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王揚(yáng)數(shù)學(xué)奧林匹克問(wèn)題之25的解答
——簡(jiǎn)答四面體中的費(fèi)爾馬點(diǎn)問(wèn)題
深圳育才中學(xué) 王揚(yáng)(20171119周日)
二．題目解說(shuō)
背景說(shuō)明: 本題為筆者200810月份前后所編擬并證明, 一直未發(fā)表, 近期于20171023在本公眾號(hào)上刊登了另外的若干個(gè)數(shù)學(xué)奧林匹克問(wèn)題2中, 位列第25, 在20171119日欣喜地看到本題被西安交大附中的金磊先生率先解決, 表現(xiàn)出作者非凡的解題實(shí)力, 使筆者感到十分欣喜, 今天發(fā)表筆者以及金磊老師的解法出來(lái), 請(qǐng)大家批評(píng)指正.
筆者曾在1998年到2002年間建立了平面幾何到立體幾何的移植原則[1]-[3], 今將其再次修改, 使其對(duì)應(yīng)更加完美, 成為如下新的平面幾何向立體幾何的移植原則:
并成功解決了一系列平面幾何問(wèn)題的空間移植. 最近, 筆者經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)空間中的費(fèi)爾馬點(diǎn)的一種空間形式, 而文[4]曾給出過(guò)費(fèi)爾馬點(diǎn)空間形式的四個(gè)定理(未有證明) , 他與筆者研究的結(jié)論略有不同. 現(xiàn)將我們研究獲得空間四面體中費(fèi)爾馬點(diǎn)的另外一種形式介紹如下.
引理2: 各二面角大小都相等的四面體為正四面體.
三．問(wèn)題的解答(筆者的解法列為解法一)
解法一: 分析平面上的費(fèi)爾馬點(diǎn)性質(zhì)的兩個(gè)證明可以看出,第一證明需要將分散的線段經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)(將一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)60度) 轉(zhuǎn)化到一條直線上,這個(gè)方法在解決立體幾何問(wèn)題中(需要旋轉(zhuǎn)一個(gè)三棱錐多大的角？)不太靠譜.
而解法二則用到了正三角形的性質(zhì),由于正三角形與正四面體構(gòu)成良好對(duì)應(yīng),故可思考第二種方法移植的可行性.
四．其他網(wǎng)友的解法
下面給出西安交大附中的金磊老師的解答,
解法二: 原問(wèn)題等價(jià)于證明四面體中到四個(gè)頂點(diǎn)距離和最小的點(diǎn)對(duì)各棱張角相等;
五．一點(diǎn)評(píng)注
1. 解法一和解法二本質(zhì)上都是平面上相應(yīng)方法在空間中的移植, 這啟發(fā)我們要善于發(fā)現(xiàn)平面幾何問(wèn)題和立體幾何問(wèn)題之間的深刻聯(lián)系, 并嘗試將平面幾何中結(jié)論和解法推廣到空間及更高維的幾何中;
2．平面上費(fèi)馬爾點(diǎn)問(wèn)題的解法很多, 還有其他解法要用微分幾何或者變分法、調(diào)整法等,有興趣的讀者可以嘗試將其他的解法移植到空間中;
3. 一個(gè)問(wèn)題的解法好壞的重要判定標(biāo)準(zhǔn)一是看方法是否簡(jiǎn)潔; 而是看能否對(duì)推廣后的問(wèn)題繼續(xù)用此方法解決, 當(dāng)然這也從某方面回答了為什么要對(duì)一個(gè)問(wèn)題尋找許多不同的解法, 因?yàn)槊恳粋€(gè)解法是一個(gè)看問(wèn)題的不同角度, 不同的方法反映了不同觀點(diǎn)上的不同方法, 也導(dǎo)致某些方法是否使用更廣闊的問(wèn)題, 所謂仁者見(jiàn)仁智者見(jiàn)智.
參考文獻(xiàn)
[1] 王揚(yáng). 若干平面幾何命題向立體幾何的移植.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考1998. (6-7)
[2] 王揚(yáng). 再探平面幾何問(wèn)題向立體幾何中的移植《中學(xué)教研》1999.3
[3] 王揚(yáng). 平面幾何問(wèn)題向立體幾何中的移植新探.蘭州《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》2002.1, p32-35增刊
[4] 鄒黎明. 四面體的費(fèi)爾馬點(diǎn)的四個(gè)定理.《湖南數(shù)學(xué)通訊》,1993. 3, P40研究簡(jiǎn)訊
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