，這與他處理幾何問題時(shí)內(nèi)在的思維過程是密切相關(guān)的，幾何作圖的過程既是解題的過程亦是他研究幾何問題時(shí)的思考和探索過程。

3 結(jié)語

傅種孫所著教材中編排的幾何作圖內(nèi)容分量輕重、深淺程度都是他精心設(shè)計(jì)，既聯(lián)系當(dāng)時(shí)國外數(shù)學(xué)發(fā)展動(dòng)態(tài)，又兼顧國內(nèi)數(shù)學(xué)教育實(shí)況。每一個(gè)作圖問題既具體又博大精深，在不同層次的教材中講述亦深亦淺，尤其對于幾何作圖的真諦和意義的剖析，在代數(shù)分析法的解析之下，無論是學(xué)生還是教師通過學(xué)習(xí)和鉆研這些內(nèi)容有助于更清楚地掌握幾何作圖背后的幾何公理，更直觀地認(rèn)識 “亦欲進(jìn)學(xué)者于有無能否之辨，而不以畫法技能自足耳”[參見：傅種孫.高中平面幾何教科書(序)[M]北京：算學(xué)叢刻社，1933.]，減少學(xué)習(xí)者在“作圖不能問題”上的徒勞。史寧中教授在他的《<平面幾何>改造計(jì)劃》中如是說：“平面幾何的教育價(jià)值何在？我以為除了公認(rèn)的幾何證明外，就是培養(yǎng)幾何直觀能力了。”“幾乎所有幾何問題和證明都要借助圖形。一個(gè)人如果能夠借助圖形來思考問題，便稱這個(gè)人具有幾何直觀，這里所說的思考問題包括描述問題、探討本質(zhì)、啟發(fā)思路、預(yù)測結(jié)果等等。”[參見：史寧中.《平面幾何》改造計(jì)劃[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，46(6)：1-3.]代欽教授在他的《作圖是幾何教育的根基》中談到圖有以下功能：其一是圖將具體事物進(jìn)行抽象化，將復(fù)雜的事物進(jìn)行簡單化，表示個(gè)別事物的普遍意義。其二是將抽象的思想事物進(jìn)行形象化、直觀化，幫助人們易于把握抽象思想。圖在從具體到抽象、從抽象到具體之間起到橋梁作用，正如古希臘哲學(xué)家柏拉圖所說那樣數(shù)學(xué)是“把靈魂拖著離開變化世界進(jìn)入實(shí)在世界的學(xué)問。”其三，作圖過程也許點(diǎn)燃創(chuàng)造的火花，激起靈感，引出問題，從而推動(dòng)數(shù)學(xué)的健康發(fā)展。古希臘的“幾何作圖不能問題”的提出就是一個(gè)明證。[參見：代欽.作圖是幾何教育的根基——兼論清末民國時(shí)期幾何作圖教科書的發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56(10)：1-7.]幾何問題雖屬千差萬別，但要按性質(zhì)來區(qū)分，不外證明題和作圖題兩大類。給出圖形，證明它適合某種條件，這是證明題；給出條件，求作一圖使適合某種條件，這是作圖題。作圖之后，照例應(yīng)有證明，證明題中也少不了作圖。這兩件事是互相聯(lián)系，互相啟發(fā)，原無先后之分的。[參見：王聯(lián)芳.關(guān)于幾何作圖的幾點(diǎn)意見[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1963(7)：14.]幾何作圖可以說貫穿和存在于一切初等幾何問題之中。

就今天的數(shù)學(xué)課標(biāo)和教科書來看，其中與幾何作圖相關(guān)的要求和內(nèi)容都不同往昔，在數(shù)學(xué)課堂上也有幾何畫板等軟件可以方便快捷地作圖，但有句老話說得好，“眼過千邊不如手過一遍”。只有教師和學(xué)生親自作圖，在一條線、一個(gè)圓以及相切、相交等過程中潛移默化地理解每一個(gè)動(dòng)作的意義，才更有利于切身體會(huì)構(gòu)圖的每一步操作所遵循的條件限制，揣摩其包含的幾何性質(zhì)，理解尺規(guī)作圖的真諦，在此基礎(chǔ)上可借助幾何畫板等軟件，在作圖需要突破常規(guī)條件的限制時(shí)發(fā)揮其尺規(guī)不能作圖的優(yōu)勢，探討幾何作圖的多種可能，提升其幾何學(xué)習(xí)能力，提高幾何學(xué)業(yè)水平。而中學(xué)數(shù)學(xué)教師對幾何作圖全面而深刻的認(rèn)識和掌握亦有助于分析教材、把握重點(diǎn)和難點(diǎn)、利用幾何作圖的直觀性選取靈活多樣的教學(xué)方法，提高幾何教學(xué)的水平。面對長久以來一直存在的關(guān)于平面幾何的爭論，如平面幾何教學(xué)中弱化邏輯推理、為了減負(fù)過渡地刪減繁難破壞了幾何完整的體系，等等。從數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育史的角度，是否可以從傅種孫的幾何作圖思想得到一些啟發(fā)，為今天的數(shù)學(xué)教育改革，教材編寫和中學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)提供一些幾何教育方面的借鑒和啟示，值得進(jìn)一步探討。

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