寫給學(xué)生
第四章 有效提高解題水平的捷徑
第一節(jié) 走走停停
一道題目做出來后，不要如釋重負——可把它拿下來了，趕快做下一道吧。太傻了！
這如同抗日戰(zhàn)爭中一場激烈的戰(zhàn)斗，全殲了被包圍的日寇之后，指揮員馬上吹集合號把隊伍帶走一樣。
因為，抗戰(zhàn)初期我們隊伍裝備很困難，這時，應(yīng)該打掃戰(zhàn)場，收撿敵人的槍支彈藥給養(yǎng)補充自己、壯大自己，好去打新的勝仗。做出一道題目后，也要來打掃戰(zhàn)場。因為，能把一道題目做出來，必定是思考上符合了科學(xué)規(guī)律，當(dāng)然，有些是自覺的，有些是不自覺的，甚至歪打正著——瞎碰出來的。
這時，需要停下來，回首剛剛走過的道路，進行分析、總結(jié)、吸收營養(yǎng)、分析教訓(xùn)，提高了自己以后，以強大一截的自己，投入新的戰(zhàn)斗——做下一道題。當(dāng)然，這個停下來回首的時間，根據(jù)情況，有時多一些，有時短一些，也有時可以是幾道類似的題目之后合并進行。但一定要進行！這就是走走停停。
停一停來回首，回首什么呢？
第二節(jié) 回答的目的是有所發(fā)現(xiàn)，有所發(fā)明，有所創(chuàng)造，有所前進
停下來是為了進行回首，但回首不是目的，回首的目的，是有所發(fā)
現(xiàn)，繼而有所前進。
怎樣的回首，才能起到這種作用呢？
第1 步，看看這道題我是怎么解出來的？完成解法的關(guān)鍵性步驟是
哪些？
第2 步，回憶自己是怎么想出來的？
第3 步，因而，是不是還可以有另外的方法，并一一完成它們；（一
題多解）
第4 步，比較不同的解法，挖掘它們的共同本質(zhì)；（多解歸一）
第5 步，作為第4 步挖掘出來的這“共同本質(zhì)，以前是否總結(jié)過？
如果有，那么，“存檔”，這是普適性的思考方法；如果沒有，也“存
檔”，是“預(yù)備檔”，看看以后它是否又“冒出水面”，若如是，即可
轉(zhuǎn)正，存“正式檔”。（多題歸一）
概括起來，就是一題多解，多解歸一，多題歸一。
第三節(jié) 使“有所發(fā)明”、“有所創(chuàng)造”具體化
我的學(xué)生們說：平面幾何，我們連課本上的題目都沒有弄完（我們數(shù)學(xué)課不留作業(yè)，只是建議同學(xué)們回家后可以看看課本上的習(xí)題，復(fù)習(xí)題，練習(xí)題則免看），練習(xí)冊不買，課下幾乎沒見過課本以外的題目，
但我們手中有孫老師的平面幾何幾個表（12 條規(guī)律，前面提到的證明4條線段成比例的規(guī)律，就是其中規(guī)模較大的一條規(guī)律）、立體幾何10 個表，掌握了這些。無論什么平面幾何題、立體幾何題，就難不倒我們了。同學(xué)們的說法有些夸張。但對于不是怪題、特別難的題目，情況的確如此。這可以從我們在中考、高考、數(shù)學(xué)競賽中的成績看出來。事實上，不僅對于平面幾何、立體幾何，在代數(shù)、解析幾何中，也
是如此。我有時對人說，我這里有4 個“大規(guī)律”、15 個“中規(guī)律”、三四十個“小規(guī)律”，掌握運用嫻熟了，那么，從初一到高三，從代數(shù)到幾何，就沒有不會做的題目了。正因為如此，我們可以根本不進題海，又由于站在系統(tǒng)的高度，站在哲理的高度，運籌帷幄，縱橫馳騁，課程進度也大大加快。初一入學(xué)
后，代數(shù)與幾何同時進行，但每周6 課時不增加，由于我經(jīng)常外出開會，實際每周上不到6 課時，可是用了一年半，就學(xué)完初中數(shù)學(xué)的全部，而且增加了許多內(nèi)容。例如，反證法，需要條件、邏輯、初等數(shù)論某些知
識、平均數(shù)不等式、排列組合，等等。到初三畢業(yè)，則基本學(xué)完高中數(shù)學(xué)（包括代數(shù)、立體幾何、解析幾何），并補充了排序不等式、柯西不等式等及高等數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容。但是，掌握武器的是人。先進的武器，只有在訓(xùn)練有素、勇敢堅強的戰(zhàn)士手中，才有巨大的殺敵作用。我們的解題思考規(guī)律是在一題多解、
多解歸一、多題歸一的實踐中總結(jié)出來的，的確是寶貴的。但它們能在我們班的中考、高考、數(shù)學(xué)競賽中發(fā)揮作用，如本章一開始就寫下的，是更因為我們?nèi)闹铝Φ氖聵I(yè)——造就一個強大的頭腦，取得了進展。
否則，這些條條不能靈活適時地運用，在拿來一道題目的思考中，能起到的作用就很有限了。
自1981 年以來，來自北京各區(qū)縣和全國各地到22 中來聽過我的課的老師，已在1 萬人以上。有好多老師聽完課后，向我要“大規(guī)律、中規(guī)律、小規(guī)律”的表。因為他們在聽課時，看到了令人興奮的生動情景；同學(xué)們表現(xiàn)了很高的解題能力，而他們一個個到黑板上講題時，常常說自己是根據(jù)某某規(guī)律，因而采取了某種構(gòu)思? .我對這些老師說，這些規(guī)律，我們并不保密，但欲讓它們發(fā)揮作用，在我們是經(jīng)歷了很長一個時期的“實踐→認識→再實踐”的過程，并且繼之以“再實踐→再認識→又實踐”。同時，全神致力于提高自己的思維水平，造就一個強大的頭腦，把通過實踐、觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納規(guī)律，
也作為造就一個強大的頭腦的一個方面。同時，我沒有保留地把我們的4 個大規(guī)律告訴他們：
（1）深入進去，弄通情景；
（2）順推分析和逆推分析相結(jié)合；
（3）換個角度看問題，是靈活性的本質(zhì)；
（4）廣義對稱思想。
我發(fā)現(xiàn)，每每這時，他們常常有些失望，因為，這不像所期待的寶葫蘆。對于第（4）條，更有一種惘然的表情__
第四節(jié) 劍在磨礪中鋒利
第五節(jié) 必須追溯其所以然
一些優(yōu)秀的教師或讀物講題時，不但清晰地講明白了解法（或證法）的每一步，還講出了得到這個解法（或證法）的想法醞釀過程，即這個解法是怎么想出來的，我稱它為“所以然”。如果老師（或讀物）只講清楚了解法，而沒有講出怎么想出了這個方法，那么，我們同學(xué)們聽講（或看書）時，一定要追！追出其所以然。可以問老師：“您為什么要往這兒來想？”如果老師回答不出（讀書時，則無老師可問），就自己去想，去分析，把為什么這么想，包括過程中的一些重要轉(zhuǎn)折或步驟，是怎么想出來的，即，為什么要這么去想，都要弄得水落石出，達到這個地步，這道題你才算聽會了，會了這道題，對自己才有價值，自己的解題能力才可以說，有了一點兒發(fā)展。否則，這道題會做了，再換一道呢？又得請人講或者看書上寫的解
法了，因為，自己不會想。教師不能這樣講課，學(xué)生也不能這樣聽講。同時，希望說清楚，“要講出其然，更講出所以然”，特別是其中的一個方面，老師自己的誤走麥城，是學(xué)生的寶貴財富。我們班不留筆頭數(shù)學(xué)作業(yè)，只少量留些題目讓大家思考，但思考一定要是“更知其所以然”的。我們的數(shù)學(xué)課堂上講題，無論是老師還是學(xué)生，一定要“講出其所以然”。開始時，就像前面寫的那樣細致，這是剛?cè)氤跻粫r，但隨著同學(xué)們頭腦強大起來，水平提高起來，表達“其然”也好，表達“其所以然”也好，都要簡練得多了，而且，愈來愈快，愈來愈精煉，迫使每個同學(xué)的思考高速運轉(zhuǎn)，日復(fù)一日，年復(fù)一年，習(xí)以為常了，是一個強大的頭
腦日臻于成熟的又一個標志。追求“所以然”，可以揭露學(xué)生學(xué)習(xí)中許多模模糊糊的觀念；反之，
卻造成學(xué)生觀念上的似是而非。當(dāng)然，這個“所以然”，要追溯到我們總結(jié)出的解題思考規(guī)律上，
才能打住。
第六節(jié) 強調(diào)兩個方法
一、圖形的方法
在中學(xué)數(shù)學(xué)里，數(shù)形結(jié)合，是非常重要的，它幫助我們形象直觀地理解概念、性質(zhì)等等，這里通常指解析幾何里的方程的曲線，或代數(shù)里函數(shù)的圖像。
但我在這里提出的“圖形的方法”是另外的意思，是對一些并沒有前面所述的原本數(shù)學(xué)中就規(guī)定有圖像或曲線的代數(shù)問題，甚至是解題的思考過程，圖形化，形象化，生動化，出現(xiàn)逼真的情景，春風(fēng)化雨，使
題目顯而易見的化難為易，得到解決。
2．舉一反三，引伸發(fā)展
要浮想聯(lián)翩，恣意馳騁。這是本書的反復(fù)強調(diào)特別在第二篇第一章“時時注意尋找知識之間的聯(lián)系和規(guī)律”中著意闡述的。但這里所講“舉一反三，引伸發(fā)展”，是從解題做作業(yè)的角度提出的。
第五章 一些具體的做法
前面寫過關(guān)于一分為二的觀點，它有這樣一層意思，任何事物都不是絕對的，而是用對的，有條件的。
談到具體的做法時，請同學(xué)們注意這一點但這并不意味著，怎么做都是好的，措施可以不同，但精神和原則，又要是一致的。
第一節(jié) 中學(xué)時代需要高層次的體育和藝術(shù)修養(yǎng)
第二節(jié) 高層次的業(yè)余生活
第三節(jié) 科學(xué)安排日程
1．要抓緊時間。但不能違背科學(xué)。比如，把午飯后的時間都用上了，久而久之，不僅影響了腸胃健康，而且易產(chǎn)生疲勞，下午學(xué)習(xí)都學(xué)不好。再如，有人說自己越是夜深腦子越清醒，但是一個人的生物鐘有高峰，也有低谷，養(yǎng)成了夜里清醒的規(guī)律，白天聽課、考試處于了低谷，得乎？失乎？有人要求自己，困難面前不低頭，難題面前不退讓。乃至，頭懸梁，錐刺股，也要拿下它來。對不對呢？精神上是對的，但做法上值得商榷。因為艱苦用腦一段時間后，略事休息才好，特別是一道題目久攻不克，休息一會兒，有利于從生理心理上換個角度去思考。
晚飯宜在6 點左右進行，一天的學(xué)習(xí)、鍛煉，使得5 點半以后，學(xué)習(xí)已無效果可言，如果晚飯推遲，飯前學(xué)習(xí)沒有效益，又擠縮了晚自習(xí)的時間。有的同學(xué)晚上是睡一覺以后再學(xué)習(xí)，這更不好，因為，每次睡覺的前后各有一段時間半睡半醒，如果把該睡的覺拆成兩段，那么，半睡半醒的時間增加1 倍，不智。
2．合理安排課外閱讀。這里是指課本、參考書以外的讀物。對于豐富、完善自己的人生，這種閱讀是必要的。正是為了這個目的。它們應(yīng)該是有選擇的。并且不占太多時間，不影響其他方面的安排。
3．養(yǎng)成訂計劃的習(xí)慣。
會訂計劃，善于安排日程，對于人一生的事業(yè)成功，都是寶貴的。中學(xué)時代就養(yǎng)成訂計劃的習(xí)慣，將為此打下基礎(chǔ)。訂學(xué)期計劃、月計劃、每日作息安排，然后堅決執(zhí)行，并定期修正，使同樣的中學(xué)6 年，得到不一般的收獲。各地、各校、各人的不同情況，作息時間的細節(jié)會有所區(qū)別。但在有一個細節(jié)上，我堅決主張應(yīng)當(dāng)一律相同，那就是保證每天有充足的睡眠。一方面，這是青少年正常發(fā)育的需要；另一方面，睡夠了覺，頭腦清醒，思維清楚，才有好的學(xué)習(xí)質(zhì)量。我十分反對在學(xué)習(xí)上提倡“頭懸梁，錐刺股”。已經(jīng)昏昏欲睡了，強制興奮可以使他無法入睡，也同樣會使他大腦一片空白。我們班的實踐表明，充足的睡眠，是同學(xué)們?nèi)〉脙?yōu)異成績的不可或缺的重要因素。
第四節(jié) 我反對“背”
把本書讀到這里，同學(xué)們大概都會同意我的觀點，即，知識是系統(tǒng)中的知識；一切公式、定理、定義都有它的道理，有時還那樣令人興奮；學(xué)習(xí)知識，不能死記硬背，應(yīng)該在理解中特別是“自己動手”去理解它們，這樣，在不知不覺中，就記到了心上。有人說，那是理科。文科則需要背，政治不背怎么行？全國32 個省市自治區(qū)的名稱還能理解？外語單詞不背怎么行？等等。大謬。
政治是一門科學(xué)，而一些人卻把它看做教條，所以，不背怎么行？越如此，越教條，越枯燥，越學(xué)不進去了，把多么好的一門政治課，給背可惜了。
外語單詞的掌握，用多側(cè)面的剖析、聯(lián)系、比較，本書前面舉過外來語側(cè)面、詞根側(cè)面兩個例子，還有一些側(cè)面，多管齊下，記憶單詞不是難事，但不是“背”單詞。
省、市、自治區(qū)的名稱還能理解？當(dāng)然能，這在本書前面，曾舉過
這上面的一、二個例子。
如果有人考我32 個省、市、自治區(qū)的名稱，我現(xiàn)在開始默寫：
黑、吉、遼、冀、魯、蘇、浙、閩、粵、瓊、桂、贛、皖、豫、晉、內(nèi)蒙、陜、鄂、湘、黔、川、甘、寧夏、新疆、青海、藏、滇、京、津、滬、渝、臺灣。
看看腕上的手表，用了1 分55 秒，并且沒有遺漏，沒有重復(fù)。
何以能如此，我腦中，先浮現(xiàn)了一幅地圖，直轄市和臺灣好寫，放到最后，然后從東北角開始，從上（北）到下（南），一條一條的蛇行前進，很快就寫完了它們的名稱。
唔，這不是圖形的方法嗎？
但另一個例子，則可能是排序的方法了，
再一個呢？??
我吁請同學(xué)們從“背”的桎梏中解放自己吧，世界本來是那么廣闊，
那么美好。
第五節(jié) 學(xué)會復(fù)習(xí)
一、復(fù)習(xí)了3 遍和剛復(fù)習(xí)1 遍
一位同學(xué)復(fù)習(xí)3 遍了，另一位同學(xué)剛復(fù)習(xí)1 遍，如果他倆其他基本
條件相同，誰的效果好一些呢？
不好說。
這要看，這3 遍是怎樣的3 遍，而這1 遍又是怎樣的1 遍了。
很多同學(xué)這樣進行復(fù)習(xí)（特別是期中和期末），一上來就打開書、
筆記或以前做過的卷子，從頭看起，發(fā)現(xiàn)好多東西都眼熟，越看越高興，
很快就復(fù)習(xí)完了一遍。合上書或筆記本以后，感覺很多東西又記不清了。
于是，照樣再來一遍。而后，又來一遍，仔細回憶一下，跟復(fù)習(xí)前
的變化不大。
如果用這樣的方式花一天的時間復(fù)習(xí)3 遍，不如用下面的方式也花
一天的時間只復(fù)習(xí)1 遍。
那就是，把書（筆記、以前的卷子）合上，先進行回憶，一面回憶，
一面在一張紙上勾畫一下輪廓、要點、結(jié)構(gòu)等等，有模糊的地方，也不
打開書，而是竭盡全力，直想到山窮水盡。最后才打開書（筆記、以前
的卷子）。
打開后，對照一下，回憶中完全正確的部分，不必再花費時間了，
因為那些已經(jīng)在自己腦子里站住了，又經(jīng)這次默憶，就生了根了；對于
似是而非或完全忘記了的知識或題目的解法，則集中時間和精力，去分
析遺忘的原因，改弦更張，把它們攻克。
一天的時間和精力，都集中到僅僅幾處，當(dāng)然效果切實。而這種方
式又使過去學(xué)會的部分，用剛才的話來說——生根了。
二、總復(fù)習(xí)、階段性復(fù)習(xí)都要有
三、千萬別干“突一突”的蠢事
幾次重大考試例如中考、高考前，常聽一些家長或老師要求學(xué)生，
在最后兩個月（一般是模擬考試后）全力拼搏，再突一突，甚至有具體
指標——“總分再長××分，達到×××學(xué)校”。
講這些話，實在有些外行。
其一，幾年都沒學(xué)好，就憑最后兩個月，就能突上去了？這違背科
學(xué)，而且這最后的兩個月中，又要報名、體檢、畢業(yè)典禮、照像、領(lǐng)準
考證、看考場，能靜心學(xué)習(xí)的時間有1 個月就不錯了，怎么可能把幾年
沒學(xué)好的功課一下子“突”上去。
把某幾個方面“突”上去，也不是一點兒可能都沒有，若花下大的
力氣，果真在這里突上去了，還不知別的地方要掉下多少，得不償失。
這里的“突一突”，不少人常是指那些要“背”的科目，是指“政
治”、“語文”、“歷史”。
而且還有“理論”根據(jù)：數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)這些功課非一日之功，
最后一兩個月想提也提不上去了，于是“背”政治吧，“驚天地泣鬼神”
地一通“背”，趁熱乎勁，倒能拿些“分”，而“背”早了也沒用，到
考試時就忘了。
殊不知，數(shù)、理、化的確非一日之功，最后一、兩個月長不出多少
成績，但把一、兩個星期的時間扔到一邊，成績肯定要滑下不知多少呢！
解決好這個問題，我的建議是：
無論數(shù)、理、化，還是語文、政治、歷史等等，外語更是如此，一
定要在平時每天學(xué)好，不要產(chǎn)生下意識寄希望于考前“突”。特別是_政
治，平時學(xué)習(xí)，就要深入地學(xué)好這門科學(xué)。
在考前兩個月的總復(fù)習(xí)中，不要集中時間一門一門地復(fù)習(xí)，而要和
課表上安排配合，在每兩天中，每門功課都接觸一次。學(xué)校停課后自己
回家復(fù)習(xí)時，也要這樣。
而這一階段最重要的，是確立兩個目標，或者說任務(wù)吧，那就是：
（1）通過從容地回顧、條理、系統(tǒng)化，使那幾年內(nèi)學(xué)過的知識，在
自己的腦海里，全面回潮；
（2）讓自己的體力、精力、心理、精神越來越好，造成強烈的求戰(zhàn)
欲，摩拳擦掌，躍躍欲試。
現(xiàn)在把本書開頭提到的1999 年6 月10 日那天大會上，劉婷同學(xué)和
陳碩同學(xué)的發(fā)言轉(zhuǎn)載在下面，作為一個側(cè)面的小結(jié)，劉婷同學(xué)現(xiàn)在在清
華大學(xué)計算機系，獲獎學(xué)金，陳碩同學(xué)在清華大學(xué)電子系，剛進校，就
獲得獎學(xué)金。他們發(fā)言是談我的教學(xué)方法，但同時反映了作為一名學(xué)生
如何學(xué)習(xí)的領(lǐng)會。
談孫維剛老師教學(xué)特點
學(xué)生 劉婷
孫老師是我的恩師，跟孫老師學(xué)了8 年，我學(xué)了許多東西，特別是
他獨特的教學(xué)方式，使我體味到教學(xué)也是一門藝術(shù)，它并不亞于音樂、
繪畫、雕刻，它塑造的對象就是我們——每一個學(xué)生?！鞍巡宦斆鞯淖?/p>
聰明，讓聰明的更聰明?！睂O老師經(jīng)常這樣說，通過他的教學(xué)實踐，也
真正實現(xiàn)了這一點。
很難說在一篇短短的文章中概括出孫老師的教學(xué)特色，只能談幾點
我的親身感受。俗話說，站得高方能看得遠。學(xué)習(xí)是這樣，教學(xué)更是如
此。孫老師并不單純著眼于傳授知識或是培養(yǎng)能力，而更注重提高人的
素質(zhì)，說白了就是造就我們強大的大腦。
我還清楚地記得孫老師在奧校給我們上的第一堂課。說是講數(shù)學(xué)，
可是他一道具體題目也沒講，而是從什么是數(shù)學(xué)談起，談到歷史、物理、
天文??一會兒風(fēng)趣地給我們講人的鼻孔為什么朝下而不向上，一會兒
又講到六、七十年代柬埔寨朗諾叛變；從吟詠的詩句“忽如一夜春風(fēng)來，
千樹萬樹梨花開”到贊嘆門捷列耶夫?qū)ξ窗l(fā)現(xiàn)元素的驚人預(yù)見力。思維
跨越千山萬水，跨越時空。這些看起來毫無關(guān)聯(lián)的事情，都被孫老師自
然地聯(lián)系在一起。孫老師說：“聰明的第一個表現(xiàn)就是思潮如涌。讓你
的思維活躍地跳動，見到問題不斷追根問底，當(dāng)一個個為什么解決之后，
事情就明朗了，人也就變得聰明起來了。學(xué)習(xí)也是一樣，聰明的人不會
照搬死記一個個公式、概念，而是八方聯(lián)系，浮想聯(lián)翩，這樣才能讓死
的公式變得鮮活生動起來，才能把紛繁雜亂的知識聯(lián)系樹立起來，使書
在越念越厚之后變得越來越薄，最后回頭想想，所學(xué)的那么多東西，只
不過玩弄于股掌之中的一些小玩意罷了。”
孫老師十分注重培養(yǎng)我們用哲學(xué)思想去指導(dǎo)學(xué)習(xí)。如對稱思想，矛
盾對立統(tǒng)一，量變到質(zhì)變等都是非常重要的思想。記得還在上初中時，
一次孫老師順手在黑板上寫了個公式，（a＋b）3=a3＋3a2b－3ab2＋b3 他
邊回身邊問我們能不能記住這個公式，我說：“能?！睂O老師搖搖頭說：
“你應(yīng)該說這個公式一定寫錯了。因為在公式左端a 和b 是平等的，而
在展開式中a 和b 不平等了，那么他一定錯誤的，這就是對稱思想”。
當(dāng)然這個例子太小了，對稱的意思是相當(dāng)深刻，廣泛的。對稱就是和諧，
是美，是一切事物都在他該在的地方。有了這種思想，才有了元素周期
律表，才能預(yù)見、判斷很多問題的結(jié)果。作為學(xué)生我們不可能很深刻地
理解他，但僅運用它的皮毛我們就可以用一個上午學(xué)習(xí)并掌握三角函數(shù)
118 個公式，這是大部分學(xué)校一個月要講的功課，可見用哲學(xué)思想指導(dǎo)的
威力。
孫老師從不搞題海戰(zhàn)術(shù)，他指導(dǎo)我們做題的思想是：弄通情景，題
不求多，但求精彩。做到一題多解，多解歸一，多題歸一，有所發(fā)現(xiàn)。
孫老師經(jīng)常在黑板上寫一道精彩的題目，然后帶著我們弄通情景，將題
目分析得“體無完膚”，然后解法就順理成章地形成了。同時他還鼓勵
有不同解法的同學(xué)上黑板講他們的解法，最關(guān)鍵的是要講出他們是如何
弄通情景的。然后我們一起分析不同方法異曲同工的地方在哪里，是否
還可推廣。有時孫老師會毫不吝惜地拿出好幾堂課時間來分析一道題目。
看似浪費時間，實際上將這一道題吃透了比盲目地做上幾十道題目更有
意義。
我認為孫老師的教學(xué)指導(dǎo)思想和方法是先進的，是教學(xué)發(fā)展的方向。
這一點在我上了清華大學(xué)后更深有體會。將來21 世紀國際間的競爭歸根
結(jié)底是人才的競爭。而高素質(zhì)的人才需要的創(chuàng)新精神，不是簡單重復(fù)前
人的工作。應(yīng)試教育是無法培養(yǎng)出人才的，他無異于對年輕人才智的扼
殺。而靠題海戰(zhàn)術(shù)得高分的同學(xué)上了大學(xué)就會發(fā)現(xiàn)過去這套學(xué)習(xí)方法再
也不能適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)。因為你再也沒有時間去靠“熟”來生巧了。因
此，我希望更多的中學(xué)生從題海里跳出來，站得更高一點，眼界放長遠
一點，選擇一種先進的學(xué)習(xí)方法去學(xué)習(xí)，把自己的才華發(fā)揮得淋漓盡致。
1999．6．10__
使我終生受益的數(shù)學(xué)課
學(xué)生 陳碩
孫老師的課與眾不同，不但教授知識，更重要的是講授方法——解
題和思維的方法，這些方法不僅適用于數(shù)學(xué)，對其他學(xué)科也大有裨益。
他的最大特點就是舉一反三，觸類旁通，注重知識間的聯(lián)系，學(xué)科間的
交織。
孫老師的第一節(jié)課給我留下了深刻的印象。他一動不動的站在講臺
上問大家，“我是靜止的？”我舉手回答：“您是靜止的，但是您的心
在跳動?！睙o知的我還在心里沾沾自喜，殊不知我的回答引起了全班的
哄堂大笑——大家都明白他為什么問這個問題，而我卻不知道。孫老師
沒有笑，更沒有指責(zé)，他把問題嚴謹了，“好，現(xiàn)在不說我了，我們來
看這支粉筆?！闭f著，他把粉筆穩(wěn)穩(wěn)地立在面前，“你說它是靜止的嗎？”
“不能這么講，因為地球還在轉(zhuǎn)動”我回答說。對于五年級的我來說，
能想到這一層已經(jīng)很不錯了。但是孫老師隨后的講解使我明白了運動和
靜止是相對的，是要對一個特定的參考物而言。孫老師通過這個例子，
告訴我們，要多角度看問題，不要拘泥于一點，只有經(jīng)常改變觀察點，
才能把問題看清楚，看全面，才能使問題迎刃而解。換個角度看問題是
孫老師最得意的“動的思想”中很重要的一部分。
在這堂課上，還有一道很經(jīng)典的題目：共有12 個形狀和大小都一樣
的球，其中有一壞球重量與其他不同，要求天平稱三次把它找出來。看
似簡單的一道題，卻著實難壞了我們?！耙侵缐那蚴禽^重還是較輕
就好了?！薄笆茄?，就差一點了。”大家紛紛議論。只差這最后一步，
可就是不能成功，絞盡了腦汁、還是沒有思路。這時孫老師啟發(fā)我們“不
知道輕重，又要把它找出來，就得充分利用每一次機會，爭取既縮小范
圍又判斷輕重”。這種一箭雙雕的想法給了我們很大的啟發(fā)，很快大家
紛紛找到了不同的解法。孫老師讓每個人輪流到黑板上講解自己的方法，
大家互相取長補短。在以后的教學(xué)中，他也是這么做的。任何一個問題
都是由我們自己來解決，在課堂上同學(xué)們互相交流，孫老師要求我們不
僅要講清楚解法、一定要講出來是怎么想出來的，即思路是什么。他經(jīng)
常強調(diào)，沒有思路的解法是瞎蒙的，對于其他問題毫無用處。在講課的
時候，孫老師總是把他解題的每一步思考過程展現(xiàn)出來，讓我們了解他
每一步的想法，看到哪里“碰壁”了，在哪里有了突破，由此我們知道
每一個新穎的解法的完成都是自然而然、順理成章的，決不是碰巧湊出
來的。
有許多數(shù)學(xué)題的解法不只一種，他總是提倡一題多解，鼓勵同學(xué)們
提出不同的方法，有時一道題的方法竟多達七八種，分別從不同的角度
入手，面貌迥異。每逢此時，孫老師又給我們提出新的課題，讓我們找
到各種解法之間的聯(lián)系，直到我們發(fā)現(xiàn)它們共同的本質(zhì)，完成多解歸一
的過程。
面對許多中學(xué)教師題海戰(zhàn)術(shù)式的教學(xué)方法，孫老師走出了他自己的
一條新路。他總是說；做題不在多，而在于把每一道題都做透徹，一般
的步驟應(yīng)當(dāng)是：一題多解。多解歸一多題一解，多題歸一。上面我們已
經(jīng)看到了一題多解和多解歸一，那什么叫多題一解呢？不同的題有一個
解法嗎？當(dāng)然不是。在一題多解的過程中，我們看到，許多題目有著一
種或幾種本質(zhì)上相同或相似的方法，也可能是其中的某些步驟有著共同
的特點。在充分剖析之后，就形成了某些固定的思路和技巧，并把它們
增添到我們的“武器庫”中，這樣多題一解和多題歸一也就不難理解了。
這樣的小技巧有許多，尤其是在解決平面幾何問題的時候，孫老師
經(jīng)過多年的潛心研究，總結(jié)了一套解題的規(guī)律，他稱之為“表”，共有
12 個左右，囊括了平面幾何中的幾乎全部方面：三角形、四邊形、圓、
全等、相似等等。有了這些小規(guī)律，再加之正確的思考方法，中考難度
的幾何題已不在話下。我們平時的學(xué)習(xí)中，也常常能發(fā)現(xiàn)新的技巧，為
我們的“武器庫”不斷增添新的成員。班里的每個人都會毫無保留地把
自己解題的心得奉獻出來，與大家充分交流，這樣同學(xué)在一起互相“傳
染”聰明，共同提高。孫老師也從不拒絕每一個新的方法，哪怕十分繁
瑣，我們總能從中吸取有益的東西，不斷豐富自己。他還常常想出一些
打趣的話來幫助我們記憶冗長復(fù)雜的公式：在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時，課本上
的加上老師補充的公式一共有130 多個，要熟記它們并非易事。孫老師
教給我們一些口訣，如“正弦喜歡花，余弦喜歡素”，等等，使我們很
容易的記住這130 多個公式。
孫老師十分注重培養(yǎng)同學(xué)們的邏輯思維能力，常常把一些題目的敘
述過程寫下來，我們從中領(lǐng)略到它的技巧安排和嚴密結(jié)構(gòu)，受益匪淺。
從師近8 年，收獲最大的是想問題的方法，作學(xué)問的方法，它們不
僅適用于數(shù)學(xué)，其他學(xué)科也毫無例外。孫老師總是站在哲理的高度看問
題、找到統(tǒng)領(lǐng)一切的精髓?！耙环譃槎笔恰皠拥乃枷搿钡木A，他時
常教導(dǎo)我們要全面的看問題，不僅要看到好的一面，也要看到不好的一
面?！斑@不是天平，各占50％，而是輕重有別?！边@正是我們哲學(xué)課講
到的矛盾和矛盾的主要方面。“一分為二”的思想使我們能夠更加全面
地看待每一個問題，讓我受益終生。
每當(dāng)學(xué)習(xí)一項新的內(nèi)容時，孫老師總能不斷聯(lián)系以前學(xué)過的知識，
提示我們自己提出新的定理和公式，并讓我們自己想出證明方法。有時
候，同學(xué)幾乎成了課堂的主角，孫老師只是在一旁作插話?！鞍研聠栴}
歸結(jié)到舊知識的基礎(chǔ)上”不僅用在解題和學(xué)習(xí)新課程時，在研究一些較
復(fù)雜的課題時也是十分重要的思考方法，這符合人們認識客觀事物的基
本過程。
更重要的是，孫老師倡導(dǎo)在課堂上超前思維，向老師挑戰(zhàn)。這使我
們在學(xué)習(xí)時處于主動地位，而不是被動地成為學(xué)習(xí)的奴隸。“向老師挑
戰(zhàn)”，可能不為一般人理解，學(xué)生如何敢向老師發(fā)難？但是，在我們班，
老師和學(xué)生是平等的，孫老師十分歡迎同學(xué)給他挑錯，有時甚至故意弄
出些錯誤看我們是否能夠找到，這不僅給我們提供了鍛煉的機會。也用
以檢驗我們聽講的效果。他讓我們不要迷信權(quán)威，不要迷信課本，找出
課本里的一些不合理的地方，甚至是疏漏或錯誤。
“世界上沒有沒有為什么的事”這也是孫老師常掛在嘴邊的一句話。
“為什么全等記號和相似記號相差一個等于號？”“為什么把‘角角邊’
定理簡寫作‘AAS’？“為什么用左右顛倒的字母‘E’來表示‘存在’，
用上下顛倒的字母‘A’來表示任意？”等等。每件事都想想為什么，在
解決這些問題的過程中不斷積累經(jīng)驗，學(xué)到更多新的知識。
孫老師的講課最吸引人的地方要數(shù)他廣闊的聯(lián)想，從東周列國講到
解放戰(zhàn)爭，從拿破侖講到斯大林，從尼克松訪華講到雅各賓派專政，無
一不顯現(xiàn)他淵博的知識和敏銳的頭腦、這些看似和數(shù)學(xué)毫不相干，其實
它們和數(shù)學(xué)和其他學(xué)科都有著深刻的聯(lián)系，可謂同出一轍。學(xué)科間本無
明顯界限，它們總是互相交織，互相滲透，只有掌握其中的規(guī)律才能把
握內(nèi)在的靈魂，做到知識越學(xué)越少，真正的從必然王國邁入自由王國。
1999 年6 月 于清華園
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