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數(shù)學家、計算機科學家 張景中院士

教育數(shù)學：把數(shù)學變容易

　　他是中國科學院院士，也是全國優(yōu)秀教師；他是數(shù)學家、計算機科學家，也是中學數(shù)學教育的探索者、深受愛戴的科普作家。

　　把難學的數(shù)學變容易，是他長期的研究目標。四十幾年來，曾做過中學教師的張景中院士一直在思考讓數(shù)學變得容易學的方法，為此提出了介于數(shù)學和教育學之間以數(shù)學為主的交叉研究方向——教育數(shù)學，探索出一批把數(shù)學知識變容易的實例，涉及幾何、三角和微積分。相關的教學實驗結果顯示，學生的思維更活躍，分析和解決問題的能力明顯提升，數(shù)學成績優(yōu)秀率大大提高。

數(shù)學家、計算機科學家

張景中院士

　　張景中畢業(yè)于北京大學數(shù)學力學系，1995年當選為中國科學院院士，在機器證明、教育數(shù)學、距離幾何及動力系統(tǒng)等多個學科領域作出了突出的貢獻。

　　作為教育數(shù)學的開拓者，他致力于改造數(shù)學，提出更適宜于教學和學習的新概念新方法新思路。同時，他把多年來在教育數(shù)學研究中所發(fā)展的幾何新方法用于機器證明，并提出消點思想，創(chuàng)建了幾何定理可讀證明自動生成的原理和方法。

　　“改造數(shù)學使之更適宜于教學和學習，是教育數(shù)學為自己提出的任務?！?/strong>在近日舉行的第二屆融匯中西教育論壇期間，張景中院士接受本刊專訪時說，減負是教育的一個重要議題。對數(shù)學課來說，減輕負擔最有效、最根本的一個方法，就是把數(shù)學本身變得更有效、更容易學。

　　張景中：教育數(shù)學不針對數(shù)學教學方法中的問題。關于教學方法，全世界都很關心，有長期的豐富研究。中國古代就提出啟發(fā)式教學法。關鍵是老師要根據(jù)實際情形靈活掌握，運用之妙，存乎一心。

　　教育數(shù)學關注的是長期以來被數(shù)學教育研究忽視的重要問題，就是教學內容問題。如果教學內容得到優(yōu)化，把概念變得容易理解了，把解題方法改進得好用了，再加上生動直觀的信息技術的動態(tài)畫板演示，各種教學方法都會有更好的效果。

　　1989年，我在15年思考探索和教學經驗的基礎上，提出了教育數(shù)學的概念。所謂教育數(shù)學，也就是為教育的數(shù)學。改造數(shù)學使之更適宜于教學和學習，是教育數(shù)學提出的任務。簡單而通俗地說，就是要把數(shù)學變容易。

　　張景中：數(shù)學家阿蒂亞在1976年就任倫敦數(shù)學會主席時的演說中說：“如果我們積累起來的經驗要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡化和統(tǒng)一?！薄斑^去曾經使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解?！?/span>

　　把數(shù)學變容易，基本的想法是：

　　熟悉了就容易。盡可能把要學的新知識和學生已經熟悉的東西串通起來，舊瓶新酒，推陳出新。

　　簡單了就容易。尋求更簡單的表述方式，更通用更有力的解題方法，為大量問題提供有章可循的解決途徑。

　　想通了就容易。盡量把前后左右的知識串通起來，把道理說清楚。

　　直觀了就容易。形數(shù)結合，動靜結合，充分利用教育信息技術提供的工具和環(huán)境，在數(shù)學實驗中變抽象為具體，體驗數(shù)學之美。

　　為此，就要做切實的基礎數(shù)學研究。這包括提出新定義新概念，建立新方法新體系，發(fā)掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味。凡此種種，無不是為教育而做數(shù)學。

　　基礎教育中的數(shù)學，講的是普適的最一般的數(shù)學事實。大道至簡，最一般的道理應當是易于表達和理解的。因此，有可能讓“過去曾經使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解”。

▲ 2020年6月22日，四川省涼山彝族自治州布拖縣的阿布澤魯小學，學生在數(shù)學課下課后向老師請教問題 李夢馨攝

　　張景中：增強國家數(shù)學實力，要重視數(shù)學的基礎研究，重視數(shù)學教育和科學普及。

　　數(shù)學作為一門基礎學科，是學習其他學科的重要前提。學好數(shù)學對于培養(yǎng)探索精神、思維的嚴密性、求真的執(zhí)著精神等都有重要意義。

　　科技創(chuàng)新和數(shù)學的關系非常密切。科技創(chuàng)新研究的方法主要表現(xiàn)為邏輯推理、實驗觀察和計算，而這三種方法都需要數(shù)學做基礎。邏輯以推理和演繹為特征，需要嚴謹?shù)臄?shù)學知識做支撐；實驗以觀察和總結自然規(guī)律為特征，涉及對數(shù)據(jù)的記錄和分析，不能沒有數(shù)學知識；至于計算，更是數(shù)學的領地。簡言之，數(shù)學為科學探究提供了簡潔的語言、計算的工具與分析的方法。沒有良好的數(shù)學基礎，想擁有良好的科學素養(yǎng)和科學精神是不可能的。

　　張景中：四十多年來，教育數(shù)學主要在五個方面有了重要進展。

　　其一是在初等幾何領域發(fā)展了面積法，基于小學知識得出的方法，把大量幾何題變容易了。

　　基于我國幾位學者共同努力，面積法發(fā)展成幾何定理機器證明的消點法，成為國內外奧數(shù)培訓的內容，還被編入一些高校師范類教材。

　　其二是發(fā)現(xiàn)了三角在小學數(shù)學知識基礎上的生長點，提出用面積關系定義正弦，實現(xiàn)了國際上著名的數(shù)學教育大師弗賴登塔爾在四十多年前提出而國外未能實現(xiàn)的提前兩年學正弦，讓數(shù)學能配合物理進度的設想，讓學生在七年級下就能掌握正弦定理與正弦和角公式，八年級上就能掌握余弦定理，在義務教育階段掌握三角形的作圖推理與計算。

　　這方面的研究始于1974年，1980年研究成果發(fā)表，2012年正式進入整體全學段教學實踐。學生學得輕松有趣，負擔減輕，成績上升。廣州海珠實驗中學的兩個實驗班中考數(shù)學優(yōu)秀率百分之百，入學時數(shù)學成績中下的學生畢業(yè)時也達到優(yōu)秀。

　　由北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院李尚志教授主編，主持過實驗的張東方老師、賴虎強老師參與編寫的教材《新思路數(shù)學》已于2020年出版，全國十幾個省上百學校立項做進一步教學實驗，目前進展良好。

　　其三是有關高中向量部分的學習中，發(fā)展了向量回路方法，消解了師生關于向量解幾何題不如傳統(tǒng)方法簡便的困難。由此聯(lián)系到數(shù)學與哲學大師萊布尼茲提出的“點如何相加”的問題，提出了點幾何的綱要，用點的代數(shù)關系直接表達幾何性質，用代數(shù)運算表達幾何推理，在科普講座中引起學生興趣。

　　華中師范大學彭翕成博士將此作為博士論文主題，提出點幾何恒等式明證的思想，編程做了大量探索，獲得數(shù)千成功案例，對大量奧數(shù)難度幾何題給出一兩行的簡捷證明，而且常常同時給出逆命題的解答。我和彭翕成合著的《點幾何解題》一書，引起不少師生興趣。點幾何有助于串聯(lián)坐標、向量和復數(shù)，有待進入教學實踐。

　　其四是有關微積分如何變容易的問題。1979~1985年我教過微積分，做過把極限概念和實數(shù)理論變容易的努力，提出了較容易理解的定義極限的方法，發(fā)現(xiàn)了能簡化實數(shù)理論的連續(xù)歸納法。后來有幾種教材采用了這樣的表達方法，其中一書的編者劉宗貴教授還做了成功的教學實驗。近幾年我在林群院士的帶動激勵下獲得新進展，發(fā)現(xiàn)了可以嚴謹?shù)叵戎v微積分再講極限，而且可以在學習微積分之前系統(tǒng)而簡捷地解決通常認為用微積分才能解決的許多問題。

　　最近我和林群院士合作的《減肥微積分》即將出版，希望能試用于高中教學實驗。由于有多種層次的微積分用于教學，微積分教材的優(yōu)化和教學實驗內容十分豐富，有待進一步開展。最近我們提出的新的微積分邏輯體系已經通過了Coq機器檢驗，使得今后這方面的工作更有信心。

　　其五，是學習探索如何將信息技術用于數(shù)學教學，使數(shù)學教與學更為生動有趣。

　　我們學習了美國《幾何畫板》動態(tài)幾何軟件，經過幾年的努力推出了更為智能化的動態(tài)數(shù)學軟件《超級畫板》，具有“寫畫測算編演推算”多種功能。2017年以來形成了更為專業(yè)的團隊，進一步發(fā)展成為《網絡畫板》，幫助師生更輕松地進行數(shù)學教學和數(shù)學實驗。目前注冊用戶已超過150萬，其中主要是數(shù)學老師?！毒W絡畫板》支持多種終端，上網可用，不需安裝，斷網也可用，包容支持其他教學系統(tǒng)共享，提供所有用戶資源共享，獲四川省2020年科技進步獎二等獎。

　　張景中：我感到關注和推動數(shù)學教育不是科研之外的事情。研究數(shù)學教育會遇到長期以來沒有解決甚至被認為不能解決的問題，需要長時間地進行研究思考。例如幾何解題簡便的通用算法、不用極限講微積分，都是前輩大數(shù)學家思考過而沒有解決的問題。

　　做這樣的研究，往往幾十年才前進一步，但這一步就很有意義。由于無法預期其進展，所以我沒有提出作為項目或課題，而是作為自己選定的長期研究目標。

　　張景中：我想要思想再解放一些，教學方法和教材更多地鼓勵創(chuàng)新和多樣化。要關注不同能力層次的孩子，鼓勵課外閱讀、數(shù)學編程，為基礎不同的學生提供多樣化的學習機會。中小學數(shù)學教學需要完善和加強的方面，最重要的是教材的精煉提高，以及教育信息技術的普及深入，這也是教育數(shù)學努力的方向。

　　張景中：減輕負擔是教育的一個重要議題。對數(shù)學課來說，減輕負擔最有效、最根本的一個方法，就是把數(shù)學本身變得更有效、更容易學。本來要花很多時間才能學會的內容，現(xiàn)在花很少時間就能學會。這就真正減輕學習負擔了。

　　長期以來，在減負方面都存在一個誤區(qū)，認為減負就是刪繁就簡，這不是真正的減負。繁難的知識可能也非常重要，不能簡單刪掉或者死記硬背下來。最好能改造數(shù)學知識體系，研究更優(yōu)的解決方法，讓學生能輕松且高效地學習。

　　數(shù)學最初的研究并不是為了孩子，為了教育，而是為了解決工程、技術、科學等方面的問題。所以，要讓數(shù)學更適合孩子學習，就必須對數(shù)學本身進行加工、改造和研究，讓它變得更容易學，學了就能夠更有效地解題，而且懂得道理。一個是改變定義，另一個是改進方法?；仡櫵氖嗄杲逃龜?shù)學走過的路，這也是致力于從數(shù)學里尋求更有效的減負增效的途徑。

刊于《瞭望》2022年第1期