時(shí)空?qǐng)D是狹義相對(duì)論中時(shí)空性質(zhì)的圖示。時(shí)空?qǐng)D允許定性地理解相應(yīng)的現(xiàn)象，如時(shí)間膨脹和長(zhǎng)度收縮，而不需要數(shù)學(xué)方程。在時(shí)空?qǐng)D中，一個(gè)物體在所有時(shí)間內(nèi)的位置的歷史軌跡會(huì)形成一條線，即該物體的世界線。時(shí)空?qǐng)D中的點(diǎn)表示空間和時(shí)間中的固定位置，稱(chēng)為事件。最著名的一類(lèi)時(shí)空?qǐng)D被稱(chēng)為閔可夫斯基圖，由赫爾曼·閔可夫斯基在1908年提出。閔可夫斯基圖是一種二維的圖，它描述了發(fā)生在一個(gè)由一個(gè)空間維度和一個(gè)時(shí)間維度組成的宇宙中的事件。與常規(guī)的距離-時(shí)間圖不同，距離顯示在水平軸上，時(shí)間顯示在垂直軸上。此外，時(shí)間和空間測(cè)量單位的選擇是這樣一種方式，以光速移動(dòng)的物體被描繪成與圖的軸線成45°角。如何將四維時(shí)空形象化？我們不知道，但我們從霍金的話中得到了啟發(fā)，他說(shuō)：想象四維空間是不可能的。我個(gè)人覺(jué)得把三維空間形象化已經(jīng)夠難了，然而，很容易畫(huà)出二維空間的圖，比如地球表面。
因此，我們經(jīng)常使用時(shí)空?qǐng)D（也被稱(chēng)為閔可夫斯基圖），沒(méi)有x軸和y軸，通常有一個(gè)垂直的時(shí)間軸和一個(gè)水平的空間x軸。狹義相對(duì)論是建立在這樣一個(gè)假設(shè)上的：對(duì)于任何慣性觀察者來(lái)說(shuō)，光的傳播速度都是恒定的。因此，我們需要能夠在時(shí)空?qǐng)D上，畫(huà)出光線的路徑。這樣的一條射線可以從x軸上的任何一點(diǎn)開(kāi)始，沿著x的遞增或遞減方向運(yùn)動(dòng)（我們可以想象自己站在x軸的某一點(diǎn)上，沿著x軸向我們的右側(cè)或左側(cè)發(fā)射一束光）。在時(shí)空?qǐng)D上畫(huà)出光線路徑的困難在于，因?yàn)楣獾膫鞑ニ俣确浅７浅？?，如果我們用?guó)際單位秒和米作為兩個(gè)軸的話，表示這條路徑的線應(yīng)該盡可能接近水平線。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們將以秒為單位的時(shí)間乘以以米/秒為單位的光速，并使用這個(gè)量ct作為垂直時(shí)間軸的單位。ct的單位是光速乘以光傳播1米所需的時(shí)間t，即1。通過(guò)使用時(shí)間的ct單位，我們將光速c定義為1，現(xiàn)在可以把光線的路徑畫(huà)成斜率為45度的直線，向左或向右，取決于它的運(yùn)動(dòng)方向。記住，ct中的t仍然是指時(shí)間單位秒，但是一個(gè)單位的ct不是1秒，而是3 × 10^（-8秒），這個(gè)數(shù)值要小得多。在相對(duì)論中，使用米作為時(shí)間和距離的單位是一種方便而普遍的做法。閔可夫斯基空間中的單個(gè)點(diǎn)被稱(chēng)為一個(gè)事件，它有四個(gè)組成部分ct，x，y，z，用指數(shù)標(biāo)記法記作：x_μ有也也被稱(chēng)為時(shí)空的“四位置”。閔可夫斯基空間中的一條線代表粒子在時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)（有點(diǎn)像蒸汽軌跡顯示噴氣飛機(jī)的路徑），被稱(chēng)為粒子的世界線。- 坐標(biāo)系S中觀察者的一個(gè)簡(jiǎn)單的時(shí)空?qǐng)D
上圖表示在慣性參考系S下觀察者O的二維時(shí)空切片。空間中的單個(gè)點(diǎn)是一個(gè)事件，它在x的某個(gè)值處瞬間發(fā)生。例如點(diǎn)(3,2)描述時(shí)空中的一個(gè)點(diǎn)，它的時(shí)間坐標(biāo)為ct = 3，空間坐標(biāo)為x = 2。因?yàn)槲覀兪褂玫氖莄t時(shí)間單位，一條45度的直線表示光線的路徑。我們可以畫(huà)出無(wú)數(shù)條這樣的線，每條線代表從ct = 0時(shí)的不同x值開(kāi)始的光線。以小于c的勻速運(yùn)動(dòng)的物體與x軸成大于45度角的直線。如果一個(gè)物體以恒定速度v運(yùn)動(dòng)，那么這個(gè)速度等于移動(dòng)的距離除以所花費(fèi)的時(shí)間，得到：我們?nèi)绾伪硎镜诙€(gè)觀察者O'所在的慣性系S'呢？首先，為了簡(jiǎn)化工作，我們假設(shè)兩個(gè)坐標(biāo)系都是標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)型，并且坐標(biāo)系S'相對(duì)于坐標(biāo)系S以恒定速度v移動(dòng)。我們可以先畫(huà)出坐標(biāo)系S'的ct'時(shí)間軸。但是我們?nèi)绾卧趫D中畫(huà)出這個(gè)軸呢?首先，因?yàn)槲覀兪褂玫氖菢?biāo)準(zhǔn)構(gòu)型的坐標(biāo)系，我們知道坐標(biāo)系S和S'的原點(diǎn)在坐標(biāo)系S中的時(shí)間ct = 0和坐標(biāo)系S'中的時(shí)間ct' = 0時(shí)重合。因此，ct'軸必須通過(guò)坐標(biāo)系S的原點(diǎn)。其次，考慮當(dāng)空間坐標(biāo)x' = 0時(shí)，在坐標(biāo)系S'中可能發(fā)生的所有事件。所有這些點(diǎn)連接在一起，就構(gòu)成了ct'軸。但x' = 0點(diǎn)沿著ct'軸以速度v移動(dòng)。因此，我們可以畫(huà)出ct'軸作為移動(dòng)點(diǎn)x' = 0的世界線。ct'軸與坐標(biāo)系S的縱ct軸成角度θ：我們現(xiàn)在需要畫(huà)出坐標(biāo)系S'的x'軸。這個(gè)軸可以將所有的事件連接起來(lái)，時(shí)間坐標(biāo)為ct' = 0。但是該怎么做呢？對(duì)于ct'軸，我們知道x'軸必須通過(guò)坐標(biāo)系S的原點(diǎn)，因?yàn)樘幱跇?biāo)準(zhǔn)構(gòu)型。回想一下，狹義相對(duì)論的一個(gè)假設(shè)是光速c對(duì)所有慣性觀察者來(lái)說(shuō)都是一樣的。這意味著，對(duì)于任何慣性坐標(biāo)系，任何光線的斜率都是45°。上圖顯示了觀察者O'的時(shí)空?qǐng)D（軸ct'和x'）。折線表示x' = 0, ct' = -a處發(fā)射的一束光線，照射在x' = a, ct' = 0處的一面鏡子上，反射回x' = 0，ct' = a。我們稱(chēng)x' = a, ct' = 0處的點(diǎn)（或事件）為P。隨著a的變化，P點(diǎn)的位置也會(huì)變化。事實(shí)上，由于光速的恒定，對(duì)于a的不同值，P點(diǎn)（ct'總是等于0）沿著x'軸移動(dòng)。我們使用點(diǎn)P的這個(gè)屬性來(lái)定義x'軸的位置。這次我們回到了觀察者O的參考系S，它顯示了在點(diǎn)Q (x' = 0，ct' = -a)發(fā)出的一條光線(折線)擊中了點(diǎn)P (x' = a，ct' = 0)的鏡子，然后反射回點(diǎn)R (x' = 0，ct' = a)。三角形ORP是一個(gè)等腰三角形，被一條與x軸成45°的線平分并穿過(guò)O。因此，x'軸與x軸的夾角必須與ct'軸與ct軸的夾角相同，也就是θ=α。上圖顯示了從O（從S參考系）的角度來(lái)看的參考系S和S'， O'所在的參考系S'向右移動(dòng)。同樣的物理情況如下圖所示，但這一次從O'的角度來(lái)看，他看到O向左移動(dòng)。這可能有點(diǎn)讓人困惑。我們有一個(gè)慣性系S，它的坐標(biāo)軸是x和ct，還有另一個(gè)慣性系S’（相對(duì)于S以勻速v運(yùn)動(dòng)）它有自己的坐標(biāo)軸x’和ct’，都畫(huà)在同一個(gè)圖上。我們現(xiàn)在如何描述一個(gè)特定事件的坐標(biāo)？這是簡(jiǎn)單的。我們需要做的就是構(gòu)造平行于坐標(biāo)軸的坐標(biāo)線。以下圖所示的事件A為例：我們通常讀取A關(guān)于x和ct軸的坐標(biāo)（就像我們?cè)谌魏蔚芽栕鴺?biāo)上做的那樣），它們是x_1和ct_1。然后我們畫(huà)一條穿過(guò)A平行于x'軸的直線。這條線與ct'軸的交點(diǎn)就是ct'坐標(biāo)，即：類(lèi)似地，我們接著構(gòu)造一條穿過(guò)A并平行于ct'軸的直線。這條線與x'軸的交點(diǎn)就是x'坐標(biāo)：這里值得注意的是，x'和x軸并不重合。如果我們使用伽利略變換，它們就會(huì)重合，當(dāng)然，伽利略變換是基于伽利略/牛頓對(duì)絕對(duì)時(shí)間和空間的假設(shè)。在這種情況下，我們?nèi)匀粫?huì)畫(huà)一個(gè)傾斜的t'軸（其中t' = t），但x'和x軸將在同一條線上（其中x' = x - vt）。第二個(gè)假設(shè)（光速的恒定）要求有一個(gè)傾斜的x軸，并破壞了所有關(guān)于絕對(duì)時(shí)間和空間的假設(shè)。根據(jù)繪圖的準(zhǔn)確性，并假設(shè)我們知道如何校準(zhǔn)ct'和x'軸，我們可以估算出觀察者在S和S'參考系上測(cè)量到的事件A的坐標(biāo)。從圖表中測(cè)量當(dāng)然不是很準(zhǔn)確。后面，我們討論洛倫茲變換，它允許我們用代數(shù)方法計(jì)算在不同慣性系中的觀察者的測(cè)量值，包括校準(zhǔn)ct'和x'軸。我們現(xiàn)在可以證明一個(gè)令人驚訝的結(jié)果，即事件的同時(shí)性可以依賴(lài)于觀察者的參照系。上圖顯示了四個(gè)事件A，B，C，D。它們發(fā)生的順序是什么？慣性系S中的觀測(cè)者O將按照A、C、D、B的順序（隨著時(shí)間ct的增加）分別看到事件的發(fā)生。然而，慣性系S'中的觀測(cè)者O'將使用ct'軸來(lái)記錄他的時(shí)間，首先會(huì)看到A和D同時(shí)發(fā)生，然后看到C和B同時(shí)發(fā)生。由于兩個(gè)觀察者不共享一個(gè)共同的時(shí)間軸，一個(gè)觀察者同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件對(duì)另一個(gè)觀察者來(lái)說(shuō)也不可能同時(shí)發(fā)生。這種現(xiàn)象被稱(chēng)為同時(shí)性的相對(duì)性。如果兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生在空間的同一點(diǎn)上，所有的觀察者都認(rèn)為它們是同時(shí)發(fā)生的。如果事件在空間中是分離的，那么它們是否同時(shí)發(fā)生取決于觀察者的參照系。
我們還可以從上圖中看到，兩個(gè)觀察者不僅會(huì)在哪些事件是同時(shí)發(fā)生的問(wèn)題上產(chǎn)生分歧，而且在C和D的情況下，他們甚至不會(huì)看到事件以相同的順序發(fā)生。這個(gè)結(jié)果比同時(shí)性的相對(duì)性更奇怪，因?yàn)樗坪跬品艘蚬P(guān)系的基本概念。事件X只能導(dǎo)致事件Y，如果X發(fā)生在Y之前。假設(shè)X是我掉書(shū)的事件，Y是書(shū)掉到地板上的事件。如果一個(gè)觀察者不能同意我的觀點(diǎn)，我們可能會(huì)以一種奇怪的情況結(jié)束，他們先看到書(shū)掉到了地上，然后看到我掉了一本書(shū)。幸運(yùn)的是，狹義相對(duì)論的結(jié)果之一是，在觀察者的慣性系中，沒(méi)有任何信息信號(hào)或物質(zhì)物體的傳播速度能超過(guò)光速。這意味著，盡管觀察者可能對(duì)兩個(gè)事件的順序有不同意見(jiàn)，但他們不會(huì)對(duì)兩個(gè)由光信號(hào)聯(lián)系起來(lái)的事件的順序有不同意見(jiàn)。在觀察者的慣性系中”的條件是至關(guān)重要的。在不斷膨脹的宇宙中，正如我們?cè)谟钪鎸W(xué)中所看到的，星系可以以大于光速的速度遠(yuǎn)離我們。然而，這種運(yùn)動(dòng)并不在任何觀察者的慣性系中，因?yàn)樗强臻g本身在膨脹。
光錐是由通過(guò)A的光線（兩個(gè)虛線）繞ct軸旋轉(zhuǎn)而形成的（y軸表示光錐占據(jù)了兩個(gè)空間維度:x和y）。假設(shè)這四個(gè)事件仍然位于x軸的正上方，我們現(xiàn)在看到，在B、C和D之外，唯一可以通過(guò)不超過(guò)光速的信號(hào)與A聯(lián)系在一起的事件是C。這是因?yàn)橹挥蠧在光錐的“內(nèi)部”。換句話說(shuō)，因?yàn)闆](méi)有信號(hào)能比光傳播得更快，所以A唯一可能引起的事件就是C。事件，比如A和C，位于彼此的光錐內(nèi)，被稱(chēng)為因果關(guān)系。如果兩個(gè)事件在一個(gè)慣性系中有因果關(guān)系那么它們?cè)谒袘T性系中也有因果關(guān)系。如果任何事件，如B，在A的光錐內(nèi)，可以通過(guò)A（一個(gè)事件在原點(diǎn)）和B畫(huà)一個(gè)ct'軸。這意味著有一個(gè)慣性系，A和B在不同的時(shí)間出現(xiàn)在相同的地方。相反，只有比光速快的信號(hào)（與x軸成45°的直線）才能將A和B, A和D, C和D聯(lián)系起來(lái)。所以這些事件沒(méi)有因果關(guān)系。由于C和D之間沒(méi)有可能的因果關(guān)系，因此，在任何參考系下，我的書(shū)都不會(huì)在掉到地上之前就掉到地上。如果任何事件，如C，是在A的光錐外，則有可能通過(guò)A（在原點(diǎn)的事件）和C畫(huà)一個(gè)x'軸。這意味著在某個(gè)慣性坐標(biāo)系中，A和C同時(shí)發(fā)生但在不同的地方。光錐（上圖）在相對(duì)論中是一個(gè)非常有用的概念，它在三維空間中顯示了那些事件的位置，這些事件可能與現(xiàn)在發(fā)生在原點(diǎn)的事件有因果關(guān)系。光錐的側(cè)面是由穿過(guò)原點(diǎn)的光線形成的。原點(diǎn)下方的錐體表示過(guò)去可能導(dǎo)致原點(diǎn)事件的事件。原點(diǎn)上方的錐體包含可能由原點(diǎn)事件引起的事件。一個(gè)通過(guò)原點(diǎn)和x、y軸的平面代表現(xiàn)在。觀察者O和O'將使用不同的坐標(biāo)值描述上面提到的四個(gè)事件A、B、C、D的位置。但是，他們會(huì)同意兩個(gè)事件之間的時(shí)空分離，其中間隔?s^2為：這個(gè)定理被稱(chēng)為間隔的不變性，我們將在后續(xù)的文章中用洛倫茲變換來(lái)證明它。我們說(shuō)間隔是不變的，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)不同的慣性觀測(cè)者計(jì)算?s^2，將得到相同的答案。時(shí)空間隔?s^2的值可能是正的、負(fù)的或零的，最好把它看作一個(gè)單獨(dú)的符號(hào)，而不是某物的平方。在原點(diǎn)處的事件A與時(shí)空中其他事件的三種關(guān)聯(lián)方式是：- 類(lèi)時(shí)間間隔，其中?s^2＞0，描述了A光錐內(nèi)的事件。這些事件與A是有因果關(guān)系的，會(huì)有一些慣性系，A和C在同一地點(diǎn)，但在不同的時(shí)間發(fā)生。
- 類(lèi)空間間隔，其中?s^2＜0，描述了A光錐外的事件。這些事件與A沒(méi)有因果關(guān)系，會(huì)有一些慣性系A(chǔ)和C同時(shí)發(fā)生但在不同的地方。
- 類(lèi)光間隔，其中?s^2=0，描述了A光錐上的事件。這些事件與A有因果關(guān)系，但它們只能通過(guò)一個(gè)光信號(hào)與A聯(lián)系起來(lái)。
現(xiàn)在我們已經(jīng)知道，時(shí)空間隔對(duì)于任何慣性觀測(cè)者都是不變的，我們可以看到如何在時(shí)空?qǐng)D上校準(zhǔn)坐標(biāo)系S'的x'和ct'軸。考慮以下方程：這兩條曲線都定義為觀察者O的時(shí)空?qǐng)D上的雙曲線（奇異雙曲線）。如下圖所示：上圖顯示了坐標(biāo)系S'相對(duì)于坐標(biāo)系S作勻速相對(duì)運(yùn)動(dòng)。我們?cè)噲D校準(zhǔn)坐標(biāo)系S'的ct'和x'軸。考慮穿過(guò)事件A和B的不變雙曲線：事件A在ct軸上，因此x = 0。如果我們讓事件A發(fā)生在ct = 1，那么b^2, A到原點(diǎn)的類(lèi)時(shí)分離，也必須等于1。因?yàn)殡p曲線將所有具有相同時(shí)空間隔的事件連接起來(lái)，所以ct'軸上的事件B （x' = 0）也必須在ct' = 1時(shí)出現(xiàn)。類(lèi)似地，穿過(guò)事件C和D的不變雙曲線：將事件以-a2相同的類(lèi)空分離連接起來(lái)。如果我們讓C在x = 1處出現(xiàn)，那么ct = 0，（-a）^2一定等于-1。事件D，在同一個(gè)不變雙曲線上，也必須出現(xiàn)在x' = 1處（其中ct' = 0）。注意到D看起來(lái)比C離原點(diǎn)更遠(yuǎn)，盡管它們有相同的時(shí)空間隔。類(lèi)似地，B和A與原點(diǎn)的時(shí)空分離是一樣的，盡管B看起來(lái)更遠(yuǎn)。這些困惑源于這樣一個(gè)事實(shí)：我們?cè)噲D在一個(gè)平坦的歐幾里德曲面上表示非歐幾里德時(shí)空。我們說(shuō)的非歐幾里得是什么意思？意思是任意兩點(diǎn)之間的距離不是由歐幾里德線元ds^2 = dt^2 + dx^2表示的，而是由非歐幾里德線元ds^2 = dt^2 - dx^2表示的。負(fù)號(hào)決定了一切。我們可以用不變雙曲線來(lái)說(shuō)明間隔不變性的兩個(gè)重要物理含義：時(shí)間膨脹和長(zhǎng)度收縮。上圖顯示了在ct = 1處穿過(guò)ct軸的不變雙曲線，ct'軸在ct' = 1處。通過(guò)事件A和C的水平虛線是觀察者O的同時(shí)線，這意味著該線上的所有事件都具有相同的時(shí)間值ct = 1。通過(guò)B和D的傾斜虛線（實(shí)際上與雙曲線B相切）是一條觀測(cè)者O'的同時(shí)線，這意味著這條線上的所有事件都具有相同的時(shí)間值ct' = 1。這兩位觀察者測(cè)量到的是什么？- 觀察者O'測(cè)量ct'軸上ct' < 1時(shí)發(fā)生的事件C。然而，觀察者O在其ct軸上測(cè)量ct = 1時(shí)發(fā)生的相同事件。從O的角度來(lái)看，S'參考系中屬于O'的時(shí)鐘運(yùn)行緩慢。黑色箭頭TD是O觀察到的時(shí)間膨脹。
- 觀察者O測(cè)量ct軸ct < 1時(shí)發(fā)生的事件D。然而，觀察者O'在ct'軸上測(cè)量ct = 1時(shí)發(fā)生的相同事件。從O’的角度來(lái)看，S參考系中屬于O的時(shí)鐘運(yùn)行緩慢。黑色箭頭TD'是O'觀測(cè)到的時(shí)間膨脹。
令人矚目的結(jié)果是，兩個(gè)觀測(cè)者都測(cè)量到對(duì)方的時(shí)鐘運(yùn)行得很慢！這種效應(yīng)被稱(chēng)為時(shí)間膨脹。上圖顯示了x = 1處經(jīng)過(guò)x軸和x'軸x' = 1處的不變雙曲線。垂直的虛線穿過(guò)事件B和C，對(duì)于觀察者O來(lái)說(shuō)x = 1是一個(gè)常量。通過(guò)A和D的斜線虛線（實(shí)際上與D點(diǎn)的雙曲線相切）平行于ct'軸，因此對(duì)于觀察者O'來(lái)說(shuō)x' = 1是一個(gè)常量。這兩位觀察者測(cè)量到的是什么？- 觀測(cè)者O'在x'軸上測(cè)量x' = 1時(shí)的距離OD。點(diǎn)A對(duì)于O'也有相同的x' = 1，因?yàn)樗谥本€AD上。然而，觀察者O在其x軸上測(cè)量的距離與OA < 1相同。從O的角度來(lái)看，OD = 1的距離縮小為OD < 1。黑色箭頭LC是O所觀察到的長(zhǎng)度收縮。
- 觀測(cè)者O在其x軸上以x = 1測(cè)量距離OC。點(diǎn)B的x = 1與點(diǎn)O相同因?yàn)樗谥本€BC上。然而，觀察者O'在其x'軸上測(cè)量的距離與OB < 1相同。從O’的角度看，OC = 1的距離縮小為OC < 1。黑色箭頭LC'是O'觀察到的長(zhǎng)度收縮。
兩個(gè)觀察者都測(cè)量運(yùn)動(dòng)物體在運(yùn)動(dòng)方向上的收縮，這種現(xiàn)象被稱(chēng)為長(zhǎng)度收縮或洛倫茲收縮。我們必須認(rèn)識(shí)到，時(shí)間膨脹和長(zhǎng)度收縮都是真實(shí)的、可觀察到的效應(yīng)，而不是由錯(cuò)誤的時(shí)鐘、不可靠的尺子或光從一個(gè)移動(dòng)的事件傳播到一個(gè)觀察者所花費(fèi)的時(shí)間造成的光學(xué)錯(cuò)覺(jué)。一名宇航員乘坐火箭以接近光速飛過(guò)地球時(shí)，會(huì)看到這顆行星沿著她飛行的方向被擠壓。- 看到被壓扁的地球意味著你正在以接近光速的速度移動(dòng)
當(dāng)然，我們?cè)谌粘Ｉ钪胁粫?huì)注意到這些現(xiàn)象，因?yàn)槲覀兊南鄬?duì)速度并不接近光速。相對(duì)論數(shù)學(xué)原理（一），為什么首先要解決數(shù)學(xué)問(wèn)題
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