更多掃碼學習
正文如下：
法一：構造角分線
先復習兩個定理
（1）角平分線定理：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則AB:AC=DB:DC．
證明：利用等積法
，
即AB:AC=DB:DC
（2）外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點D，則AB:AC=DB:DC．
法二：建系
不妨將點A、B兩點置于x軸上且關于原點對稱，設A（-m，0），則B（m，0），設P（x，y），PA=kPB，即：
解析式滿足圓的一般方程，故P點所構成的圖形是圓，且圓心與AB共線．
引例
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以點C為圓心，2為半徑作圓C，分別交AC、BC于D、E兩點，點P是圓C上一個動點，則1/2PA+PB的最小值為______．
【分析】這個問題最大的難點在于轉(zhuǎn)化1/2PA，此處P點軌跡是圓，故轉(zhuǎn)化方法與之前有所不同，如下，提供兩種思路．
法一：構造相似三角形
注意到圓C半徑為2，CA=4，連接CP，構造包含線段AP的△CPA，在CA邊上取點M使得CM=2，連接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=1/2PA．
問題轉(zhuǎn)化為PM+PB最小值，直接連BM即可．
法二：阿氏圓模型
對比一下這個題目的條件，P點軌跡是圓，A是定點，我們需要找出另一個定點M使得PM:PA=1:2，這不就是把“阿氏圓”的條件與結(jié)論互換了一下嘛！
而且這種問題里，給定的圓的位置、定點A的位置、線段的比例等，往往都是搭配好的！
P點軌跡圓的圓心C點和A點在直線AC上，故所求M點在AC邊上，考慮到PM：PA=1:2，不妨讓P點與D點重合，此時DM=1/2DA=1，即可確定M點位置．
如果對這個結(jié)果不是很放心，不妨再取個特殊的位置檢驗一下，如下圖，此時PM=3，PA=6，亦滿足PM:PA=1:2．
【小結(jié)】法二其實是開了上帝視角，在已知其是阿氏圓的前提下，通過特殊點找出所求M點位置，雖不夠嚴謹，卻很實用．
練習1
如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D．連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是______．
【分析】首先對問題作變式2AD+3BD=3（2/3AD+BD），故求2/3AD+BD最小值即可．
考慮到D點軌跡是圓，A是定點，且要求構造2/3AD，條件已經(jīng)足夠明顯．
當D點運動到AC邊時，DA=3，此時在線段CD上取點M使得DM=2，則在點D運動過程中，始終存在DM=2/3DA．
問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值，直接連接BM，BM長度的3倍即為本題答案．
練習2
來源：有一點數(shù)學，如存圖片/音視頻/作者/來源等使用或標注有誤，請隨時聯(lián)系微信ABC-shuxue處理。
聯(lián)系客服
