最近，一部以網(wǎng)絡(luò)詐騙為背景的電影《孤注一擲》爆火，影片取材自上萬例真實(shí)案件，講述了程序員潘生、模特梁安娜被海外高薪招聘吸引，出國淘金，卻意外落入境外詐騙工廠陷阱的故事?？催^的小伙伴不知是否還記得影片開頭提到的凱利公式，它很好地詮釋了賭徒迷信的是運(yùn)氣，賭場相信的卻是數(shù)學(xué)。一個(gè)癡迷于發(fā)財(cái)夢的賭徒永遠(yuǎn)不明白，與自己對賭的不是運(yùn)氣，也不是莊家，而是狄利克雷、伯努利、高斯、納什、凱利這樣的數(shù)學(xué)大師。今天，我們就來聊聊為什么說你永遠(yuǎn)贏不了“凱利公式”？
凱利公式的前世今生
凱利于1923年出生在美國德克薩斯州，1953年獲得物理學(xué)博士學(xué)位后，去了號稱諾獎(jiǎng)批發(fā)部的貝爾實(shí)驗(yàn)室工作。在貝爾實(shí)驗(yàn)室中，他認(rèn)識了好友兼同事，著名信息論創(chuàng)始人的克勞德·香農(nóng)。1956年凱利受到香農(nóng)信息論的啟發(fā)，在《貝爾技術(shù)系統(tǒng)期刊》中發(fā)表了一篇名為《對信息傳輸速率的新解釋》的論文。然而這并不是論文原來的標(biāo)題，原標(biāo)題更有意思，叫《信息論與賭博》。因?yàn)楣靖邔佑X得這樣的標(biāo)題有損公司道德形象，才被迫他換了一個(gè)新名字。但凱利的初衷確實(shí)是以一個(gè)棒球比賽的賭徒視角，去思考如何合理押注才能讓資產(chǎn)得到最大指數(shù)的增長。雖然標(biāo)題不嚴(yán)肅，但論文的證明過程卻相當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)。凱利公式正是在這樣的背景下提出來的，它指出在一個(gè)期望收益為正的重復(fù)性賭局或者重復(fù)性投資中，每一期應(yīng)該下注的最優(yōu)比例。
凱利公式長啥樣
上面這個(gè)式子便是凱利公式的廬山真面目，在公式中，各參數(shù)代表的意義為：
f=應(yīng)投注的資本比值；
p=獲勝的概率；
q=失敗的概率，即1-p；
b=除去本金外計(jì)算的賠率。
公式上面的分子bp-q代表“贏面”，數(shù)學(xué)中也叫“期望值”。什么才是不多不少的合適賭注呢？凱利告訴我們要通過選擇最佳投注比例才能長期獲得最高盈利?？赐赀@個(gè)公式你可能還有點(diǎn)懵，下面我們來舉個(gè)例子。
假如甲乙兩人玩投骰子游戲，投到1、2、3甲贏，投到4、5、6乙贏，每次游戲下注10元。贏了拿走30元，輸了就沒有錢拿。那么，對于雙方來說：
p=0.5；q=0.5；b=
；
如果你有100元錢，根據(jù)公式：f= [（2*0.5）-0.5] /2 = 25%
也就是說，在這種勝率下，你可以投25元錢試試手氣最合理。賭場的操盤者在每一次下注時(shí)，都會謹(jǐn)記數(shù)學(xué)原則，而作為普通的賭徒，除了心中默念“菩薩保佑”外，哪里知道這后面的數(shù)理知識。所以，就算你贏得了財(cái)神爺?shù)闹С?，但你也永遠(yuǎn)贏不了“凱利公式”。
看得到的是概率，看不見的是陷阱
我們知道，大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象背后，其實(shí)藏著某種必然規(guī)律，這也許就是我們這個(gè)世界的潛在規(guī)律和運(yùn)行法則。以拋硬幣為例，當(dāng)投擲次數(shù)足夠大時(shí)，出現(xiàn)正（反）面的頻率將逐漸接近于1/2，且隨著投擲次數(shù)的增加，偏差會越來越小，如下圖。這是最早發(fā)現(xiàn)的大數(shù)定律之一。
擲硬幣頻率分布圖
從表面概率看，這確實(shí)是場公平的游戲。但這種公平是有一定條件的。大數(shù)定律講究“大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象”，只有足夠多次試驗(yàn)才能使得硬幣正反面出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)之比幾乎等于1/2。可具體多少次才算“足夠多”？才能夠把它用在個(gè)人對賭上？沒有人知道。因?yàn)?，概率論給出的答案是——無窮大。把“大數(shù)定律”當(dāng)“小數(shù)定律”，覺得游戲是無條件“公平”的，正面和反面出現(xiàn)的頻率都為1/2。這種在潛意識里被奉為圭臬的“公平”，緊接著讓你踏入了第二個(gè)誤解——“賭徒謬誤”。
賭場謬誤的來源是因?yàn)閷⑶昂蠡ハ嗒?dú)立的隨機(jī)事件當(dāng)成有關(guān)聯(lián)而產(chǎn)生的。怎么樣算是獨(dú)立的隨機(jī)事件呢？比如說，拋硬幣一次，是一個(gè)隨機(jī)事件；再拋一次，是另一個(gè)隨機(jī)事件。兩個(gè)事件獨(dú)立的意思是說，第二次的結(jié)果并不依賴于第一次的結(jié)果，互相沒有關(guān)聯(lián)。道理容易懂，但有時(shí)仍會犯糊涂。比如說，當(dāng)你用硬幣接連拋了5次正面，到了第6次，你可能會認(rèn)為這次正面出現(xiàn)的概率更小了（＜1/2），反面出現(xiàn)的概率更大了（＞1/2)。也有人是逆向思維，認(rèn)為既然5次都是正面，也可能繼續(xù)是正面(也被稱為熱手謬誤)。實(shí)際上這兩種想法，都是掉進(jìn)了“賭徒謬誤”的泥坑。也就是說，將獨(dú)立事件想成了互相關(guān)聯(lián)事件。
數(shù)學(xué)家愛德華·索普（Edward Thorp）曾經(jīng)應(yīng)用凱利公式，在賭場賺了幾十萬美元，并且寫了一本名為《擊敗莊家》的書。但是賭場也不傻，不會坐以待斃，把索普列入黑名單，并修改了21點(diǎn)游戲的規(guī)則，于是重新確立概率優(yōu)勢。由此看來，對我們普通人來說，要想真正贏得人生這場賭局，法則只有一個(gè)：不賭。
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