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25．（12.00分）如圖，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于點D，∠FAC=∠ABC，且∠FAC在AC下方．點P，Q分別是射線BD，射線AF上的動點，且點P不與點B重合，點Q不與點A重合，連接CQ，過點P作PE⊥CQ于點E，連接DE．
（1）若∠ABC=60°，BP=AQ．
①如圖1，當點P在線段BD上運動時，請直接寫出線段DE和線段AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
②如圖2，當點P運動到線段BD的延長線上時，試判斷①中的結(jié)論是否成立，并說明理由；
（2）若∠ABC=2α≠60°，請直接寫出當線段BP和線段AQ滿足什么數(shù)量關(guān)系時，能使（1）中①的結(jié)論仍然成立（用含α的三角函數(shù)表示）．
【解答】（1）①DE=AQ，DE∥AQ，
理由：連接PC，PQ，
在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AD=CD，∠ABD=∠CBD=∠BAC，
∵∠CAF=∠ABC，
∴∠CBP=∠CAQ，
在△BPC和△AQC中，，
∴△BPC≌△AQC（SAS），
∴PC=QC，∠BPC=∠ACQ，
∴∠PCQ=∠PCA+∠AQC=∠PCA+∠BCP=∠ACB=60°，
∴△PCQ是等邊三角形，
∵PE⊥CQ，
∴CE=QE，
∵AD=CD，
∴DE=AQ，DE∥AQ；
②DE∥AQ，DE=AQ，
理由：如圖2，連接PQ，PC，
同①的方法得出DE∥AQ，DE=AQ；
（2）AQ=2BP·sinα
理由：連接PQ，PC，
要使DE=AQ，DE∥AQ，
∵AD=CD，
∴CE=QE，
∵PE⊥CQ，
∴PQ=PC，
易知，PA=PC，
∴PA=PE=PC
∴以點P為圓心，PA為半徑的圓必過A，Q，C，
∴∠APQ=2∠ACQ，
∵PA=PQ，
∴∠PAQ=∠PQA=（180°﹣∠APQ）=90°﹣∠ACQ，
∵∠CAF=∠ABD，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAQ=90°，
∴∠BAP=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠ACQ，
易知，∠BCP=∠BAP，
∴∠BCP=∠ACQ，
∵∠CBP=∠CAQ，
∴△BPC∽△AQC，
∴=，
在Rt△BCD中，sinα=，
∴=2sinα，
∴AQ=2BP·sinα．
【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，判斷出∠BCP=∠ACQ是解本題的關(guān)鍵．
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