傅里葉變換的集中形式及應(yīng)用
傅立葉變換是以時間為自變量的信號和以頻率為自變量的頻譜函數(shù)之間的一種變換關(guān)系。
由于自變量時間和頻率可以是連續(xù)的，也可以是離散的，因此可以組成幾種不同的變換對
非周期的連續(xù)時間，連續(xù)頻率-----傅里葉變換
正變換
X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt
反變換
x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dt
練習(xí)一：
時域函數(shù)：連續(xù)時間矩形脈沖
頻域：連續(xù)頻率的非周期函數(shù)
周期的連續(xù)性，離散頻率----傅里葉級數(shù)
周期為T0的 時間信號x(t) 的傅里葉級數(shù)展開的系數(shù)為X(jkΩ0),構(gòu)成的傅里葉變換對如下：
正變換
X(jkΩ)= {-T0/2,+T0/2}x(t)*exp^-jkΩ0t dt
反變換
X(t)= ∑k={-∞,+∞} X(jkΩ0)*exp^jkΩ0t
式中X(jkΩ0)是以角頻率Ω0未見各的離散函數(shù)形成頻域的離散頻譜，Ω0與時間信號的周期之間的關(guān)系為Ω0=2ΠF=2π/T0.傅里葉級數(shù)展開將連續(xù)時間周期函數(shù)分解為無窮多個角頻率為Ω0整數(shù)倍的諧波，k為各次諧波序號。
練習(xí)二
時域：連續(xù)時間周期矩形脈沖
頻域：非周期的頻域
時域的周期性對應(yīng)于頻域的離散性
非周期的離散時間、連續(xù)頻率---序列的傅里葉變換
非周期離散時間信號的傅里葉變換就是序列的傅里葉變換
正變換
X(e^jω)= ∑n={-∞,+∞}x(n) e^jωn
反變換
x(n)=1/2π{-π,+π}X(e^jω) e^jωn dω
式中，ω是數(shù)字頻率
如果序列x(n)是模擬信號x(t)經(jīng)過抽樣得到，抽樣時間間隔為Ts,抽樣頻率為fs=1/TS,抽樣角頻率為Ωs=2π/Ts，由于數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關(guān)系為ω=ΩTs，因此抽樣數(shù)字頻率ωs=ΩsTs=2π，則上面的變換對也可寫成
正變換
X(e^jΩT)= ∑n={-∞,+∞}x(nT) e^jnΩT
反變換
x(nT)=1/Ωs{-Ωs/2,+ Ωs/2}X(e^jΩT) e^jnΩT dΩ
練習(xí)三
時域：對連續(xù)時間矩形脈沖按照Ts為周期進(jìn)行采樣
頻域：以Ωs為周期嚴(yán)拓
時域的離散造成頻域的周期嚴(yán)拓，時域的非周期性對應(yīng)于頻域的連續(xù)性
離散時間，離散頻率----離散傅里葉變換
由于數(shù)字信號處理是希望在計算機(jī)上實現(xiàn)各種運算和變換，其所涉及的變量和運算都是離散的，而前面三種傅里葉變換對中，時域或頻域中至少有一個域是連續(xù)的，所以都不可以在計算機(jī)上進(jìn)行運算和實現(xiàn)，因此對于數(shù)字信號處理，應(yīng)該找到在時域和頻域都是離散的傅里葉變換，即離散傅里葉變換
前面的討論已經(jīng)得出結(jié)論:時域的周期性導(dǎo)致頻域的離散型，時域的連續(xù)函數(shù)在頻域形成非周期頻譜；而時域的離散型造成頻域的周期延拓，時域的非周期性對應(yīng)于頻域的連續(xù)函數(shù)形式。那么對于時域和頻域都是離散的離散傅里葉變換，應(yīng)該形成時域和頻域都具有周期性的函數(shù)。
如果序列x(n)是模擬信號x(t)經(jīng)過抽樣得到，抽樣時間間隔為Ts,則頻率函數(shù)的周期為Ωs=2π/ Ts,如果頻率函數(shù)也是離散的，其采樣間隔為Ω0，則時間函數(shù)的周期為T0=2π/Ω0，當(dāng)時間函數(shù)序列一個周期內(nèi)的抽樣點數(shù)為N時，有
N=T0/TS=Ωs/Ω0
表明在頻域中頻譜函數(shù)的一個周期內(nèi)的抽樣點數(shù)也為N，即離散傅里葉變換的時間序列和頻率序列的周期都是N，可以得到表示于一個周期內(nèi)的常用的離散傅里葉變換對如下：
正變換
X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2π/Nnk
反變換
x(n)=1/N∑n={0,N-1}X(k) e^j2π/Nnk
時域：對周期矩形脈沖信號以TS為周期進(jìn)行抽樣，得到離散時間序列
頻域：是傅里葉級數(shù)以周期ΩS的延拓
傅里葉變換形式的歸納
| 時域 | 頻域 |
| 連續(xù)性和非周期性 | 非周期性和連續(xù)性 |
| 連續(xù)性和周期性T0 | 非周期性和離散型（Ω0=2π/ T0） |
| 離散型和非周期性 | 周期性ΩS=2π/ TS和連續(xù)性 |
| 離散型Ts和周期性T0 | 周期性ΩS=2π/ TS和離散型Ω0=2π/ T0 |
由于長度為N的有限長序列可以看做是周期為N的周期序列的一個周期，因此利用DFS計算周期序列的一個周期，就可以得到有限長序列的離散傅里葉變換
正變換
X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2π/Nnk= X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) WNexp^nk
x(n)=1/N∑n={0,N-1}X(k) WNexp^-nk
定義幾個與X(k)相關(guān)的序列
幅度譜A(k)=|X(k)|
相位譜φ(k)=arctan{XI(k)/ XR(k)}
功率譜S(k)=A(k)*A(k)
離散傅里葉變換的物理意義及隱含的周期性
1物理意義
設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，則其傅里葉變換，Z變換與離散傅里葉變換分別用以下三個關(guān)系式表示
X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^jωn
X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n
X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2π/Nnk
單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換
離散傅里葉變換是x(n)的頻譜X(ejω)在[0,2π]上的N點等間隔采樣,也就是對序列頻譜的離散化,這就是DFT的物理意義.
2DFT隱含的周期性
DFT的一個重要特點就是隱含的周期性,從表面上看,離散傅里葉變換在時域和頻域都是非周期的,有限長的序列,但實質(zhì)上DFT是從DFS引申出來的,它們的本質(zhì)是一致的,因此DTS的周期性決定DFT具有隱含的周期性?？梢詮囊韵氯齻€不同的角度去理解這種隱含的周期性
(1) 從序列DFT與序列FT之間的關(guān)系考慮X(k)是對頻譜X(ejω)在[0,2π]上的N點等間隔采樣，當(dāng)不限定k的取值范圍在[0,N-1]時，那么k的取值就在[0,2π]以外，從而形成了對頻譜X(ejω)的等間隔采樣。由于X(ejω)是周期的，這種采樣就必然形成一個周期序列
(2) 從DFT與DFS之間的關(guān)系考慮。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) WNexp^nk，當(dāng)不限定N時，具有周期性
(3) 從WN來考慮，當(dāng)不限定N時，具有周期性
用DFT對模擬信號進(jìn)行譜分析
在工程實際中經(jīng)常遇到的模擬信號xn(t),其頻譜函數(shù)Xn(jΩ)也是連續(xù)函數(shù)，為了利用DFT對xn(t)進(jìn)行譜分析，對xn(t)進(jìn)行時域采樣得到x(n)= xn(nT),再對x(n)進(jìn)行DFT，得到X(k)則是x(n)的傅里葉變換X(ejω)在頻率區(qū)間[0,2π]上的N點等間隔采樣，這里x(n)和X(k)都是有限長序列
然而，傅里葉變換理論證明，時間有限長的信號其頻譜是無限寬的，反之，弱信號的頻譜有限款的則其持續(xù)時間將為無限長，因此，按采樣定理采樣時，采樣序列應(yīng)為無限長，這不滿足DFT的條件。實際中，對于頻譜很寬的信號，為防止時域采樣后產(chǎn)生‘頻譜混疊’，一般用前置濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使信號的貸款小于折疊頻率；同樣對于持續(xù)時間很長的信號，采樣點數(shù)太多也會導(dǎo)致存儲和計算困難，一般也是截取有限點進(jìn)行計算。上述可以看出，用DFT對模擬信號進(jìn)行譜分析，只能是近似的，其近似程度取決于信號帶寬、采樣頻率和截取長度
模擬信號xn(t)的傅里葉變換對為
X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt
x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dt
用DFT方法計算這對變換對的方法如下：
1對xn(t)以T為間隔進(jìn)行采樣，即xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n),由于
t→nT,dt→T, {-∞,+∞}→∑n={-∞,+∞}
因此得到
X(jΩ)≈∑n={-∞,+∞}x(nT)*exp^-jΩnT*T
x（nT）≈1/2π{0, Ωs} X(JΩ)*e^jΩnT Dω
2將序列x(n)= xn(t)截斷成包含有N個抽樣點的有限長序列
X(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T
由于時域抽樣，抽樣頻率為fs=1/T,則頻域產(chǎn)生以fs為周期的周期延拓，如果頻域是帶限信號，則有可能不產(chǎn)生頻譜混疊，成為連續(xù)周期頻譜序列，頻譜的周期為fs=1/T
3為了數(shù)值計算，頻域上也要抽樣，即在頻域的一個周期中取N個樣點，fs=NF0,每個樣點間隔為F0，頻域抽樣使頻域的積分式變成求和式，而在時域就得到原來已經(jīng)截斷的離散時間序列的周期延拓，時間周期為T0=1/F0。因此有
Ω→kΩ0，dΩ→Ω0，{-∞,+∞} dΩ→∑n={-∞,+∞}Ω0
T0=1/F0=N/fs=NT
Ω0=2ΠF0
Ω0T=Ω0/fs=2π/N
X(jkΩ0)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jkΩ0nT
應(yīng)用中需要注意的若干問題
1時域和頻域混疊
根據(jù)采樣定理，只有當(dāng)采樣頻率大于信號最高頻率的兩倍時，才能避免頻域混疊。實際信號的持續(xù)時間是有限的，因而從理論上來說，其頻譜寬度是無限的，無論多大的采樣頻率也不能滿足采樣定理。但是超過一定范圍的高頻分量對信號已沒有多大的影響，因而在工程上總是對信號先進(jìn)性低通濾波
另一方面，DFT得到的頻率函數(shù)也是離散的，其頻域抽樣間隔為F0，即頻率分辨力。為了對全部信號進(jìn)行采樣，必須是抽樣點數(shù)N滿足條件
N=T0/T=fs/F0
從以上兩個公式來看，信號最高頻率分量fc和頻率分辨力F0有矛盾。若要fc增加，則抽樣間隔T就要減小，而FS就要增加，若在抽樣點數(shù)N不變的情況下，必然是F0增加，分辨力下降。唯一有效的方法是增加記錄長度內(nèi)的點數(shù)N，在fc和F0給定的條件下，N必須滿足
N>2fc/F0
2截斷效應(yīng)
在實際中遇到的序列x(n)，其長度往往是有限長，甚至是無限長，用DFT對其進(jìn)行譜分析時，必須將其截斷為長度為N的有限長序列
Y(n)=x(n).RN(n)
根據(jù)頻率卷積定理
Y(ejω)=1/2Πx(ejω)*H(ejω)
|ω|<2π/N叫做主瓣，其余部分叫做旁瓣
頻譜泄露
原序列x(n)的頻譜是離散譜線，經(jīng)截斷后使每根譜線都帶上一個辛格譜，就好像使譜線向兩邊眼神，通常將這種是遇上的截斷導(dǎo)致頻譜展寬成為泄露，泄露使得頻譜變得模糊，分辨率降低
譜間干擾
因截斷使主譜線兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量間的干擾，成為譜間干擾，這不僅影響頻譜分辨率，嚴(yán)重時強(qiáng)信號的旁瓣可能湮滅弱信號的主譜線。
截斷效應(yīng)是無法完全消除的，只能根據(jù)要求折中選擇有關(guān)參量。
柵欄效應(yīng)
N點DFT是在頻率區(qū)間[0,2π]上對信號的頻譜進(jìn)行N點等間隔采樣，得到的是若干個離散點X(k)，且它們之限制為基頻F0的整數(shù)倍，這部好像在柵欄的一邊通過縫隙看另一邊的景象，只能在離散點的地方看到真實的景象，其余部分頻譜成分被遮攔，所以稱為柵欄效應(yīng)。
減小柵欄效應(yīng)，可以在時域數(shù)據(jù)末端增加一些零值點，是一個周期內(nèi)的點數(shù)增加
信號長度的選擇
在時域內(nèi)對信號長度的選擇會影響DFT運算的正確性。實際的信號往往是隨機(jī)的，沒有確定的周期，因此在實際中，應(yīng)經(jīng)可能估計出幾個典型的、帶有一定周期性的信號區(qū)域進(jìn)行頻譜分析，然后在取其平均值，從而得到合理的結(jié)果
MATLAB驗證N點DFT的物理意義
已知x(n)=R4(n),X(ejω)=FT[x(n)],繪制相應(yīng)的幅頻和相頻曲線，并計算N=8,N=16時的DFT
程序清單如下：
N1=8;N2=16;
n=0:N1-1;k1=0:N1-1;k2=0:N2-1;
w=2*pi*(0:2047)/2048;
Xw=(1-exp(-j*4*w))./(1-exp(-j*w));
xn=[(n>=0)&(n<4)];
X1k=fft(xn,N1);
X2k=fft(xn,N2);
subplot(3,2,1);plot(w/pi,abs(Xw));xlabel(‘w/π’)
subplot(3,2,2);plot(w/pi,angle(Xw));axis([0,2,-pi,pi]);line([0,2],[0,0]);
xlabel(‘w/π’)
subplot(3,2,3);stem(k1,abs(X1k),’.’);
xlabel(‘k(w=2πk/N1)’);ylabel(‘|X1(k)|’);hold on
plot(N1/2*w/pi,abs(Xw))
subplot(3,2,4);stem(k1,angle(X1k));
axis([0,N1,-pi,pi]);line([0,N1],[0,0]);
xlabel(‘k(w=2πk/N1)’);ylabel(‘Arg|X1(k)|’);hold on
plot(N1/2*w/pi,angle(Xw))
subplot(3,2,5);stem(k2,abs(X2k));
axis([0,N1,-pi,pi]);line([0,N1],[0,0]);
xlabel(‘k(w=2πk/N2)’);ylabel(‘|X2(k)|’);hold on
plot(N2/2*w/pi,abs(Xw))
subplot(3,2,6);stem(k2,angle(X2k),’.’);
xlabel(‘k(w=2πk/N2)’);ylabel(‘|X2(k)|’);hold on
plot(N2/2*w/pi,angle(Xw))
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