淺談對高中數(shù)學新教材中應(yīng)用問題的認識
傳統(tǒng)教材對知識的來龍去脈和數(shù)學的應(yīng)用重視不夠，不重視引導(dǎo)學生運用所學知識解決日常生活、生產(chǎn)中遇到的實際問題，學生學數(shù)學用數(shù)學的意識不夠，解決實際問題的能力脆弱。新教材對此做了大的調(diào)整，增加了具有廣泛應(yīng)用性、實踐性的教學內(nèi)容，重視了數(shù)學知識的運用，增強數(shù)學應(yīng)用意識，提高學生分析問題，解決問題的能力，把培養(yǎng)學生運用數(shù)學的意識貫穿在教材的各個方面。教材的編寫注重了科學性，更注重了生活性，由生活中的實例引出問題，最終解決問題，充分展現(xiàn)了知識的發(fā)生發(fā)展過程。使學生在提出、分析和解決帶有實際意義的或在相關(guān)學科，生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題的過程中理解掌握知識，從而準確而靈活地運用數(shù)學語言研究和表述問題。
一、教材中的應(yīng)用問題
1、在研究“具體問題”時以實際例子引入課題以突出知識的實際背景。
如在必修4中《三角函數(shù)》由錢塘江的潮汐現(xiàn)象引進周期想象。必修5中《不等式》中由芭蕾舞演員用腳趾支撐，增加下半身的長度來引入不等關(guān)系?！镀矫嫦蛄俊芬粤Α⑺俣?、位移，引入向量的概念。以拉面館的師傅將一根很粗的面條，拉伸、捏合，再拉伸、再捏合，反復(fù)過程引入等比數(shù)列。這些都來源于生活，從而激發(fā)了學生學習和探索的欲望，既用通俗易懂的語言陳述問題，又附以插圖，增加了教材內(nèi)容的直觀性、形象性和趣味性。這些實例的引入增強了問題的實際背景，為順利解決問題作了鋪墊。
2、例題中的應(yīng)用問題
例題中安排應(yīng)用問題，一方面可以培養(yǎng)學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識，而且通過范例講解，使學生掌握解決應(yīng)用問題的一般思想和方法。新教材的五冊必修內(nèi)容中共有50多個例題是涉及數(shù)學應(yīng)用的。從遠古的金字塔、韓信點兵到“神五上天”，從人的衣、食、住、行到健身娛樂，有抗洪、環(huán)保、地震到機器人，通貨膨脹等。它們都非常接近學生的生活實際和所學知識，難易適中，示范性強。
3、練習、習題、復(fù)習題中增加了應(yīng)用問題的分量
為使學生鞏固所學知識，逐步提高分析問題、解決問題的能力，新教材在練習題，習題，復(fù)習題中增加了大量的應(yīng)用問題，其中練習題有40多題，約占總數(shù)的13%；習題有120多題，占總數(shù)的18%；復(fù)習題有50多題，占總數(shù)的14%。分別涉及增長率、行程問題、物理、化學、生物問題，儲蓄等各個方面，量大面寬，情景新穎，融知識性，趣味性，自主實踐性于一體。
4、閱讀材料與小資料
中共安排了23個，其中：
（1）歷史故事方面的，如《康托與集合論》、《物不知數(shù)》、《笛卡爾與坐標系》、《歷史上數(shù)學計算方面的三大發(fā)明》、《統(tǒng)計小史》。 （2）介紹數(shù)學應(yīng)用方面，《選舉的預(yù)測》、《生活中的映射》、《蜜蜂是對的》、《標準差的用途》、《抽簽有先后，對各人公平嗎？》。（3）擴充知識方面，《數(shù)學與音樂》、《函數(shù)與中學數(shù)學》、《人的潛能》等。問題生動有趣，貼近學生生活，擴大了學生的閱讀面。
5、新增了“動手實踐”和“研究性課題”。
為了使學生親自體驗數(shù)學知識的應(yīng)用，靈活運用數(shù)學知識解決實際問題，加強學生學習的自主活動性，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。新教材安排了10次動手實踐。其中動手實踐有“對數(shù)的運算性質(zhì)”，“模擬圓周率”，“測量人的身高”，“調(diào)查人的第一次結(jié)婚時間”，“動手擲硬幣模擬概率”，“測量人的反應(yīng)時間”等。
研究性課題是培養(yǎng)學生應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力的重要內(nèi)容，新教材安排了7個研究性課題：“個人所得稅的計算”、“通俗歌曲流行趨勢”、“追及問題”、“確定線段n等分點的算法”，“打包問題”“同種商品不同型號價格問題”，“
二、高中數(shù)學應(yīng)用題問題的教學實踐
高中學生年齡一般在15—17周歲，他們認識過程的各種心理成份雖已接近成人的水平，但智力活動帶有明顯的隨意性，其抽象思維正在從“經(jīng)驗型”向“理論型”轉(zhuǎn)化，逐步擺脫具體形象和直接經(jīng)驗的限制，可以借助于概念進行合乎邏輯的抽象思維活動，逐步能在教師幫助下獨立地搜集事實材料，進行分析思考，逐漸抽象概括事物的本質(zhì)屬性。因此，應(yīng)結(jié)合學生的心理特點和思維規(guī)律，進行應(yīng)用問題的教學。
1、重視基本方法和基本解題思想的滲透與訓練
為培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識，提高學生分析問題解決問題的能力，教學中首先應(yīng)結(jié)合具體問題，教給學生解答應(yīng)用題的基本方法、步驟和建模過程，建模思想。
教學應(yīng)用題的常規(guī)思路是：閱讀題意，將實際問題抽象、概括、轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，解決數(shù)學問題，回答實際問題。具體可按以下程序進行：
（1）審題：由于數(shù)學應(yīng)用的廣泛性及實際問題非數(shù)學情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數(shù)學無關(guān)的因素，抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系。為此，引導(dǎo)學生從粗讀到細研，冷靜、仔細的閱讀題目，明確問題中所含的量及相關(guān)量的數(shù)學關(guān)系。對學生生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學生將實際問題數(shù)學化。
（2）建模：明白題意后，再進一步引導(dǎo)學生分析題目中各量的特點，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數(shù)式表示，它們之間存在著怎樣的聯(lián)系？將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言或圖形語言，找到與此相聯(lián)系的數(shù)學知識，建成數(shù)學模型。
（3）求解數(shù)學問題，得出數(shù)學結(jié)論
（4）還原：將得到的結(jié)論，根據(jù)實際意義適當增刪，還原為實際問題。
例：九江抗洪指揮部接到預(yù)報，24h后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰來臨前筑一道堤壩作為第二道防線，經(jīng)計算，除現(xiàn)有的部隊指戰(zhàn)員和九江干群連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺同型號翻斗車，平均每輛工作24h，但目前只有一輛車投入施工，其余的需從昌九高速公路沿線抽調(diào)，每隔20min能有一輛車到達，指揮部最多可調(diào)集25輛車，那么在24h內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？
這是一道數(shù)列問題，教學時為幫助學生審題，我在指導(dǎo)學生閱讀題時，提出以下要求：
——粗讀，題目中涉及到哪些關(guān)鍵語句，哪些有用信息？是否有不明白的詞語及專業(yè)術(shù)語。
2、引導(dǎo)學生將應(yīng)用問題進行歸類
為了增強學生的建模能力，在應(yīng)用問題的教學中，及時結(jié)合所學章節(jié)，引導(dǎo)學生將應(yīng)用問題進行歸類使學生掌握熟悉的實際原型，發(fā)揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數(shù)學建模的困難，如將高中的應(yīng)用題歸為：①增長率（或減少率）問題②行程問題③合力的問題④排列組合問題⑤最值問題⑥概率問題等⑦測量與計算問題。這樣，學生遇到應(yīng)用問題時，針對問題情景，就可以，通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件，利用聯(lián)想，建立數(shù)學模型。
3、針對不同內(nèi)容采取不同教法
高中新教材的數(shù)學應(yīng)用問題遍及教材的各個方面，教學時針對不同內(nèi)容，有的放矢，各有側(cè)重，就會取得較好的效果。
（1）實際引例，創(chuàng)設(shè)問題情景，增加探索興趣
對圖文并茂的實際引例，由教師簡單提出或由學生閱讀，使學生稍作思維碰撞，留下解題懸念，增強解決問題的欲望。
（2）重視例題的示范作用
例題是連接理論知識，與問題之間的橋梁，示范性強。因此在講解例題時應(yīng)在分析題目各個量的特點關(guān)系，建模，解決數(shù)學問題、還原為實際問題諸環(huán)節(jié)都應(yīng)很好的起示范作用，教師應(yīng)重視例題的分析與講解，積極進行啟發(fā)式教學，培養(yǎng)學生分析問題，解決問題、尋求基本實際模型的能力，重視數(shù)學理論知識與實際應(yīng)用的聯(lián)系。
（3）指導(dǎo)練習，鞏固方法
充分運用課本的練習題、習題、復(fù)習題，讓學生自己動手、動腦，應(yīng)用所學的知識解決實際問題。練習題位于具體的理論知識后面，建模方向性強，教師只需稍作指導(dǎo)；而習題則更多利用教師批改作業(yè)的機會，主要糾正數(shù)學語言轉(zhuǎn)化過程，及解題的規(guī)范過程；復(fù)習題由于綜合性強，學生解決有困難，教師要給予必要的指導(dǎo)、提示。
（4）課外閱讀，補充提高
對于不作教學要求的閱讀材料，根據(jù)教學進度提出閱讀要求，布置學生進行課外閱讀，培養(yǎng)學生的閱讀能力，擴大知識面，激發(fā)學生的學習興趣。
（5）動手實踐，重視實際操作與團結(jié)協(xié)作
完成動手實踐，可以打破單一沉寂的課堂教學氛圍，激發(fā)學生的探索精神，培養(yǎng)學生的實踐能力，進一步培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學的意識和創(chuàng)新能力。但實際問題的因素是錯綜復(fù)雜的，這就要求學生在調(diào)查、分析、研究的基礎(chǔ)上，抓住本質(zhì)，通過篩選，去粗取精，結(jié)合數(shù)學知識，進行建模解決實際問題。如《對數(shù)》中的例題，通過列表討論了三組數(shù)據(jù)的等量關(guān)系，
（6）研究性課題，重視自主探究
“研究性課題”是新教材中的一個專題性欄目，具有探究性和應(yīng)用性的特點，它既是所學內(nèi)容的實際綜合應(yīng)用，又對學生探究和解決問題具有較好的訓練價值。
三、對高中數(shù)學應(yīng)用問題的教學思考
1、在數(shù)學應(yīng)用問題的教學和對學生學習的指導(dǎo)中，應(yīng)重視介紹數(shù)學知識的來龍去脈。
一般情況下，數(shù)學知識的產(chǎn)生不外乎實際的需要和數(shù)學內(nèi)部的需要，高中階段所學的知識大都是來源于實際生活，許多的數(shù)學知識都有具體直接的應(yīng)用，高一的概率統(tǒng)計等，如高二運用不等式的性質(zhì)計算最值、線性規(guī)劃等。應(yīng)該讓學生充分實踐和體驗這些知識是如何使用的，在此基礎(chǔ)上讓學生感受和體驗數(shù)學的應(yīng)用價值。
2、學會運用數(shù)學語言描述周圍世界中出現(xiàn)的數(shù)學現(xiàn)象
數(shù)學語言可以清楚、簡潔、準確地描述日常生活中的許多現(xiàn)象，讓學生養(yǎng)成樂意運用數(shù)學語言進行交流的習慣，既可以增強學生應(yīng)用數(shù)學的意識，也可以提高學生運用數(shù)學的能力。在教學中，需幫助學生形成一個開闊的視野，了解數(shù)學對于人類發(fā)展的應(yīng)用價值。在知識實踐，能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)主動地向?qū)W生展示現(xiàn)實生活中的數(shù)學信息和數(shù)學的廣泛應(yīng)用，向?qū)W生提供豐富的閱讀材料，讓學生感受到現(xiàn)實生活與數(shù)學知識是密切相關(guān)，處處聯(lián)系的。
3、關(guān)于應(yīng)用問題中的算法問題
新教材要求用科學計算器，處理、計算數(shù)值，在例題、習題中給出的數(shù)據(jù)都比較復(fù)雜，我認為高中數(shù)學應(yīng)用題的重點是數(shù)學建模，所以正確建模，明白算法、算理應(yīng)占主流，一味追求“實際”，多次出現(xiàn)一些復(fù)雜數(shù)據(jù)，會沖淡主要問題的解決。事實上，每節(jié)中只要有一兩道實際數(shù)據(jù)的題目，其他的可選擇特殊數(shù)據(jù)或干脆用字母表示，不僅可突出算理，而且會加強應(yīng)用問題的分析，節(jié)省時間，體現(xiàn)字母代數(shù)的優(yōu)越性。
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