關于《算術(shù)基本定理》及其相關問題的討論
盧照田（北京733信箱，北京，100018）
一、關于《算術(shù)基本定理》
《算術(shù)基本定理》是初等數(shù)論中整除理論的中心內(nèi)容之一[1]，它的文字及數(shù)式表達形式為：每一個大于1的整數(shù)一定可以唯一地（不計次序的意義下）表為素數(shù)之積。
a=P1P2……Ps，
其中，a＞1，Pj（1≤j ≤s）為素數(shù)。
現(xiàn)在，根據(jù)定理的數(shù)式表述，我們將最簡單的幾個整數(shù)寫出如下：2=2，3=3，4=2×2，5=5，6=2×3，7=7，8=2×2×2，10=2×5。仔細地觀察不難發(fā)現(xiàn)，4，6，8，9，10，這幾個整數(shù)，他們都是素數(shù)之積，其數(shù)式表達完全符合定理的文字表達。而對于作為素數(shù)的2，3，5，7這幾個整數(shù)，好像就有了點兒問題。因為，“積”應當是數(shù)、數(shù)相乘之結(jié)果，所以，單一的一個數(shù)似乎不能稱為積。而要想使它們真正符合積的定義，其數(shù)式表達的形式似應變?yōu)椋?=1×2，3=1×3，5=1×5，7=1×7。
然而，這又立即引起了矛盾。因為數(shù)學家并不把整數(shù)1視為素數(shù)，所以這種數(shù)式表達就與語言表達的“素數(shù)之積”相違背。于是，這就很自然地引出了“自然數(shù)1到底可不可以被視為素數(shù)”的疑問。
二、自然數(shù)1能否被看作是素數(shù)
按照人們對于素數(shù)的基本設定：除1與自身之外，沒有其他因子的大于1的整數(shù)[2]。1能被自身整除，也能被1整除，且再也沒有其他的因子，為什么不能把1視為素數(shù)？數(shù)學家唯一的理由是：若把1看作是素數(shù)，則破壞了《算術(shù)基本定理》的唯一性[3]。例如整數(shù)9，數(shù)學家認為它被表為9=3×3的形式是唯一的。而如果一旦把1也認作是素數(shù)的話，就會出現(xiàn)諸如9=3×3×1、9=3×3×1×1、9=3×3×1×1×1、……，9=3×3×1n（n≥1的自然數(shù)）之多重結(jié)果，于是，其表達式就不是唯一的了。
其實，就是不把1看作是素數(shù)，一些整數(shù)的素數(shù)乘積表達式也不是唯一的，例如整數(shù)30，它可被寫成30=2×3×5、30=3×2×5、30=5×2×3、30=5×3×2，素因子排列次序的不同也破壞了表達式的唯一性。而現(xiàn)在之所以說它是唯一的，是因為人們給了一個“不計次序的意義下”的寬松設定。類似地，在把1視為素數(shù)之后，為了仍然保證《算術(shù)基本定理》之唯一性，我們不妨再加一個限制條件，即“素數(shù)1在表整數(shù)為素數(shù)乘積的表達式中只能出現(xiàn)一次”。又因為，整數(shù)1也可表為素數(shù)之積：1=1×1，所以，《算術(shù)基本定理》的文字表達及數(shù)式表達就變成了如下形式：每一個≥1的整數(shù)都可唯一地（不計次序的意義下，且素數(shù)1在乘積表達式中只能出現(xiàn)一次）表為素數(shù)之積。
a=P1P2……Ps，
其中，a≥1，Pj（2≤j ≤s）為素數(shù)。
例如，1=1×1、2=1×2、3=1×3、4=1×2×2、5=1×5，6=1×2×3，等等。
綜上所述，原來不把自然數(shù)1視為素數(shù)以及《算術(shù)基本定理》的唯一性條件，都是人們?yōu)榱四撤N特別需要而實施的自我設定，并不是數(shù)學自身發(fā)展所產(chǎn)生的必然結(jié)果。數(shù)學也應與時俱進。新情況的出現(xiàn)，以及為了更加合理、更具廣泛的適應性，現(xiàn)在重新認定整數(shù)1為素數(shù)，重新設定《算術(shù)基本定理》的唯一性條件，也是必要且可行的。
三、素數(shù)1引起的某些數(shù)學概念的變化
素數(shù)1的被確認，必然會引起某些數(shù)學概念的變化，而數(shù)學概念的變化又可導致數(shù)論中新的數(shù)學理念的產(chǎn)生。新的數(shù)學理念是發(fā)展新的數(shù)論工具的基礎，而且，新的數(shù)論工具一旦發(fā)展并完善起來，又必然推動著數(shù)論向更深、更廣的方向發(fā)展。或許實踐將會證明，素數(shù)1的被確認，將會引起連鎖反應，其對數(shù)論發(fā)展的貢獻亦將被載入史冊。
1．《算術(shù)基本定理》文字表述和數(shù)式表達的變化。上節(jié)已明確了該定理的文字表述和數(shù)式表達的變化，其原因是在認定整數(shù)1為素數(shù)以后，它也能被表為素數(shù)之積：1=1×1，故整數(shù)最少可表為兩個素數(shù)之積。
2．殆素數(shù)之素因子個數(shù)概念的變化。殆素數(shù)者，“素因子（相同的或相異的）個數(shù)不超過某一固定常數(shù)的整數(shù)”[2]之謂也。原來認為，素數(shù)是素因子個數(shù)不超過1的殆素數(shù)?，F(xiàn)在既已認定整數(shù)1是素數(shù)，又據(jù)算術(shù)基本定理的新概念，就應當認為素數(shù)是素因子個數(shù)不超過2的殆素數(shù)。相應地，作為殆素數(shù)的復合數(shù)，原來認為其素因子個數(shù)最少為2，現(xiàn)在應認為最少為3。
3．哥德巴赫猜想命題概念的變化。歌德巴赫猜想命題（A）的算術(shù)語言表達為：（A）每一個大于2的偶數(shù)都可表為兩個素數(shù)之和?，F(xiàn)在，因為有了素數(shù)1，且偶數(shù)2可表為2=1+1，故猜想（A）的算術(shù)語言表達應為：自然數(shù)中≥2的所有偶數(shù)都可表為兩個素數(shù)之和。
基于對古老埃拉托色尼篩法觀念的修正和殆素數(shù)的引入，數(shù)學家又從命題（A）中引申出兩個新的命題[2]，它們的分析語言表達是：（F）每一個充分大的偶數(shù)都是素因子個數(shù)分別不超過a與b的兩個殆素數(shù)之和，記為（a，b）；（G）每一個充分大的偶數(shù)都可表為一個素數(shù)與一個素因子個數(shù)不超過C的殆素數(shù)之和，記為（1，c）。將以上兩個命題的分析語言表達“譯為”算術(shù)語言表達[4]，就是：（F）＇自然數(shù)中每一個≥8的偶數(shù)都可表為兩個復合數(shù)之和；（G）＇自然數(shù)中每一個≥6的偶數(shù)都可表為一個素數(shù)與一個復合數(shù)之和。全部的數(shù)素、全部的復合數(shù)構(gòu)成了全部的自然數(shù)數(shù)。于是，我們不妨將命題（A）、（F）＇、（G）＇用算術(shù)語言綜合表達于一個新的命題（H）之內(nèi)，這個新命題可稱為“歌德巴赫問題”，即：（H）每一個≥8的偶數(shù)都可同為三種形式的兩自然數(shù)之和?！白g為”分析語言的表達，即為：每一個充分大的偶數(shù)都可同為三種形式的、素因子個數(shù)分別不超過h和s的兩個殆素數(shù)之和，記為（h，h；h，s；s，s）。其中，h意即身為合數(shù)之殆素數(shù)，s意即身為素數(shù)之殆素數(shù)。
四、素數(shù)1的應用前景
天生我才必有用。素數(shù)1的引入，必然有其不可替代的作用。
1．使《算術(shù)基本定理》的語言表述與數(shù)式表達相一致。如前所述，自從有了素數(shù)1，才使每一個素數(shù)都能表達成為真正意義上的“素數(shù)乘積”。例如，素數(shù)3可表為3=1×3，素數(shù)5可表為5=1×5，等等。
2．使“陳氏定理”更好理解、更加完美。1966年，陳景潤大師將命題（G）證到（1，2），達到該命題的光輝頂峰，被世界尊為“陳氏定理”。當你確認素數(shù)1的合法性以后，其定理的算術(shù)語言表達就應變?yōu)槿缦滦问剑好恳粋€≥2的偶數(shù)都可表為一個素數(shù)與兩個素數(shù)乘積之和。例如，2=1+1×1、4=2+1×2，6=2+2×2（或1+1×5）、8=2+2×3（或1+1×7、3+1×5）、10=1+3×3（或3+1×7、5+1×5、7+1×3）、……。其中，如果沒有素數(shù)1，偶數(shù)2、4、和10都不符合“陳氏定理”的算術(shù)語言表達。
3．可為哥德巴赫猜想命題（A）的最終得證開辟一條新路。理論的分析[4]認為，在沒有引入素數(shù)1之前，命題（F）之（a，b）、命題（G）之（1，c）和命題（A）之（1，1）是各自獨立、互不隸屬的三個數(shù)學范籌，正如由（a，b）不能導出（1，c）那樣，由（1，c）也不能推出（1，1）。即是說，由（2，2）不能進一步得到（1，2），由（1，2）也不能進一步得到（1，1）。這也是原來數(shù)學家企圖通過證明命題（F）或命題（G）以最終證明命題（A）的愿望最終不能實現(xiàn)的根本原因。
然而，素數(shù)1的引入和殆素數(shù)素因子個數(shù)概念的變化，卻可將所涉哥德巴赫問題的三個數(shù)學命題（A）、（F）＇和（G）＇，用分析的語言綜合于新命題（H）之內(nèi)，從而使它們實現(xiàn)了完美而相互關聯(lián)的統(tǒng)一。如果這是被允許的，那將是數(shù)論發(fā)展中的重大革命性事件。它使人們的思想突破了自設的種種禁錮，由此樹立了哥德巴赫問題這一新的理念，并為用篩法最終證明猜想（A）鋪平了道路。因為，用篩法將命題（H）證到（3，3）時，就相當于將原命題（F）證到（2，2）；證到（2，3）時，就相當于將原命題（G）證到（1，2）；若證到（2，2）時，就相當于將原命題（A）證到（1，1），即實現(xiàn)了哥德巴赫猜想命題（A）的最終證明。其根本原因在于，在證明命題（H）時，可由結(jié)果（3，3）進一步導出（2，3），由結(jié)果（2，3）亦可進一步導出（2.，2）。既如此，便實現(xiàn)了在“陳景潤大師的證明結(jié)果（1+2）與哥氏猜想命題（A）的（1+1）之間架起一座自然暢通的金橋，那將是站在巨人肩頭摘取皇冠明珠的一條捷徑?！盵5]
4．積極評價現(xiàn)有證明成果。用素數(shù)1引起的殆素數(shù)素因子個數(shù)變化的新概念來對現(xiàn)有證明結(jié)果進行評價，其結(jié)論當十分耐人尋味。（1）關于王元院士所征得的（2+3）。根據(jù)殆素數(shù)的素因子個數(shù)最少為2的新概念，王院士所證得的（2+3），其文字表達即為：每一個充分大的偶數(shù)都可表為一個素數(shù)與一個素因子個數(shù)比素數(shù)多1的殆素數(shù)之和。這實際上就是“陳氏定理”。（2）關于陳景潤大師所證得的（1+2）。新概念下的文字表達即為：每一個充分大的偶數(shù)都是一個素數(shù)與一個素因子個數(shù)不大于2的殆素數(shù)之和。素因子個數(shù)不大于2的殆素數(shù)就是一個素數(shù)，所以，陳景潤大師實際上已經(jīng)最終證明了哥德巴赫猜想命題（A）。
五、結(jié)束語
從本文的分析中可知，素數(shù)1的被認定，決不是人為地戲說或惡搞，而是數(shù)論發(fā)展的真實召喚。沒有素數(shù)1，一個完美統(tǒng)一的“哥德巴赫問題”——表偶數(shù)同為三種形式的兩整
數(shù)之和的規(guī)律——就顯得支離破碎?；蛟S，數(shù)論中就根本不存在素因子個數(shù)為1的殆素數(shù)，數(shù)學家卻要試圖用篩法通過證明命題（F）以便得到“每一個充分大的偶數(shù)都是素因子個數(shù)分別不超過1的兩個殆素數(shù)之和（1，1）”、或者通過證明命題（G）以便得到“每一個充分大的偶數(shù)都可表為一個素數(shù)與一個素因子個數(shù)不超過1的殆素數(shù)之和（1，1）”，其無功而返的結(jié)果就在情理之中了。本文經(jīng)綜合歸納提出的命題（H），它所揭示的數(shù)學本質(zhì)是：在整個整數(shù)數(shù)軸上，每一個正、負偶數(shù)皆可同時表為三種形態(tài)的兩整數(shù)之和，即或為兩合數(shù)之和，或為兩素數(shù)之和，或為一素數(shù)與一合數(shù)之和。當然，這要在引入負整數(shù)之后才能迎刃而解。然而，素數(shù)1的被認定卻是最為關鍵的，沒有素數(shù)1就沒有命題（H）。因此可以毫不夸張地說：素數(shù)1是一個最為奇妙、最為偉大的素數(shù)！
參考文獻
[1]潘承洞、潘承彪，著．初等數(shù)論[M]，北京，北京大學出版社出版，1998。
[2]李文林，主編．王元論哥德巴赫猜想[M]，濟南，山東教育出版社出版，1999。
[3]張順燕，編著．數(shù)學的源與流[M]，北京，高等教育出版社出版，2000。
[4]盧照田．“關于哥德巴赫猜想證明的反思（二）”，博客，
http://blog.sina.com.cn/u/1237145547，2006。
[5]盧照田．“關于哥德巴赫猜想證明的反思（一）”（待發(fā)表）。
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