前言 PREFACE
姜姜老師 專注初中數(shù)學(xué)壓軸
定時(shí)更新最干貨的初中數(shù)學(xué)壓軸題型講解。如需要本堂內(nèi)容的word電子版本，請(qǐng)?zhí)砑游⑿牛篞GCZSXYZ（全國(guó)初中數(shù)學(xué)壓軸）
河南中考數(shù)學(xué)作為統(tǒng)考的大省，也是中考人數(shù)最多的省份，競(jìng)爭(zhēng)非常的激烈，相交于全國(guó)中考數(shù)學(xué)而言，河南的中考數(shù)學(xué)在選填壓軸的線段求解過(guò)程中還是很有深度，包括線段求解，折疊為背景下的分類討論，這個(gè)過(guò)程中需要運(yùn)用的幾何工具非常的重要，大家可以好好研究這幾道題目，也是在全國(guó)引用非常高的題目。
實(shí)操真題講解
1、（2020·河南）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)度為 1 ．
【分析】
方法一：連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD＝CF＝√2，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．
方法二：設(shè)DF，CE交于O，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到BE＝CF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根據(jù)勾股定理得到CE＝DF＝√(2√2)2+√(√2)2＝√10，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【解答】
解：方法一：連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2√2，
∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴AE＝CF＝1/2×2√2＝√2，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
PD＝CF＝√2，
∴AP＝AD﹣PD＝√2，
∴PE＝√AP2+√AE2＝√(√2)2+√(√2)2＝2，
∵點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，
∴GH＝1/2EP＝1；
方法二：設(shè)DF，CE交于O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF＝√(2√2)2+√(√2)2＝√10，
∵點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，
∴CG＝FH＝√10/2，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠FCO＝∠CDO，
∵∠DCF＝∠COF＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴CF/DF＝OF/CF，
∴CF2＝OF·DF，
∴OF＝CF2/DF＝(√2)2/√10＝√10/5，
∴OH＝3√10/10，OD＝4√10/5，
∵∠COF＝∠COD＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴OF/OC=OC/OD，
∴OC2＝OF·OD，
∴OC＝√(√10/5)×√(4√10/5)＝2√10/5，
∴OG＝CG﹣OC＝√10/2﹣2√10/5＝√10/10，
∴HG＝√OG2+√OH2＝√(1/10)+√(9/10)＝1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了射影定理，勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
2．（2019·河南）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3/5a，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝a．連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為 3/5或 √5/3．
【分析】
分兩種情況：①點(diǎn)B′落在AD邊上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得AB＝BE，即可求出a的值；②點(diǎn)B′落在CD邊上，證明△ADB′∽△B′CE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出a的值．
【解答】
解：分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如圖1．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在AD邊上，
∴∠BAE＝∠B′ AE＝1/2∠BAD＝45°，
∴AB＝BE，
∴3/5a＝1，
∴a＝3/5；
②當(dāng)點(diǎn)B′落在CD邊上時(shí)，如圖2．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．
∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在CD邊上，
∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，
EB＝EB′＝3/5a，
∴DB′＝√B′A2-√AD2＝√(1-a2)，
EC＝BC﹣BE＝a﹣3/5a＝2/5a．
在△ADB′與△B′CE中，
∠B′AD=∠EB′C=90°-∠AB′D，
∴△ADB′∽△B′CE，
∴DB`/CE=AB`/B`E
即√(1-a2)/(2/5a)=1/(3/5a)
解得a1＝√5/3，a2＝-√5/3（舍去）．
綜上，所求a的值為5/3或√5/3．
故答案為5/3或√5/3．
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．進(jìn)行分類討論與數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
3．（2018·河南）如圖，∠MAN＝90°，點(diǎn)C在邊AM上，AC＝4，點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交A′B所在直線于點(diǎn)F，連接A′E．當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，AB的長(zhǎng)為4√3或4?。?/span>
【分析】
當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：
①當(dāng)∠A'EF＝90°時(shí)，如圖1，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和平行線可得：A'C＝A'E＝4，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：BC＝2A'B＝8，最后利用勾股定理可得AB的長(zhǎng)；
②當(dāng)∠A'FE＝90°時(shí)，如圖2，證明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．
【解答】
解：當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：
①當(dāng)∠A'EF＝90°時(shí)，如圖1，
∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，
∴A'C＝AC＝4，∠ACB＝∠A'CB，
∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，
∴D、E是△ABC的中位線，
∴DE∥AB，
∴∠CDE＝∠MAN＝90°，
∴∠CDE＝∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB＝∠A'EC，
∴∠A'CB＝∠A'EC，
∴A'C＝A'E＝4，
Rt△A'CB中，∵E是斜邊BC的中點(diǎn)，
∴BC＝2A'E＝8，
由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，
∴AB＝√82-√42＝4√3；
②當(dāng)∠A'FE＝90°時(shí)，如圖2，
∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，
∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝4；
綜上所述，AB的長(zhǎng)為4√3或4；
故答案為：4√3或4；
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并利用分類討論的思想解決問(wèn)題．
4．（2018·河南）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，△A′EF與△AEF關(guān)于EF所在直線對(duì)稱，連接AC，分別交EA′、EF于點(diǎn)M、N，AB＝2，AD＝2．若△EMN與△AEF相似，則AF的長(zhǎng)為 1或3?。?/span>
【分析】（分兩種情形①當(dāng)EM⊥AC時(shí)，△EMN∽△EAF．②當(dāng)EN⊥AC時(shí)，△ENM∽△EAF，分別求解．
【解答】
解：①當(dāng)EM⊥AC時(shí)，△EMN∽△EAF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴tan∠CAB＝BC/AB=√3/3
∴∠CAB＝30°，
∴∠AEM＝60°，
∴∠AEF＝30°，
∴AF＝AE·tan30°＝√3·√3/3=1
②當(dāng)EN⊥AC時(shí)，△ENM∽△EAF，
可得AF＝AE·tan60°＝3，
故答案為1或3．
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
5．（2017·河南）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝+1，點(diǎn)M，N分別是邊BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的直線折疊∠B，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′始終落在邊AC上，若△MB′C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為1/2√2或1
【分析】
①如圖1，當(dāng)∠B′MC＝90°，B′與A重合，M是BC的中點(diǎn)，于是得到結(jié)論；②如圖2，當(dāng)∠MB′C＝90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM＝√2MB′，列方程即可得到結(jié)論．
【解答】
解：①如圖1，
當(dāng)∠B′MC＝90°，B′與A重合，M是BC的中點(diǎn)，
∴BM＝1/2BC＝1/2√2+1/2；
②如圖2，
當(dāng)∠MB′C＝90°，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴CM＝√2MB′，
∵沿MN所在的直線折疊∠B，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′，
∴BM＝B′M，
∴CM＝√2BM，
∵BC＝√2+1，
∴CM+BM＝√2BM+BM＝√2+1，
∴BM＝1，
綜上所述，若△MB′C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為1/2√2+1/2或1，
故答案為：1/2√2+1/2或1.
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了翻折變換﹣折疊問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
6．（2017·河南）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝2cm，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AB上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），若點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在等邊三角形ABC的邊上，則BN的長(zhǎng)為√3/2或√3cm．
【分析】
①如圖1，當(dāng)∠B′MC＝90°，B′與A重合，M是BC的中點(diǎn)，于是得到結(jié)論；②如圖2，當(dāng)∠MB′C＝90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM＝√2MB′，列方程即可得到結(jié)論．
【分析】
如圖1，當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時(shí)，于是得到MN⊥AB，BN＝BN′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到＝AC＝BC，∠ABC＝60°，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到BN＝1/2BM＝√3/2，如圖2，當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在等邊三角形ABC的邊A，C上時(shí)，則MN⊥BB′，四邊形BMB′N是菱形，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義即可得到結(jié)論．
【解答】
解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時(shí)，
則MN⊥AB，BN＝BN′，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°，
∵點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，
∴BM＝1/2BC＝1/2AB＝√3，
∴BN＝1/2BM＝√3/2，
如圖2，當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在等邊三角形ABC的邊A，C上時(shí)，
則MN⊥BB′，四邊形BMB′N是菱形，
∵∠ABC＝60°，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，
∴BN＝BM＝1/2BC＝1/2AB＝√3，
故答案為：√3/2或√3．
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
7．（2016·河南）如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，點(diǎn)E為射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，過(guò)點(diǎn)B′作AD的垂線，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．當(dāng)點(diǎn)B′為線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，BE的長(zhǎng)為 3√2/2或3√5/5?。?/p>
【分析】
根據(jù)勾股定理，可得EB′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得EN的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，可得答案．
【解答】
解：如圖，
由翻折的性質(zhì)，得
AB＝AB′，BE＝B′E．
①當(dāng)MB′＝2，B′N＝1時(shí)，設(shè)EN＝x，得
B′E＝√(x2+1)．
△B′EN∽△AB′M，
EN/B`M=B`E/AB`,即x/2=√(x2+1)/3
x2=4/5
BE=B`E=√(4/5+1)=3√5/5
②當(dāng)MB′＝1，B′N＝2時(shí)，設(shè)EN＝x，得
B′E＝√(x2+22)，
△B′EN∽△AB′M，
EN/B`M=B`E/AB`,即x/1=√(x2+4)/3
解得x2＝1/2，BE＝B′E＝√(1/2+4)＝3√2/2，
故答案為：3√2/2或3√5/5．
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了翻折的性質(zhì)，利用翻折的性質(zhì)得出AB＝AB′，BE＝B′E是解題關(guān)鍵，又利用了相似三角形的性質(zhì)，要分類討論，以防遺漏．
姜姜老師基于之前發(fā)過(guò)的內(nèi)容整理了一套《最全相似模型》專項(xiàng)習(xí)題突破的資料，后續(xù)內(nèi)容也會(huì)持續(xù)輸出，親愛(ài)的同學(xué)們家長(zhǎng)們可以持續(xù)關(guān)注！
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