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納什的一生

2019.04.09

約翰·福布斯·納什(John Forbes Nash Jr.) 是為數(shù)不多被學(xué)術(shù)界外所知的數(shù)學(xué)家之一。2001年，一部關(guān)于他的電影《美麗心靈》(A Beautiful Mind) 上映，影片大體上改編自西爾維雅·娜薩兒(Sylvia Nasar) 所撰寫的同名暢銷傳記。這部奧斯卡獲獎影片改編了納什從一名優(yōu)秀的普林斯頓大學(xué)學(xué)生成為1994年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主的人生道路。

好萊塢版納什的人生故事在許多方面難免與真實的人生故事有所不同。尤其是影片側(cè)重于他的早期博弈論研究成果，這些成果在經(jīng)濟(jì)學(xué)中得到了應(yīng)用；影片還省略了他在幾何和偏微分方程方面的研究，數(shù)學(xué)界認(rèn)為這是他最為重要和最深入的研究工作。

約翰·福布斯·納什1928年出生于西弗吉尼亞州的布魯菲爾德，阿巴拉契亞山脈的一個偏遠(yuǎn)小城。他的父親是當(dāng)?shù)仉娏镜囊幻姎夤こ處?，母親是一名教師。他獲得全額獎學(xué)金進(jìn)入匹茲堡卡內(nèi)基技術(shù)學(xué)院（現(xiàn)卡內(nèi)基梅隆大學(xué)），最初攻讀化學(xué)工程專業(yè)，然后轉(zhuǎn)入化學(xué)專業(yè)，最終又轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)專業(yè)。

在卡內(nèi)基技術(shù)學(xué)院，納什選修了經(jīng)濟(jì)學(xué)課程，這給了他第一篇論文《討價還價問題》(The Bargaining Problem) 的創(chuàng)作靈感，這篇論文是他在普林斯頓大學(xué)研究生第二學(xué)期撰寫的。這篇論文使他對博弈論——決策數(shù)學(xué)——這個新領(lǐng)域產(chǎn)生了興趣。納什的博士論文《非合作博弈》(Non-Cooperative Games) 是一篇基礎(chǔ)的博弈論文章。它引入了非合作博弈均衡的概念，即“納什均衡”，這對經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會科學(xué)產(chǎn)生了巨大影響。

在普林斯頓大學(xué)期間，納什還取得了他在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的首次突破。他將其描述為“有關(guān)流形和真代數(shù)簇的一個很好的發(fā)現(xiàn)”。在本質(zhì)上，該定理表明任何流形（拓?fù)鋵ο螅热绫砻妫?，可用代?shù)簇進(jìn)行描述，幾何物體可用方程進(jìn)行定義，遠(yuǎn)比我們先前認(rèn)為可能的方式簡單。該成果已經(jīng)被他的同行認(rèn)為是一項重要和卓越的成果。

1951年，納什離開普林斯頓大學(xué)，來到麻省理工學(xué)院擔(dān)任講師。在那里，他對黎曼嵌入問題產(chǎn)生了興趣，即流形能否等距嵌入一些n 維歐幾里得空間。納什提出了兩個定理，證明了等距嵌入的存在性：第一個定理中忽略了光滑性，第二個定理中則保持了光滑性。

為了證明他的第二個嵌入定理，納什需要求解偏微分方程組，以往一直認(rèn)為偏微分方程組是無法解出的。他提出了一種迭代法，后經(jīng)莫澤 (Jürgen Moser) 修改，現(xiàn)在被稱為納什-莫澤定理。阿貝爾獎得主米哈伊爾·格羅莫夫 (Mikhail Gromov) 說：在我看來，（納什）在幾何方面的作為遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過他在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的作為好幾個數(shù)量級。在看待流形的態(tài)度上，這是一種令人不可思議的轉(zhuǎn)變。您可以將它們握在手中，而且您所做的可能比通過傳統(tǒng)方式做出的更加有效。

20世紀(jì)50年代初，納什在蘭德公司(RAND Corporation) 擔(dān)任顧問，這是一個軍方資助的平民智囊團(tuán)，位于加州圣莫尼卡。他在那里度過了好幾個夏天。在那里，他的博弈論研究成果在美國軍事和外交策略中得到了應(yīng)用。

1956年，納什榮獲首屆斯隆獎，并選擇休學(xué)一年，去了普林斯頓高級研究院。但他并沒待在普林斯頓，而是去了紐約，他的大部分時間是在理查德·庫朗(Richard Courant) 剛剛起步的紐約大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所度過。正是在這里，納什遇見了路易斯·尼倫伯格(Louis Nirenberg)，尼倫伯格建議他研究非線性理論中有關(guān)橢圓型偏微分方程相關(guān)不等式的一個尚未解決的重要問題。在短短的幾個月里，納什證明了這些不等式的存在。他不知道意大利數(shù)學(xué)家埃尼奧·德吉奧吉(Ennio De Giorgi) 已經(jīng)采用不同的方法證明了這一點，這一研究成果現(xiàn)在被稱為納什-德吉奧吉定理。

納什喜歡獨自研究，求解著名的尚未解決的問題，經(jīng)常提出全新的思維方式。2002年，路易斯·尼倫伯格表示：“大約20年前有人曾經(jīng)問我：‘有沒有哪位數(shù)學(xué)家您認(rèn)為是天才數(shù)學(xué)家？’我回答說：‘我能想到一個，那就是約翰·納什’……他有著非凡的心靈。他思考問題與眾不同。”

1957年，納什與艾麗西亞·拉迪(Alicia Larde) 結(jié)婚，艾麗西亞是他在麻省理工學(xué)院認(rèn)識的一名物理專業(yè)學(xué)生。1959年艾麗西亞懷上了他們的兒子時，納什開始患上極端偏執(zhí)癥，并因此辭去麻省理工學(xué)院教師之職。在接下來的三十年里，納什只能在短暫的清醒期間做一些嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)研究。他的病情逐步好轉(zhuǎn)，20世紀(jì)90年代他的精神狀態(tài)得到恢復(fù)。

在20世紀(jì)90年代，他因?qū)I(yè)工作獲得了多項榮譽。1994年，他與約翰·海薩尼(John C. Harsanyi)、萊因哈德·澤爾騰 (Reinhard Selten) 共同獲得了紀(jì)念阿爾弗雷德諾貝爾的經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。此外， 1996年他當(dāng)選為美國國家科學(xué)院的成員；1999年，他因1956年嵌入定理與邁克爾·克蘭德爾(Michael G. Crandall) 共同獲得美國數(shù)學(xué)學(xué)會頒發(fā)的斯蒂爾開創(chuàng)性貢獻(xiàn)獎。

2015年3月，納什獲得了阿貝爾獎，這個獎項由挪威皇室頒發(fā)，相當(dāng)于數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎，與菲爾茲獎、沃爾夫獎并列數(shù)學(xué)界最高榮譽。這次的阿貝爾獎由納什與紐約大學(xué)的路易·尼倫伯格分享，為了表彰他們“在非線性偏微分方程以及它們在幾何分析中卓越的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)”。自此，納什成為了目前唯一的諾貝爾獎（經(jīng)濟(jì)學(xué)）與阿貝爾獎（數(shù)學(xué)）的雙料獲獎?wù)?，這也代表了他年輕時代研究的兩個主要方向。

2015年5月，約翰·納什在從挪威領(lǐng)完阿貝爾獎的途中于美國新澤西州不幸遭遇車禍罹難。至此，這位天才傳奇的一生結(jié)束。

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