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要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來(lái)確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x) g(x)的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f(a) g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解決，要判斷一個(gè)問(wèn)題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問(wèn)題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。

使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：

第一步，確定所求問(wèn)題含有待定系數(shù)的解析式；

第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決。

如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：

①利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程；

②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；

③利用定義本身的屬性列方程；

④利用幾何條件列方程。

比如在求圓錐曲線的方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。

Ⅰ、再現(xiàn)性題組：

1.   設(shè)f(x)＝ ＋m，f(x)的反函數(shù)f (x)＝nx－5，那么m、n的值依次為_____。

A.  , －2      B. －  ， 2      C.   , 2     D. －  ，－2

2.   二次不等式ax ＋bx＋2>0的解集是(－ , )，則a＋b的值是_____。

A. 10      B. －10     C.  14      D. －14

3.   在(1－x )（1＋x） 的展開(kāi)式中，x 的系數(shù)是_____。

A. －297     B.－252     C.  297     D.  207

4.   函數(shù)y＝a－bcos3x (b<0)的最大值為 ，最小值為－ ，則y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。

5.   與直線L：2x＋3y＋5＝0平行且過(guò)點(diǎn)A(1,-4)的直線L’的方程是_______________。

6.   與雙曲線x － ＝1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)(2,2)的雙曲線的方程是____________。

【簡(jiǎn)解】1小題：由f(x)＝ ＋m求出f (x)＝2x－2m，比較系數(shù)易求，選C；

2小題：由不等式解集(－ , )，可知－ 、 是方程ax ＋bx＋2＝0的兩根，代入兩根，列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，易求得a＋b，選D；

3小題：分析x 的系數(shù)由C 與(－1)C 兩項(xiàng)組成，相加后得x 的系數(shù)，選D；

4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案 ；

5小題：設(shè)直線L’方程2x＋3y＋c＝0，點(diǎn)A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；

6小題：設(shè)雙曲線方程x － ＝λ，點(diǎn)(2,2)代入求得λ＝3，即得方程 － ＝1。

Ⅱ、示范性題組：

例1.   已知函數(shù)y＝ 的最大值為7，最小值為－1，求此函數(shù)式。

【分析】求函數(shù)的表達(dá)式，實(shí)際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實(shí)際是就是已知函數(shù)的值域，對(duì)分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”。

【解】 函數(shù)式變形為： (y－m)x －4 x＋(y－n)＝0， x∈R,  由已知得y－m≠0

∴ △＝(－4 ) －4(y－m)(y－n)≥0  即：  y －(m＋n)y＋(mn－12)≤0  ①

不等式①的解集為(-1,7)，則－1、7是方程y －(m＋n)y＋(mn－12)＝0的兩根，

代入兩根得：   解得： 或  

∴ y＝ 或者y＝

此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y＋1)(y－7)≤0,即y －6y－7≤0，然后與不等式①比較系數(shù)而得： ，解出m、n而求得函數(shù)式y。

【注】 在所求函數(shù)式中有兩個(gè)系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問(wèn)題，得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫(xiě)出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對(duì)一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成一個(gè)一元二次方程。

例2. 設(shè)橢圓中心在(2,-1)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近的端點(diǎn)距離是 － ，求橢圓的方程。

【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問(wèn)題就全部解決了。設(shè)a、b、c后，由已知垂直關(guān)系而聯(lián)想到勾股定理建立一個(gè)方程，再將焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近端點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為a－c的值后列出第二個(gè)方程。

【解】 設(shè)橢圓長(zhǎng)軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF’|＝a

   ∴       解得：   

 ∴ 所求橢圓方程是： ＋ ＝1

也可有垂直關(guān)系推證出等腰Rt△BB’F’后，由其性質(zhì)推證出等腰Rt△B’O’F’，再進(jìn)行如下列式：    ，更容易求出a、b的值。

【注】 圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數(shù)法的生動(dòng)體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件，將其轉(zhuǎn)換成表達(dá)式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關(guān)于a－c的等式。

一般地，解析幾何中求曲線方程的問(wèn)題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程（或幾何數(shù)據(jù)）→幾何條件轉(zhuǎn)換成方程→求解→已知系數(shù)代入。

例3. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·2 ＋2·3 ＋…＋n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。 （89年全國(guó)高考題）

【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在。由已知等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對(duì)所有自然數(shù)n都成立。

【解】假設(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝ (a＋b＋c)；n＝2，得22＝ (4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：

,解得 ，

于是對(duì)n＝1、2、3，等式1·2 ＋2·3 ＋…＋n(n＋1) ＝ (3n ＋11n＋10)成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意自然數(shù)n，該等式都成立：

假設(shè)對(duì)n＝k時(shí)等式成立，即1·2 ＋2·3 ＋…＋k(k＋1) ＝ (3k ＋11k＋10)；

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1·2 ＋2·3 ＋…＋k(k＋1) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ (3k ＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ (k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2) ＝ （3k ＋5k＋12k＋24）＝ [3(k＋1) ＋11(k＋1)＋10]，

也就是說(shuō)，等式對(duì)n＝k＋1也成立。

綜上所述，當(dāng)a＝8、b＝11、c＝10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立。

【注】建立關(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個(gè)特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對(duì)于是否存在性問(wèn)題待定系數(shù)時(shí)，可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進(jìn)行。本題如果記得兩個(gè)特殊數(shù)列1 ＋2 ＋…＋n 、1 ＋2 ＋…＋n 求和的公式，也可以抓住通項(xiàng)的拆開(kāi)，運(yùn)用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n＋1) ＝n ＋2n ＋n得S ＝1·2 ＋2·3 ＋…＋n(n＋1) ＝(1 ＋2 ＋…＋n )＋2(1 ＋2 ＋…＋n )＋(1＋2＋…＋n)＝ ＋2× ＋ ＝ (3n ＋11n＋10)，綜上所述，當(dāng)a＝8、b＝11、c＝10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立。

例4. 有矩形的鐵皮，其長(zhǎng)為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長(zhǎng)為xcm的四個(gè)小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋的矩形盒子，問(wèn)x為何值時(shí)，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？

【分析】實(shí)際問(wèn)題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究。

【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長(zhǎng)為(30－2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為xcm。

∴ 盒子容積 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x  ，

 顯然:15－x>0，7－x>0，x>0。

設(shè)V＝ (15a－ax)(7b－bx)x  (a>0,b>0） 

要使用均值不等式，則

解得：a＝ ， b＝  ， x＝3  。 

從而V＝ ( － )( － x)x≤ ( ) ＝ ×27＝576。

所以當(dāng)x＝3時(shí)，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm 。

【注】均值不等式應(yīng)用時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令V＝ (15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項(xiàng)該進(jìn)行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”。

Ⅲ、鞏固性題組：

1.   函數(shù)y＝log x的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，則a的取值范圍是_____。

A. 2>a> 且a≠1    B. 0<a< 或1<a<2     C.  1<a<2         D.  a>2或0<a<

2.   方程x ＋px＋q＝0與x ＋qx＋p＝0只有一個(gè)公共根，則其余兩個(gè)不同根之和為_____。

A.  1                B.  －1        C.  p＋q      D. 無(wú)法確定

3.   如果函數(shù)y＝sin2x＋a·cos2x的圖像關(guān)于直線x＝－ 對(duì)稱，那么a＝_____。

A.         B. －        C.  1           D. －1

4.   滿足C ＋1·C ＋2·C ＋…＋n·C <500的最大正整數(shù)是_____。

A.  4     B.  5     C.  6      D.  7

5.   無(wú)窮等比數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和為S ＝a－  , 則所有項(xiàng)的和等于_____。

A.  －         B.  1         C.           D.與a有關(guān)

6.   (1＋kx) ＝b ＋b x＋b x ＋…＋b x ，若b ＋b ＋b ＋…＋b ＝－1，則k＝______。

7.   經(jīng)過(guò)兩直線11x－3y－9＝0與12x＋y－19＝0的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3,-2)的直線方程為_____________。

    8. 正三棱錐底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱和底面所成角為60°，過(guò)底面一邊作截面，使其與底面成30°角，則截面面積為______________。

9. 設(shè)y＝f(x)是一次函數(shù)，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比數(shù)列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。

10. 設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(-1,6)和(-1,-2)，對(duì)稱軸與x軸平行，開(kāi)口向右，直線y＝2x＋7和拋物線截得的線段長(zhǎng)是4 , 求拋物線的方程。