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【第790期】同步教學(xué)篇——一元二次不等式

2022.01.05

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一元二次不等式

一元二次不等式是基礎(chǔ)型不等式，它一方面可以將三個(gè)二次進(jìn)行轉(zhuǎn)化，特別是含參型一元二次不等式更是需要數(shù)形結(jié)合；另一方面它可以變形轉(zhuǎn)化出分式不等式、高次不等式等些復(fù)雜的不等式。對(duì)此在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，一方面要抓住三個(gè)二次的關(guān)系，進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化；另一方面要清楚原理，在分類討論或者應(yīng)用中能夠應(yīng)用自如。

一、一元二次不等式的解法

一元二次不等式求解的基本步驟是求根（判別式），作圖，結(jié)合圖象寫解集。這是一般的求解思路，在具體問題中要按照順序操作，卡在那步就在那步分類討論。特別值得一提的是不等式的邊界值就是對(duì)應(yīng)方程的根。

仔細(xì)體會(huì)以上四道題目，分別從方程根的角度和二次項(xiàng)系數(shù)角度給出了解法，展現(xiàn)了基本題型基本做法。

含參不等式主要是要明確參數(shù)影響到那個(gè)環(huán)節(jié)，依次確立分類標(biāo)準(zhǔn)。(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不確定時(shí)，要分二次項(xiàng)系數(shù)等于零、大于零、小于零三種情況進(jìn)行討論.(2)判別式大于零時(shí)，只需討論兩根大小.(3)判別式不確定時(shí)，要分判別式大于零、等于零、小于零三種情況進(jìn)行討論.

.一元二次不等式解集的端點(diǎn)值就是對(duì)應(yīng)方程的根，一元二次函數(shù)圖象的位置對(duì)應(yīng)了不等式的解集。抓住這點(diǎn)，韋達(dá)定理、數(shù)形結(jié)合就信手拈來。

二、一元二次不等式的應(yīng)用

教材中對(duì)這一點(diǎn)的要求是利用一元二次不等式求解原理解分式不等式和高次不等式，以及求解具有一元二次不等式背景的實(shí)際問題。

這是兩道典型的分式不等式問題，（1）是右側(cè)為零型，可直接等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，只需要排除分母為零情形；（2）是右側(cè)常數(shù)型，經(jīng)常將其移項(xiàng)變形化為（1）的類型，然后求解，其實(shí)不然，此處也可以利用不等式性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即給兩邊同乘分母的平方（排除零即正數(shù)）也可以起到快速化簡(jiǎn)的作用.

簡(jiǎn)單的高次不等式可采用“穿針引線法”求得不等式解集，用此方法時(shí)要注意：(1)最高次項(xiàng)系數(shù)為正；(2)從最大根的右上方依次穿入；(3)若不等式對(duì)應(yīng)方程為重根，此時(shí)應(yīng)注意“奇穿偶不穿”；(4)若不等式的不等號(hào)為“≥”“≤”，則應(yīng)注意不要忘記x取單值的情況.

實(shí)際問題一是要從具體問題中抽取出數(shù)學(xué)模型，二是數(shù)學(xué)模型求解完成后要還原問題現(xiàn)象，即回答實(shí)際問題.

三、綜合問題

以一元二次不等式為背景的綜合問題較多，最常見到的是恒成立和參數(shù)結(jié)合問題.

本題以新定義的方式考察一元二次不等式恒成立問題，先抓住定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后回歸到一元二次不等式問題，利用三個(gè)二次關(guān)系即可順利求解.

本題時(shí)一道相對(duì)較難的題目，主要其含有兩個(gè)參數(shù)，可先對(duì)其中的一個(gè)進(jìn)行討論，減少參數(shù)影響。此外，對(duì)于不合題意的情形可采取特值排除.

本題綜合度高，以含參二次函數(shù)為載體，結(jié)合絕對(duì)值函數(shù)，考察存在任意問題的求解，是一道很能鍛煉能力的試題。

它山之石，可以攻玉！

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