精闢的解說，讓你完全了解複利的意義及其計(jì)算方式。
單利
了解複利之前一定得先知道單利是什麼，因?yàn)閱卫c複利之間有著密不可分的關(guān)係。複利一定有付息期間，也就是在當(dāng)期的最後一天，才將利息加到本金上，在期間內(nèi)所產(chǎn)生的利息均是以單利計(jì)算。例如「每月」付息一次的複利，只有在每月的最後一天才以「單利」算出利息，然後再將此利息加上期初的本金，做為下一期計(jì)息的本金。這樣的複利也稱作月複利。同樣道理，若每季計(jì)息一次，就稱作季複利，意思是當(dāng)季內(nèi)產(chǎn)生的利息都是以「單利」計(jì)算。
單利的意義：不論付息期間是多久，所茲生的利息均不會(huì)加入本金再循環(huán)計(jì)息，也就是說計(jì)息的本金從期初到期末都是一樣的。這樣單利公式就變得很簡單：
設(shè)期初本金為 PV，名目利率為 Rn，期間為"t" 年，所以一年會(huì)產(chǎn)生的利息金額就是 PV* Rn，再乘上期間"t"，就是單利的公式了：
利息 = PV*Rn*t
期末終值(FV)
= PV + 利息
= PV + PV*Rn*t
= PV*(1+Rn*t) ---------公式(1)
Rn為名目年利率，t 為年數(shù)，不足一年以小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示。例如一季就是(t=1/4)，Rn*t 等於 Rn/4。依此類推一個(gè)月(t = 1/12)，一日(t=1/365)，半年(t=1/2)。
上圖是100元隨著時(shí)間(單位：年)以單利成長，可以看出不論時(shí)間多長、利率多少，終值或未來值都是以直線上升。
例一：張三跟朋友借款100萬元，約定利息以年利率6%『單利』計(jì)算，3年後還款。請(qǐng)問3年後張三必須歸還朋友本金及利息總共多少錢？
本金(PV) = 1,000,000
年利率(Rn) = 6%
年數(shù)(t) = 3
期末終值(本利和)= 1000000*(1+6%*3) = 1,180,000
例二：李四跟朋友借款10萬元，約定利息以年利率10%『單利』計(jì)算，借款3個(gè)月，請(qǐng)問期末李四必須償還朋友多少錢？
本金(PV) = 100,000
年利率(Rn) = 10%
年數(shù)(t) = 3/12
期末終值(本利和) =100000*(1+10%*(3/12)) = 102,500
Excel檔案下載
這裡提供一個(gè)
Excel檔案供讀者下載，裡面共有四張工作表，都是本篇會(huì)用到之試算，分別為：
單利
複利
複利次數(shù)之影響
實(shí)質(zhì)利率
複利
單利的計(jì)息方式對(duì)貸款者(出借方)似乎不是很公平，因?yàn)槔⒈仨毜鹊狡谀┎拍玫没貋?。如果將貸款期間縮短，就可早點(diǎn)拿到利息，這些提早拿回的利息，還可以借給別人生息呢！哈~~~如果世界上只有單利存在的話，那些貸款者將會(huì)拼命的將貸款期間縮短，因?yàn)槟菢訉?duì)他們會(huì)比較有利。
其實(shí)比較合理的方式是於借貸期間多了一個(gè)『付息期間』，就是每間隔多久結(jié)算一次利息。也就是每過一個(gè)付息期間，借款者就必須支付貸款者利息。這樣有時(shí)候也很麻煩，借款者支付利息非常頻繁，於是就有借款者希望不要每期都支付該筆利息，同意將利息加入本金，做為下期的計(jì)息本金。也就是將付息期間一到，變自動(dòng)將『利息轉(zhuǎn)貸款』的意思，這就是複利的基本精神。
付息期間內(nèi)以單利計(jì)息
付息期間可能是一年、半年、一季或者一個(gè)月，甚至於是一個(gè)日，全依金融商品而異。付息期間內(nèi)是以單利計(jì)算利息的，只有在付息日才會(huì)結(jié)算一次利息，然後把利息加入本金當(dāng)做下一期的本金。例如銀行貸款以及定期存款的付息期間都是一個(gè)月，就是一個(gè)月結(jié)算利息一次，也可以說一個(gè)月複利一次的意思。又如債券的付息期間都會(huì)載明於債券上面，有每年付息一次的，也有半年付息一次。
複利計(jì)算公式
假若本金為PV，每一期之利率為rate，那麼 n 期後之本利和(FV)：
FV = PV*(1+rate)n ---------公式(2)
這公式的意義是說：每經(jīng)過一期(付息期間)，就將上期之『期末終值(本利和)』乘上(1+rate)。一開始之期初金額為PV，所以經(jīng)過 n 期後，期末終值就等於將PV乘上(1+rate)的n次方了。
上圖是100元隨著時(shí)間(單位：年)以複利成長，可以看出複利終值並非直線，而是以指數(shù)成長的，愈到後面成長力道愈大。尤其當(dāng)利率愈高時(shí)，彎度愈大。用數(shù)學(xué)的語言說：愈到後面，斜率愈大，也就是愈後面每年所成長金額愈大。舉個(gè)例子來說：以期初投入100元、2%及18%例，來瞧瞧20年後兩者相差多少？
2%
18%
1年 102
118
20年 149
2,739
到第一年底時(shí)只差了16元，可是20年後可是天壤之別，2%利率只有149元，18%卻有2,739元。
複利公式推導(dǎo)
期末終值(本利和)：
= 期初本金 + 利息
= 期初本金 + 期初本金 *rate
= 期初本金*(1+rate)。
意思是每期末的終值等於該期之期初本金乘上(1+rate)。下表列出1~n期之『期末本利和』之明細(xì)，每期之『期末本利和』又當(dāng)做下一期的『期初本金』去計(jì)息。所以第2期之『期初本金』等於第1期之『期末終值』；第3期之『期初本金』等於第2期之『期末終值』，依此類推?？梢钥闯龅?n 期之期末終值(FV) = PV*(1+rate)n。
期數(shù)
期初本金
期末終值 (FV)
0
PV
1
PV PV*(1+rate)
2
PV*(1+rate) PV*(1+rate)*(1+rate) = PV*(1+rate)2
3
PV*(1+rate)2 PV*(1+rate)2*(1+rate) = PV*(1+rate)3
....
n
PV*(1+rate)n-1 PV*(1+rate)n
例如：張三跟朋友借款100萬元，約定利息以年利率6%複利計(jì)算，3年後還款，每年計(jì)息一次。請(qǐng)問3年後張三必須歸還朋友本金及利息總共多少錢？
FV =1000000*(1+6%)3 =1000000*(1+6%)^3 =1,191,016
第1年 = 1000000*(1+ 6%) = 1,060,000
第2年 = 1060000*(1+ 6%) = 1,123,600
第3年 = 1123600*(1+ 6%) = 1,191,016
通用複利公式
公式(2)比較容易令人混淆的是每期利率(rate)及期數(shù)(n)。因應(yīng)付息期間的不同，每期利率及期數(shù)算法均有些不同。有無一個(gè)通用的式子可以全部都適用呢？例如一般金融機(jī)構(gòu)所都是使用年利率(或稱名目利率 Rn)，名目利率就是去銀行時(shí)掛在牆壁上讓大家看的利率表，又名掛牌利率(現(xiàn)在利率變動(dòng)頻繁，很多銀行現(xiàn)在都改成了LED顯示)。那麼，可以直接使用『名目利率(Rn)』換算成『每期利率(rate)』嗎？
是的，或許那些財(cái)務(wù)專家們聽到了大家的問題，就另外寫了一個(gè)公式，全部以名目利率為基礎(chǔ)。因?yàn)楦断⑵陂g可能是一年、半年或一個(gè)月，那麼每期利率就可以用名目利率除上每年計(jì)息的次數(shù)來換算。每年計(jì)息次數(shù)一般會(huì)以 m 來代表，以半年計(jì)息一次為例，等於每年計(jì)息2次(m = 2)，也就是說以『半年』為一期，一年有兩期。
每期利率 = Rn / m
可以直接這樣除的原因是：這半年內(nèi)都以單利計(jì)算。依此類推，一月計(jì)息一次(m=12)，rate 等於是月利率(Rn / 12)。
期數(shù)(n)也得隨著rate的付息期間來改變，例如半年計(jì)息一次(m=2)，兩年到期，那麼就得使用半年利率(rate = Rn / m = Rn / 2)。因?yàn)橐荒暧袃善?，所以兩年就?期了，所以期數(shù)(n)就變成『每年付息次數(shù)(m)』乘上『年數(shù)(t)』，也就是：n = m*t。
將公式(2)的rate換成(Rn/m)，n換成(m*t)就可寫成通用的複利未來值或終值公式：
FV = PV*(1+Rn/m)m*t ---------公式(3)
PV：期初金額
Rn：名目年利率
m：每年計(jì)息次數(shù)(複利次數(shù))
t：年數(shù)
Rn/m的意義是每期的利率，例如Rn / 2 就是半年利率；Rn / 4 就是季利率；Rn / 12 就是月利率。m*t就是總計(jì)息次數(shù)，也就是俗稱的複利次數(shù)，例如每月複利一次(m=12)，3年(t=3)總共複利36次 (12*3)。
例如100元存入銀行，名目年利率6%，每月複利一次，每年12次(m=12)，求3年後之未來值FV？
每月計(jì)息一次，就是一年複利12次，所以m = 12。期間為3年(n=3)，所以總共計(jì)息次數(shù)m*n = 12*3。
FV = 100*(1+6%/12)36
以Excel表示 =100*(1+6%/12)^36 = 119.67
同上例但是改成每季計(jì)息一次，求半年之未來值FV？
每季計(jì)息一次，就是一年計(jì)息4次，所以m = 4。期間為半年(n=1/2)，所以總共計(jì)息次數(shù)4*(1/2) = 2。
FV = 100*(1+6%/4)2
以Excel表示 =100*(1+6%/4)^2 = 103.02
複利試算
期初金額(PV) 元
名目利率(Rn) %
複利次數(shù)(m) 次
年數(shù)(t) 年
複利終值(FV)313.84
實(shí)質(zhì)利率10.00 %
複利次數(shù)對(duì)未來值之影響
每年複利的次數(shù)愈多，實(shí)質(zhì)年利率就愈高，終值就愈高。但是差別到底有多少呢？在下載的Excel檔中，『複利次數(shù)之影響』這工作表，期初以100元投入(讀者可自行更改儲(chǔ)存格B1)，分別以名目利率6%、20%兩組，每組均以年複利(1年複利1次)及日複利(1年複利365次)分別計(jì)算終值。下面有兩張圖，上圖為6%，下圖為20%?？梢钥闯瞿昀省?%”的部份，不論每年複利一次或365次，20年之間差別不大?？墒窃倏茨昀省?0%”(下圖)，這兩者差別可就大了。
所以說利率愈高，每年複利次數(shù)的影響愈大。由下圖的分析，可以看出名目利率不大的話，終值對(duì)複利次數(shù)的敏感度不大。
實(shí)質(zhì)年利率
根據(jù)公式(3)，相同本金、相同年利率、相同期間，只是每年的複利次數(shù)不一樣時(shí)，就會(huì)有不同的結(jié)果。而且每年複利愈多次，應(yīng)該得到更多錢才是。沒錯(cuò)，複利次數(shù)愈多，一年後期末未來值就愈高，但不是等比例的提高，而是愈趨近於飽和。以100元存銀行，年利率6%，來看看不同的計(jì)息次數(shù)結(jié)果會(huì)有何不同：
計(jì)息
次數(shù) Excel公式 未來值
(FV) 實(shí)質(zhì)年利率
1
=100*(1+6%/1)^1 106.00
6.00%
2
=100*(1+6%/2)^2 106.09
6.09%
4
=100*(1+6%/4)^4 106.14
6.14%
12
=100*(1+6%/12)^12 106.17
6.17%
365
=100*(1+6%/365)^365 106.18
6.18%
∞
=100*exp(6%) 106.18
6.18%
由上表可以看出計(jì)息次數(shù)由每年一次到12次時(shí)，實(shí)質(zhì)年利率由6.00%升到6.17%，而且愈來愈平。複利次數(shù)由12次到365次時(shí)，實(shí)質(zhì)年利率卻只由6.17%升到6.18%。也就是說每月複利一次跟每日複利一次沒差多少啦，我想這也是銀行複利次數(shù)以月複利為主的原因吧。
連續(xù)複利
複利既然那麼厲害，那麼每個(gè)貸款者也都心想著：要是能隨時(shí)都複利就好了。上表最後一列的每年計(jì)息次數(shù)就是無窮多次，也就是分分秒秒都在複利的意思，學(xué)術(shù)界稱這為連續(xù)複利。還好~~~上天有眼，沒給那些貸款者太多好處。連續(xù)複利實(shí)質(zhì)增加有限，因?yàn)閺摹好吭卵}利』到『每日複利』對(duì)實(shí)質(zhì)年利率的改變都不是很大了，那麼『每日複利』到『連續(xù)複利』的實(shí)質(zhì)年利率理應(yīng)也改變不大才是，結(jié)果正如所料，還是維持6.18%沒變。
連續(xù)複利時(shí)，未來值的公式如下：
FV=PV*ｅRn*t
PV是期初值，ｅ是自然指數(shù)，Rn 是『名目年利率』，t 是『年』。ｅ在Excel裡用的是EXP函數(shù)。
例如100元投資利率6%，以連續(xù)複利計(jì)，兩年後的終值如下：
FV = 100*e(6%*2) 以Excel公式表示：
=100*EXP(6%*2)
=112.75
實(shí)質(zhì)年利率公式
實(shí)質(zhì)年利率的意思是：名目利率(Rn)經(jīng)過一年多次的複利後，相當(dāng)於一年複利一次的『實(shí)質(zhì)利率』或稱『等值利率』。
利率的意思是：利息佔(zhàn)期初本金的比例，也就是：
利率(Re)
= 利息 / 本金
= (FV - PV) / PV
= FV/PV - 1 ---------公式(4)
FV可用公式(3)去代入，一年複利終值就是當(dāng) t = 1，所以將 FV = PV*(1+Rn/m)m 代入公式(4)
實(shí)質(zhì)利率(Re)：
= PV*(1+Rn/m)m/ PV -1
=(1+Rn/m)m- 1 ---------公式(5)
Re =>實(shí)質(zhì)利率 (Effect)，Rn=>名目利率(Nominal )，m =>每年複利次數(shù)
