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第7章　采　樣

7.1　復(fù)習(xí)筆記

本章重點(diǎn)介紹了采樣和采樣定理，采樣定理在連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)之間起著橋梁作用，采樣在利用離散時(shí)間系統(tǒng)技術(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)并處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)方面有著至關(guān)重要的作用。學(xué)完本章讀者應(yīng)該掌握以下內(nèi)容：

（1）重點(diǎn)掌握采樣的過(guò)程和采樣定理，牢記奈奎斯特采樣頻率。

（2）掌握內(nèi)插的定義及如何利用內(nèi)插由樣本重建信號(hào)。

（3）重點(diǎn)掌握連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間化處理過(guò)程。

（4）了解數(shù)字微分器及其頻率特性。

（5）掌握離散時(shí)間信號(hào)采樣的原理及恢復(fù)原離散時(shí)間信號(hào)的方法。

一、用信號(hào)樣本表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)：采樣定理

1沖激串采樣

（1）沖激串采樣的定義

沖激串采樣是指用一個(gè)周期沖激串p（t）去乘待采樣的連續(xù)時(shí)間信號(hào)x（t）。該周期沖激串p（t）稱為采樣函數(shù)，周期T稱為采樣周期，而p（t）的基波頻率ω＝2π/T稱為采樣頻率。

（2）沖激串采樣過(guò)程（見圖7-1-1）

在時(shí)域中有

x_p（t）＝x（t）p（t）

在頻域中有

即X_p（jω）是頻率ω的周期函數(shù)，它由一組移位的X（jω）的疊加組成，但在幅度上標(biāo)以1/T的變化。

圖7-1-1　沖激串采樣過(guò)程

（3）采樣定理

頻帶寬度有限信號(hào)x（t），在|ω|＞ω_M時(shí)，X（jω）＝0。如果ω_s＞2ω_M，其中ω_s＝2π/T，那么x（t）唯一地由其樣本x（nT），n＝0，±1，±2，…，所確定。其中頻率2ω_M稱為奈奎斯特率。

已知這些樣本值，重建x（t）的辦法：

①產(chǎn)生一個(gè)沖激幅度就是這些依次而來(lái)的樣本值的周期沖激串。

②將該沖激串通過(guò)一個(gè)增益為T，截止頻率大于ω_M而小于ω_s－ω_M的理想低通濾波器，該濾波器的輸出就是x（t）。

2零階保持采樣

（1）零階保持的含義

在一個(gè)給定的瞬時(shí)對(duì)x（t）采樣并保持這一樣本值，直到下一個(gè)樣本被采到為止，利用零階保持采樣的原理圖如圖7-1-2所示。

圖7-1-2　利用零階保持采樣

（2）零階保持采樣的過(guò)程

零階保持的輸出x₀（t）在原理上可以用沖激串采樣，再緊跟著一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)（該系統(tǒng)具有矩形的單位沖激響應(yīng)）來(lái)得到，如圖7-1-3所示。

①用一個(gè)單位沖激響應(yīng)為h_r（t），頻率響應(yīng)為H_r（jω）的線性時(shí)不變系統(tǒng)來(lái)處理x₀（t）。

②給出一個(gè)H_r（jω），以使r（t）＝x（t）。

這就要求

若H_r（jω）的截止頻率等于ω_s/2，則緊跟在一個(gè)零階保持系統(tǒng)后面的重建濾波器的理想模和相位特性如圖7-1-4所示。零階保持輸出本身就被認(rèn)為是一種對(duì)原始信號(hào)的充分近似，用不著附加任何低通濾波。

圖7-1-3　零階保持輸出x₀（t）的原理圖

圖7-1-4　為零階保持采樣重建信號(hào)的重建濾波器的模和相位特性

需要注意以下兩點(diǎn)：①零階保持輸出本身就被認(rèn)為是一種對(duì)原始信號(hào)的充分近似，而不用附加任何低通濾波；②H_r（jω）不可能真正實(shí)現(xiàn)，必須進(jìn)行充分近似設(shè)計(jì)。

二、利用內(nèi)插由樣本重建信號(hào)

內(nèi)插是一個(gè)由樣本值來(lái)重建某一函數(shù)的常用過(guò)程，也就是用一連續(xù)信號(hào)對(duì)某一組樣本值的擬合。

1零階保持

零階保持可以看成在樣本之間進(jìn)行內(nèi)插的一種形式，圖7-1-5是零階保持和理想內(nèi)插濾波器的傳輸函數(shù)。