可以說，由于純粹數(shù)學(xué)的高度抽象性與審美性，所以，愛因斯坦說：“純粹數(shù)學(xué)成為邏輯思想的詩篇?！?/p> 第一個真正意義上自由呼吸著數(shù)學(xué)的抽象性與審美性的人，應(yīng)當是畢達哥拉斯。他是一個饒有情趣的古典嬉皮士組織——即畢達哥拉斯學(xué)派——的領(lǐng)導(dǎo)人。他們不喝酒，不穿毛皮制品，并且食素。他的學(xué)派將“萬物皆為數(shù)”奉為圭臬，并以一種哲學(xué)家和教徒的虔誠，將研究數(shù)學(xué)作為凈化靈魂的手段，將數(shù)字、圖案與公式當成心中的十字、新月與菩提樹。他們甚至根據(jù)對聲學(xué)和行星軌道運行時間的數(shù)學(xué)知識，認為天空具有音樂的韻律，即所謂天球音樂。
不過，真正被厚厚薄薄的數(shù)學(xué)史記住的，是畢達哥拉斯以簡潔的方式證明了勾股定理，驚異地發(fā)現(xiàn)了2開1／2次方根的結(jié)果是個無理數(shù)，這一發(fā)現(xiàn)同時也點燃了數(shù)學(xué)史上“第一次危機”的導(dǎo)火線。而最值得關(guān)注的是畢達哥拉斯在數(shù)學(xué)觀念與方法論上開天辟地的功績。那就是他賦予了數(shù)學(xué)演繹的特點。這種對推理中普遍性孜孜不倦地探求，不但撥動了數(shù)學(xué)的琴弦，也引起了人類早期哲學(xué)觀念的共振。
之后的柏拉圖準確地把握了從歷史回音壁上傳來的風雷激蕩之聲。他在雅典這個美麗的城邦中建立起了“柏拉圖學(xué)園”，校門口高懸“不懂幾何，禁止人內(nèi)”?？梢哉f，西方科學(xué)界尊重數(shù)學(xué)乃至尊重理性的傳統(tǒng)，就是以這個學(xué)園為閃光的起點。柏拉圖篤信數(shù)與幾何是打開宇宙之謎的鑰匙，因此，柏拉圖的的哲學(xué)，被后人稱為“數(shù)學(xué)的哲學(xué)”。
而柏拉圖學(xué)派也成了畢達哥拉斯學(xué)派演繹邏輯方法的燃燈傳薪者。他們系統(tǒng)整理零散數(shù)學(xué)知識的思想，不但直接影響了歐幾里德《幾何原本》的寫作，更在知識上、方法上、思想上打開了后世數(shù)學(xué)家的視野。所以，哲學(xué)家懷特海(A．N．Whitehead)說：“對歐洲哲學(xué)傳統(tǒng)最可靠的描述是，它是一連串對柏拉圖的注解。”撇開這句話中令哲學(xué)家沮喪的一面看，也許正是數(shù)學(xué)蘊涵的這種無邊的理性，打造了柏拉圖思想的金剛不壞之身，使之成為后世眾多思想家心悅誠服的不祧之祖。
而同時代的中國的數(shù)學(xué)思想的長卷，在《周髀算經(jīng)》、十進制和“禮樂射御書數(shù)”的“六藝”中緩緩展開。與歐幾里德的《幾何原本》對西方數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的影響相呼應(yīng)的是，成書于公元一世紀的《九章算術(shù)》，對于中國古代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的形成同樣起到了奠基石的作用。但是，從宏觀上看，中國古代的數(shù)學(xué)思想，更多地沉溺在實際問題的解答技巧之中，而極少見到西方數(shù)學(xué)思想中包孕的那種超驗傳統(tǒng)和終極關(guān)懷意識。因此，在如何自覺地將數(shù)學(xué)與哲學(xué)觀念的發(fā)展結(jié)合起來上，中國古代的數(shù)學(xué)思想顯得力不從心、乏善可陳。
所以，盡管祖沖之率先將圓周率推到了小數(shù)點后第七位，“楊輝三角形”把西方“帕斯卡三角形”拋在身后達四百年，朱世杰嫻熟地運用“四元術(shù)”求解四元方程，但是，這些光環(huán)并不能掩飾中國數(shù)學(xué)家通過計數(shù)、度量、幾何關(guān)系與秩序形態(tài)，把數(shù)學(xué)觀念與自然界聯(lián)系起來的能力的缺乏。因此，在中國的數(shù)學(xué)家那里，理性的思維似乎無法脫離那種牽涉到一定種與屬的不完整的抽象境界，登堂人室進入完整的數(shù)學(xué)抽象領(lǐng)域。所以，在宋元數(shù)學(xué)輝煌的一頁翻過以后，中國的數(shù)學(xué)思想似乎陷入了笨拙的泥淖之中。
就在中國古代數(shù)學(xué)沉淪的時候，崎嶇而行的西方科學(xué)卻贏來了新的發(fā)展空間。這一重大轉(zhuǎn)折發(fā)生在1453年。這是明朝景泰四年，用歷史學(xué)家黃仁宇形容萬歷十五年的話說，似乎同樣屬于“AYear ofN。Significance'’(無關(guān)緊要的一年)。但在西方，就在這一年，幕天席地的土耳其騎兵，揮動馬刀，攻占并洗劫了東羅馬(拜占廷)帝國的首都君士坦丁堡(伊斯坦布爾)。于是，大批東羅馬帝國的知識分子攜帶著古希臘的文化典籍負笈西行，在客觀上為歐洲文藝復(fù)興、工業(yè)革命和宗教改革準備了火種。
原先羅馬共和國秉承的是希臘語文化，后來西羅馬帝國改弦更張為拉丁語文化。在西羅馬帝國喪鐘敲響后，希臘文化卻又一次回到西方，同時還帶來了阿拉伯語文化與希伯來文化。地中海區(qū)域的歐亞非大陸的結(jié)合部，重新成為不同文化的競技場。
而數(shù)學(xué)作為科學(xué)的源泉，作為文化思想的縮影，無疑見證了這一因東西文化碰撞，引起“驚濤裂岸，卷起千堆雪”的壯闊畫面。這一時期，歐洲人普遍應(yīng)用了阿拉伯人的記數(shù)法與代數(shù)學(xué)。而現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)公式中的希臘字母、拉丁字母、阿拉伯字母合用，也鮮明地折射出政治地圖變遷對文化版圖重組的不可忽略的影響。這也許是1543年西羅馬帝國滅亡的意義之一。
如果說，從畢達哥拉斯、柏拉圖直至進入現(xiàn)代世界的十七世紀前，數(shù)學(xué)的觀念還沒有跳出亞里士多德描繪的思維框架，那么，在天才的十七世紀里，伽利略、笛卡兒、斯賓諾莎、牛頓、萊布尼茲——這些聲名顯赫的人物，似乎是不約而同地，在盛大的數(shù)學(xué)酒會上舉起了高腳杯。解析幾何、微積分從費馬、笛卡兒、牛頓、萊布尼茲們高速運轉(zhuǎn)的大腦中脫穎而出。
在這個世紀里，數(shù)學(xué)的抽象性、普遍性與和諧性，綻放了茂盛的理論之花。它似乎是先聲奪人地對哲學(xué)觀念的形成和其他學(xué)科的縱深挺進，產(chǎn)生了巨大而深遠的影響。雖然這以前很長一段時間，數(shù)學(xué)家的理性像歐洲灰蒙蒙的天空一樣，還只是教堂傲慢尖頂?shù)闹覍嵟阋r，但到了十七世紀，可以說，數(shù)學(xué)家的心中已經(jīng)無一例外地涌動著一種“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”的情感。
三十七世紀數(shù)學(xué)的偉大成就，為后世數(shù)學(xué)的輝煌鋪平下了一條金光大道。之后，數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)分支、數(shù)學(xué)觀念，像斐波那契數(shù)列揭示的兔子繁殖速度一樣，不絕如縷地涌現(xiàn)。由于數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)姻，數(shù)學(xué)也成為人類頭腦所能達到的最完美的抽象境界。1899年，希爾伯特改進了公理方法。他認為：“點、線、面可以換成桌子、椅子、啤酒杯?！?/p> 1900年，他在國際數(shù)學(xué)家大會上提出了23個問題，揭開了二十世紀數(shù)學(xué)發(fā)展的序幕。哲學(xué)家羅素則以著名的“理發(fā)師悖論”，引發(fā)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機，形成了邏輯主義、直覺主義與形式主義三大學(xué)派。哥德爾不完全性定理的提出，對數(shù)學(xué)的完備性提出了挑戰(zhàn)。而建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的計算機的問世，托起了新一輪技術(shù)革命的太陽。使得統(tǒng)治世界數(shù)百年的蒸汽機與電器時代從此成為遠去的背影。
仔細反思數(shù)學(xué)發(fā)展的千年歷程，的確讓人回味無窮。如果說，古典數(shù)學(xué)還只是浸淫于宗教熱忱的浪潮中，為奧秘的事物尋找某種神啟與暗示的話，那么它同時也喚醒了從事物內(nèi)部探求其終極意義的理性思想。這兩種方法看似背道而馳，但它們最大的意義是重建了人類的好奇心，使得人們愿意對終極的概念探賾索隱，洞幽燭微。而這一切，只有在一個寬容自由、思想開放的時代里，才能最大程度地得到實現(xiàn)——比如希臘的雅典、文藝復(fù)興時期的意大利，當然還有春秋時期與唐宋時代的中國。
相反的例子是，當中國古代的專制社會不但自我封閉、禁錮思想，而且將灰色的長城壓在眾多窮究天人之理的學(xué)者的心頭時，短暫的數(shù)學(xué)靈光之中終于沒能升起科學(xué)的太陽。也許，這可以作為對李約瑟在《中國科學(xué)技術(shù)史》中不止一次提到的問題——為什么中國科技本來勝于歐洲，但在十五世紀后就不如歐洲了呢——的一種回答吧。
記得物理學(xué)家霍金曾用“果殼中的宇宙”(The Universe in aNutshell)為他的新作命名。這個典故出自莎士比亞的名劇《哈姆雷特》。在劇中，這位憂郁的王子說，即使把他關(guān)在果殼里，仍然自以為是宇宙之王。而哲學(xué)家懷特海在《科學(xué)與近代世界》中也說，編著一部思想史而不深刻研究每一個時代的數(shù)學(xué)觀念，就等于是在《哈姆雷特》這一劇本中去掉了哈姆雷特這一角色。
其實哈姆雷特這種獨步天下的感覺，移植到數(shù)學(xué)身上，同樣貼切。果殼中的哈姆雷特與果殼中的數(shù)學(xué)和宇宙一樣，既張揚了理性的力量，也暗示了理性的局限和對超驗世界的無能為力。也就是說，對于浩瀚的人類思想而言，理性需要新的躍遷與超越。這一內(nèi)在的緊張被法國作家雨果窺破了：“科學(xué)到了最后，就遇上了想象。在圓錐曲線中、在對數(shù)中、在概率計算中、在微積分計算中、在聲波計算中、在運用于幾何的代數(shù)中，想象都是計算的系數(shù)，于是數(shù)學(xué)也就成了詩。”
于是，我們終于可以說，數(shù)學(xué)的全部抽象性與審美性所提供的，正是一種建立在完美的假定之上的烏托邦。它超越了一切政治與宗教、國界與膚色。冰冷的鐵窗與專制社會的判決書，’都無法阻擋自由的思想通往林中空地上的那個美麗新世界。就像羅馬士兵的刀鋒，無法阻擋阿基米德臨終前高貴的沉思一樣。這也許是數(shù)學(xué)——以及一切與自由思想有關(guān)的東西一一本身所能揭示的全部寓意，盡管這種寓意“只有生活在有限和自由的刀口上的人才會理解”(丹尼爾·貝爾語)。
