4小時(shí)前
群論
我剛才費(fèi)勁講了半天都是比較淺顯的東西，現(xiàn)在稍微進(jìn)入有一點(diǎn)深度的東西是群。我們老祖宗有一句話，叫“物以類聚人以群分”，你看這個(gè)成語多酷，群是用來給物分類的，這門學(xué)問都在這兒呢。
那么這一門學(xué)問有沒有呢？我們看法國有一個(gè)電影，三部連續(xù)劇，第一部是《棋牌在哪里》，第二部是《人們又找到棋牌》。這里面有一個(gè)故事，一個(gè)德國兵逮了兩個(gè)法國俘虜，讓他們?nèi)績深^奶牛過來，給俘虜?shù)姆▏姽賯兒扰Ｄ獭５桥２宦犜?，結(jié)果牛跑散了，兩個(gè)法國人也跟著跑散了，押解的德國士兵們就不干了，說“Gruppieren”，就是德語的“組織起來，你們不許跑”。法國人聽不懂，Gruppieren是什么意思？Ah,
Gruppiere（群）, Ca veut dire
Ensemble(集合，系綜)。我明白了，德國人說的Gruppiere，就是法國人說的集合系統(tǒng)。你看“集合”這個(gè)概念就是中國漢語統(tǒng)計(jì)物理書里面最難的東西，所以叫系綜，我們把它翻譯成“系綜”了，其實(shí)在法語里面統(tǒng)計(jì)系綜和數(shù)學(xué)的集合是一個(gè)詞。為什么我們學(xué)東西都是那么費(fèi)勁，很多人家一個(gè)詞在中國，同一門學(xué)科里面都分成不同的詞。數(shù)學(xué)物理，又單獨(dú)地不同地翻譯，讓我們學(xué)習(xí)得苦死了，現(xiàn)在我們就明白了有一個(gè)Group，叫群的東西，群的這門學(xué)問加上微積分、加上變分法、微積分方程，就是我們學(xué)物理人必備的四大數(shù)學(xué)工具。
經(jīng)常有人把物理學(xué)，把我們的宇宙比喻成一個(gè)毯子，毯子上邊有特別漂亮的圖案，這些圖案是對稱的。但是怎么描述一個(gè)毯子，或者怎么織布的圖案，就要用群論。比方說關(guān)于布上的花樣，就只有17種空間群。大家都想象不出來我們中國的老祖宗有多聰明，二維平面布的花樣或者窗欞的花樣，只有17種空間群。如果大家有空到寧波的天一閣，你看它的窗欞，它幾乎17種空間群的窗欞都有的，甚至在最后有一面墻上，把這些窗欞放到一面墻上給你一個(gè)總結(jié)，讓你看清楚。這些都有，但是沒人懂這個(gè)。
過去幾年我講了相對論、量子力學(xué)，我突然發(fā)現(xiàn)這些智慧都在老祖宗里面。比如說相對論，我們北京西山大覺寺乾隆皇帝提的字，提的八個(gè)字的匾：“無去來處，動(dòng)靜等觀”，就把相對論的精髓全說清楚了。葛洪的抱樸子里面有枉曲直湊，就是說你把直的給它弄硬弄彎了，就弄成曲的了。過去做車轱轆，你不都用直的木頭一點(diǎn)一點(diǎn)彎，彎成這樣的曲的嗎，所以說枉曲直湊，這一句就把微分幾何的所有思想說清楚了。那么今天關(guān)于群論的，物以類聚人以群分，這個(gè)出自于《戰(zhàn)國策》。所以看著這幾個(gè)相對論、微分幾何、群論，我特別感慨老祖宗什么道理都說的那么深刻，怎么沒本事把它發(fā)展成一個(gè)學(xué)問體系呢？最深刻的思想全說清楚了，怎么不把它弄作一個(gè)理論呢。
現(xiàn)在看群，群就是一個(gè)集合，一堆東西。這一堆集合里面元素可以互相乘，就是乘法。大家又學(xué)了一種新的乘法。這個(gè)乘法的結(jié)果還是在這個(gè)集合里面，這個(gè)就叫群。所以群是這樣的元素，乘法結(jié)果除了還在集合里面，肥水不流外人田以外，還滿足三個(gè)條件，第二條是要滿足結(jié)合律，這點(diǎn)很重要；第三條要滿足有單位元，就有一個(gè)東西乘不變，也就是說我們平常自然數(shù)乘法里要有個(gè)1；第四條是要有個(gè)逆，就是有一個(gè)東西乘了以后，再乘上另外一個(gè)元素等于沒變。它是一個(gè)特殊的集合，這個(gè)集合的乘法要有逆。就有點(diǎn)像我們的電梯，有些電梯按錯(cuò)了就不讓你逆了，但有些單位的電梯就有逆，你按8樓錯(cuò)了，再按一下就回來了。這一類有特殊的乘法的集合就是群。
其實(shí)群大家都熟，比如說平常的自然數(shù)，加法當(dāng)作乘法的話，任意兩個(gè)數(shù)相加，還在這里面，它就在這個(gè)集合里面；加法滿足結(jié)合律就不說了，一定有一個(gè)單位元，單位元是0，因?yàn)槿魏我粋€(gè)數(shù)加上0，還等于它本身，沒變；每個(gè)數(shù)都有一個(gè)負(fù)數(shù)，是它的逆，你看這樣就滿足了。然后復(fù)數(shù)的乘法，1，-1，i，-i，這四個(gè)元素你用復(fù)數(shù)的乘法的話，乘積結(jié)果一定在里面，一定滿足；然后有單位元1，也都有逆，你看見了沒有，這些集合就叫群。你發(fā)現(xiàn)x4=1的四個(gè)根就構(gòu)成了群，或者剛才說的四元數(shù)都加上正負(fù)號，這八個(gè)元素就是Q8群。這些群都會(huì)在自然界里面有對象，能夠讓我們描述它的性質(zhì)。
不跟大家講細(xì)節(jié)了，只是告訴大家剛才我們有群這個(gè)東西，只告訴大家群元素貌似是等價(jià)，但是請大家記住，群里面一定有更深層次的結(jié)構(gòu)。有點(diǎn)像我們說你是哪兒的，我是物理所職工，物理所職工上千號。從物理所職工，這個(gè)角度大家都是等價(jià)的。但是不對，里面一定有各種各樣的結(jié)構(gòu)，理解這樣的結(jié)構(gòu)才算理解了這個(gè)群。我們對別的單位與社會(huì)的理解，我們都是中國人，但是中國社會(huì)有各種各樣的小的區(qū)域，有不同層次的事情，你只有理解不同層次的小結(jié)構(gòu)，才說明你理解了這個(gè)社會(huì)的問題。這個(gè)思想非常重要。
那么有了這樣的一個(gè)群論的角度，拉格朗日考慮了“子群陪集”，就是所謂的商群，就是用來理解伽羅華說的一元五次方程沒有解的原因，給一般聽眾解釋實(shí)在是太費(fèi)勁了，我也不講了，比較專業(yè)的同志們等著看PPT吧。
李群、李代數(shù)與規(guī)范原理
現(xiàn)在要給大家講一個(gè)重要的東西，如果這個(gè)群元素不是剛才那種分離的，而是連續(xù)的，這叫做李群，李群的子群是正規(guī)子群，商群子群則帶來纖維叢理論。規(guī)范場與纖維叢理論一樣，是由中國人領(lǐng)先做出來的重要成果。規(guī)范場論從楊振寧先生而來，纖維叢就是南開大學(xué)的陳省身先生提出。我當(dāng)年讀的時(shí)候覺得很費(fèi)勁，我后來想，什么是纖維叢？就是毛豆腐，上邊長了毛毛，就是纖維，下面就是基空間，這并不是很難懂的東西，換算成數(shù)學(xué)的概念就行了。所以請大家記住，學(xué)這些東西，能把他們看作是具象的東西就能理解的好一點(diǎn)。
現(xiàn)在給大家舉個(gè)例子，群這個(gè)東西為什么有用，我們看一個(gè)正三角形，三個(gè)頂點(diǎn)是1、2、3，你可以做什么操作？你把1、2換一下，2、3換一下，或者繞1、2、3繞120°或者1、2、3繞240度，這個(gè)正三角形都不變，也就是說正三角形就有6個(gè)操作，不動(dòng)是一種操作，第二個(gè)是過三個(gè)頂點(diǎn)的鏡面，第三個(gè)繞120°、240°旋轉(zhuǎn)。這六個(gè)操作，既可以表示成1、2、3的替換，也可以表示成這樣6個(gè)這樣的矩陣，這告訴我們什么事情呢？告訴我們群可以有不同的表示。
所以如何表示群，是群論重要的性質(zhì)或者是重要的學(xué)問。有人說還是不懂，我再給你舉一個(gè)簡單的例子，我們大家都知道觀音菩薩，你看有千手觀音，降魔的時(shí)候是一個(gè)兇狠的形象，可是觀音菩薩還負(fù)責(zé)什么？觀音菩薩還負(fù)責(zé)送子，觀音菩薩是原佛教里的次行道人，次行道人是男性，男性來送子總是不太方便，所以人們把他改造成一個(gè)女的，所以如果大家看觀音像就很有意思了，有千手觀音，有帶胡子的觀音，還有送子觀音，各種形象都有，為什么？因?yàn)橛^音能夠聚千般于一像，觀音才能觀世音，聽到我們的悲苦才能及時(shí)做出不同的反應(yīng)，是降魔還是送子?！叭骸币彩?，一個(gè)群有不同的表示，不同表示在不同地方有不同的用。
群論來自不同的地方，最重要的是李群和李代數(shù)，群論來自數(shù)學(xué)各個(gè)學(xué)論，來自代數(shù)、數(shù)論、幾何、分析。在這里我們要提到一個(gè)來自德國
哥廷恩大學(xué)的Klein，Gauss，他有一天突然明白了幾何的分類是要用它的群，他在大學(xué)做了一個(gè)報(bào)告，這個(gè)報(bào)告就是后來數(shù)學(xué)史上重要的愛爾蘭綱領(lǐng)。
李群、李代數(shù)說的是什么意思呢？李群是一個(gè)連續(xù)的群，所以把它表示成指數(shù)函數(shù)的話，指數(shù)函數(shù)如果等于1的話，說明它上面的參量X等于0，所以知道這個(gè)參量就能知道李群是什么樣，這就是所謂的李代數(shù)問題。這個(gè)概念很復(fù)雜，沒法給大家細(xì)講。但是可以舉一個(gè)例子，比如二維復(fù)數(shù)變化連續(xù)群，就是李群，它可以表達(dá)成指數(shù)函數(shù)的形式，通過選擇指數(shù)，可以將二維轉(zhuǎn)動(dòng)表達(dá)成一個(gè)矩陣，這就是李群、李代數(shù)的威力。
為什么要說李群？李代數(shù)呢？因?yàn)檫@個(gè)他們是通向規(guī)范場論的必經(jīng)之路。群里面有什么重要的群呢？一個(gè)是描述二維復(fù)矢量空間的轉(zhuǎn)動(dòng)群叫做SU（2）群，擴(kuò)大一點(diǎn)就是描述三維復(fù)矢量空間長度不變的群叫做SU（3）群，SU（2）群是三個(gè)，Pauli矩陣，剛才已經(jīng)提到了，如果是SU（3）群，除了單位群還多出8個(gè)矩陣，這8個(gè)矩陣就叫做Gell-Mann矩陣，這個(gè)人和什么東西聯(lián)系在一起呢？就是很多科學(xué)愛好者喜歡的名字“夸克”，所以請同學(xué)們要知道夸克用這8個(gè)矩陣描述，才算知道夸克。
接著往下說。物理理論，一開始從觀察、構(gòu)造公式開始，但是學(xué)到高層次要知道我們的物理理論是從五個(gè)原理開始，比方說我們生活的社會(huì)里面作為一個(gè)中國人要愛國，愛國就是原理性要求。經(jīng)典力學(xué)和光學(xué)就是最小作用量原理，熱力學(xué)就是Carnot原理，這個(gè)原理容易講清楚，就是凡不以干活為目的的傳熱都是浪費(fèi)，或者不以做工作為目的的上班都是浪費(fèi)，但是就是這樣一個(gè)簡單的原理，如果說不是工作中的傳熱都叫做浪費(fèi)的話，一個(gè)熱機(jī)工作就是兩個(gè)等分過程或者兩個(gè)絕熱過程，這個(gè)過程本身叫做可逆過程?？赡孢@個(gè)活兒就得倒著干，我們從高溫吸收熱量，從低溫釋放出去，讓機(jī)器做工，既然可逆，我就可以通過干活把熱量從低溫轉(zhuǎn)移到高溫處，人類就這樣知道什么叫制冷了，從原理出發(fā)的科學(xué)威力是極大的。
相對性原理告訴我們物理公式和你觀察的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、用什么坐標(biāo)系沒有關(guān)系，跟參照誰沒有關(guān)系，跟你的坐標(biāo)系沒有關(guān)系，你的物理定理要表達(dá)成這個(gè)形式，這就叫相對論。
除了這三個(gè)，學(xué)物理還要學(xué)一個(gè)規(guī)范原理，什么叫做規(guī)范原理？來自于這個(gè)法國人，這個(gè)法國人許多人可能不知道，但是他愛人大家都知道，就是居里夫人。居里先生對物理學(xué)貢獻(xiàn)有很多，請大家記住物理上凡是帶居里的都是居里先生。居里先生給物理學(xué)帶來最大的貢獻(xiàn)，我個(gè)人認(rèn)為就是她1894年的認(rèn)識，他發(fā)現(xiàn)描述存在的對稱性數(shù)學(xué)對象應(yīng)該作為物理學(xué)研究對象，剛才學(xué)的矩陣、轉(zhuǎn)動(dòng)數(shù)學(xué)描述，1894年居里先生說這本身應(yīng)該是物理學(xué)的研究對象，從此開啟了一個(gè)用對稱性決定大自然里面相互作用是什么樣的時(shí)代，理論物理開啟了新的時(shí)代，固體物理開展了一個(gè)新的時(shí)代。
這個(gè)思想產(chǎn)生后，德國人尤其是哥廷恩大學(xué)的人如，F(xiàn)elix
Klein、Emmy等等馬上把群論用到科學(xué)上。靜力學(xué)、固體物理、理論物理都用。這個(gè)地方有兩個(gè)大神，一個(gè)是愛爾蘭大學(xué)到哥廷恩工作的，一個(gè)是哥廷恩畢業(yè)的學(xué)生，這個(gè)人有多厲害呢？在哥廷恩1918年校內(nèi)的一篇雜志，幾乎涵蓋了近代物理的大量內(nèi)容。在1926年薛定諤寫出量子力學(xué)方程，但是1928年Herrman Weyl寫出了群論與量子力學(xué)，配上1931年Wigner群論及其原子譜量子力學(xué)應(yīng)用，這些是讓量子力學(xué)成為一門大學(xué)問兩部重要的文章。
Weyl這個(gè)人學(xué)問有多大呢？Weyl 1928年寫這個(gè)書的時(shí)候竟然知道中國成都文竹院，對稱性這本書里面他插圖第63就是成都文竹院的窗子，多少人去文竹院看不懂窗子里面的花樣。
群論有多困難呢？今天聽講座的朋友肯定說我沒有聽懂，為什么你沒有聽懂？因?yàn)橐涣魑锢韺W(xué)家都不懂，當(dāng)這兩位老兄把群論引到量子力學(xué)的時(shí)候，德國為中心的一流物理學(xué)家也是不懂的，他管群論叫什么？這些物理學(xué)家管群論叫做“群瘟”！所以我就很感慨，一流物理學(xué)家對于自己沒有本事理解的學(xué)問一點(diǎn)也不免俗去貶低，請大家理解，這是正常的心理狀態(tài)，當(dāng)我們不能理解它的時(shí)候就貶低它。
在1918年，這時(shí)歐洲大瘟疫流行，流行到歐洲世界大戰(zhàn)主要參加國都打不動(dòng)仗了，1918年第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束了。但是它在科學(xué)上非常重要，1918年以前愛因斯坦已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了量子力學(xué)，狹義相對論，但是在1918年，德國哥廷恩有一個(gè)女老師寫了一篇文章，這篇文章叫做不變的變分問題，就是這篇論文建立了對稱性和物理的守恒律關(guān)系，讓物理學(xué)跨入了一個(gè)新時(shí)代，是對稱性決定相互作用的時(shí)代，我們經(jīng)常說誰的文章有劃時(shí)代的意義，這一篇就是有著劃時(shí)代的意義。
規(guī)范場論的誕生
1918年，同樣是從哥廷恩大學(xué)畢業(yè)的，在瑞士ETH任教的和愛因斯坦交好的數(shù)學(xué)家外爾開始研究物理，為什么？給廣義相對論夯實(shí)基礎(chǔ)。他的導(dǎo)師是哥廷恩大學(xué)的希爾波特，希爾波特年輕的時(shí)候接受了一個(gè)任務(wù)，給數(shù)論寫綜述文章，但是寫的過程發(fā)現(xiàn)數(shù)論基礎(chǔ)很不扎實(shí)，所以給數(shù)論再次奠定了個(gè)基礎(chǔ)。外爾給廣義相對論寫綜述，說愛因斯坦不懂?dāng)?shù)學(xué)，給愛因斯坦廣義相對論奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這個(gè)結(jié)果就帶出了規(guī)范場論。
這篇文章思想就是物理學(xué)由哈密頓原理來，函數(shù)積分作用量最小才是物理的現(xiàn)實(shí)，這就是哈密頓原理。她注意到讓積分最小，就有特殊的對稱性，特殊的對稱性就是常見的時(shí)空對稱性，這是愛因斯坦的相對論。她是學(xué)數(shù)學(xué)的，她說如果有別的對稱性呢？比如時(shí)空對稱性就是能量守恒、動(dòng)量守恒，這個(gè)大家都知道，她說如果有抽象空間對稱性就能引出新的物理，這就是規(guī)范場論。這個(gè)女士是學(xué)文的，今天有很多同志問我學(xué)文科能不能聽懂，我們看看文科怎么創(chuàng)造出數(shù)學(xué)物理的。這女孩1882年出生，大學(xué)學(xué)外語法語、英語，畢業(yè)以后本要到中學(xué)當(dāng)老師的，可是分配工作的時(shí)候不甘心當(dāng)一位老師，跟她父親說我還是喜歡數(shù)學(xué)，她爸爸本身是大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，她說既然女兒愿意學(xué)數(shù)學(xué)，那就學(xué)。6年以后就到了1918年，這位女士給了我們劃時(shí)代的數(shù)學(xué)成果，后來被稱為近世代數(shù)之父。這個(gè)地方叫做抽象空間對稱性，抽象空間對稱性是什么東西？日常生活里面有，只是你不注意而已。
給大家看一只小蟲子，很漂亮，叫做“圣誕樹蟲”，仔細(xì)看它是螺旋的，但是這兩粒在一起的時(shí)候一定是相反方向旋的，你明顯能夠看到時(shí)空方面的對稱性，一個(gè)是左旋一個(gè)是右旋。它有沒有抽象空間對稱性呢？有，顏色，赤橙黃綠…假如七種顏色，這就是七維空間對稱性顏色。
可能有人認(rèn)為顏色這個(gè)東西也是我們眼睛看到的，不算抽象對稱性，但是某種意義上顏色就是抽象空間對稱性，學(xué)量子物理的時(shí)候給夸克分類的時(shí)候用的就是顏色，還有量子色動(dòng)力學(xué)。如果這個(gè)不算抽象空間對稱性，那么還有一個(gè)抽象空間對稱性，一它的很深，就是這對圣誕樹蟲一定是一公一母。知道如何描述它的時(shí)空對稱性就是相對論，知道如何描述抽象空間相對論，那個(gè)就叫規(guī)范場論。
中國話里面規(guī)、范、模、具早就都有，它為什么在物理上重要呢？比如大家都熟悉的溫標(biāo)，對于溫度你是可以給它不同的標(biāo)度，但是不管標(biāo)度怎么給，不可以違背物理定律，就是各種值高的東西，一定是往熱量低的地方流，只要這個(gè)物理不錯(cuò)，你給出的溫度標(biāo)就都是合理的，這就是標(biāo)度的問題，所以規(guī)、矩、模、范跟這些東西都有關(guān)系。原來說買錢不買范，這是做錢的范，是國家的，不能弄一套在家藏著。但是學(xué)物理的正好相反，是買范不買錢，因?yàn)槟阗I錢各種各樣現(xiàn)象太多了，但是理解它的范，理解理論最深的骨架，這叫學(xué)物理。
規(guī)范場論中的重要意義
什么叫規(guī)范自由度？做微分的時(shí)候知道，一個(gè)積分結(jié)果等于某個(gè)函數(shù)，但要加一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)不影響這個(gè)方程，這個(gè)叫做規(guī)范自由度。經(jīng)典力學(xué)里面Euler-Lagrange方程，隨便加上一個(gè)函數(shù)對于時(shí)間的微分，也都不影響這個(gè)方程。這是大家都熟悉的一個(gè)事實(shí)，可是又有人想，既然這個(gè)東西有這樣一個(gè)自由度，隨便加上這個(gè)函數(shù)，方程自由度都不變。那么反過來想，某一個(gè)東西隨便加上什么樣的函數(shù)不變的，對它意味著什么？這就是規(guī)范場思想，意思是當(dāng)你享受某種自由的時(shí)候，其實(shí)它同時(shí)意味著某種限制？這就是規(guī)范場論最核心的思想。大家工作的時(shí)候，如果領(lǐng)導(dǎo)說由你全權(quán)處理，充分自由，你千萬別把它理解為充分自由，這個(gè)特殊的自由就意味著特殊的約束，這就是規(guī)范場論深刻的思想。大家一定要記住這個(gè)反向思維，而特殊的自由必然是意味著特殊的要求。
舉個(gè)簡單的例子，比如硬幣正反面，哪個(gè)叫正面，哪個(gè)叫反面？沒有關(guān)系，約定好了大家都認(rèn)可就可以了。但是我們一般認(rèn)為它的約定規(guī)定1是正面，2是反面的話，換一個(gè)地方它還是1是正面、2是反面。規(guī)范自由度可以是局域自由度，就是這兩個(gè)硬幣規(guī)定1是正面，另外一個(gè)地方可以規(guī)定2是正面，這個(gè)也不影響物理，這個(gè)就叫做規(guī)范自由度的局域自由度，也就是我們說的十里不同俗，你們這個(gè)村規(guī)定一定是正面，我們村一定規(guī)定是背面，但是都不影響經(jīng)濟(jì)、不影響花錢，這是規(guī)范自由度，這個(gè)自由度一些年齡大的人很能理解，就是當(dāng)年的地方糧票，每個(gè)省每個(gè)市都發(fā)自己的糧票，你的糧票允不允買細(xì)糧都是各地方規(guī)定，你的規(guī)定不影響我的。
規(guī)范自由度有哪些呢？有一個(gè)簡單的例子就是圓柱，繞它的軸整體轉(zhuǎn)一個(gè)角度的話，不管轉(zhuǎn)多少角度它還是那個(gè)圓柱。但是設(shè)想你把圓柱切成不同的薄層，每個(gè)薄層隨便轉(zhuǎn)成不同的角度看起來也還是圓柱，這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是局域的，選多少度跟別的地方?jīng)]有關(guān)系。對于球殼也是一樣的，球殼可以有兩個(gè)獨(dú)立的角，轉(zhuǎn)過來還是球殼，把球體分成不同的球殼，不同的球殼獨(dú)立轉(zhuǎn)過來兩個(gè)角這還是一個(gè)球，這就是規(guī)范自由度，從這個(gè)角度去看，我們可以發(fā)現(xiàn)電磁理論正是有這樣一個(gè)規(guī)范自由度的。
對規(guī)范自由度來講，如果你對它加一個(gè)規(guī)范后，它就能針對特定的規(guī)范有一個(gè)特定的形式，所以既然有這個(gè)規(guī)范自由度，我們就要充分利用這個(gè)自由度，加規(guī)范看變成什么樣子，變成不同樣子的方程。但是它的樣子不一樣就能看到不同的物理，比如我們的電磁學(xué)方程組，當(dāng)你選擇Lorenz規(guī)范的時(shí)候，它有一個(gè)自由度，你現(xiàn)在用它限制自由度的時(shí)候，方程就變成了琴弦震動(dòng)的方程，于是人們猜測電磁這個(gè)現(xiàn)象能夠產(chǎn)生電磁波？既然電磁波在這個(gè)地方對應(yīng)速度，這個(gè)速度算出來以后發(fā)現(xiàn)和光速差不多，難道電磁波是光？光速有兩個(gè)不同的參數(shù)計(jì)算，它沒有參照系，這是狹義相對論最基本的原理。公式的變化具體過程可能一天都介紹不完，大家知道電磁學(xué)是規(guī)范的理論就行了。
我們知道引力是規(guī)范理論，引力的規(guī)范在哪呢？就在于空間是由能量、動(dòng)量、張量決定的，但是能量、動(dòng)量守恒對應(yīng)的是平移部分，而時(shí)空真正的對稱群大的很，說明這里有大量的自由度。同時(shí)間，微分幾何還有另外一條路徑的發(fā)展，微分幾何另外一條路徑發(fā)展來自于一個(gè)非常重要的人，叫Tullio
Levi-Civita。為什么要講這個(gè)人呢？當(dāng)年愛因斯坦要發(fā)展廣義相對論的時(shí)候，最終決定要用數(shù)學(xué)。而愛因斯坦正是找他教學(xué)了意大利語，愛因斯坦創(chuàng)立完廣義相對論，他從微分幾何的重要奠基人，成為廣義相對論的重要專家。我為什么說這些呢？尤其是做學(xué)問的，不管這個(gè)世界上誰需要你幫助，請大家記住一定要去幫助別人，幫助別人的過程是你在做事情的過程，收獲的不是那個(gè)人的感謝，是你做這個(gè)事情過程當(dāng)中的所得。
但是這一點(diǎn)要跟大家強(qiáng)調(diào)清楚，關(guān)于引力的微積分方程，????2 = ??????????????????里你看這個(gè)表達(dá)式，和剛才學(xué)的一元二次方程方程結(jié)構(gòu)是一樣的，是x=c1，與bx=c2這兩個(gè)東西怎么融合在一起的問題。而引力與電磁場的規(guī)范場論，與解決把這兩個(gè)東西加到一起的問題，本質(zhì)上是一樣的，差別在一個(gè)是微分的，一個(gè)是實(shí)數(shù)的。
所以有人嘗試將矢量平移和內(nèi)積的表示方式進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，對應(yīng)不變量正好是電磁學(xué)方程，所以帶來一個(gè)重要的認(rèn)識，電磁學(xué)不是獨(dú)立現(xiàn)象，是引力伴隨現(xiàn)象，就是蘋果掉到地上，砸到頭，這是引力現(xiàn)象，而摩擦生電，或者電火花發(fā)光，這些電磁現(xiàn)象竟然是引力的伴隨現(xiàn)象。
所以，在1918年發(fā)表的一篇文章，里面第一次使用了“規(guī)范”的概念。我再提醒大家，規(guī)范與校準(zhǔn)、校驗(yàn)、定標(biāo)，這些詞都是聯(lián)系在一起使用。也就是要給這個(gè)稱上加定盤心，告訴你這個(gè)地方的讀數(shù)該是多少。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的秤錘，但是秤鉤有兩套，所以上邊表示幾斤的標(biāo)度也有兩套，而且最重要的從這兒一定是越來越細(xì)，不能是等粗，而秤心也不是等間距的，這里面涉及的學(xué)問就是物理學(xué)最深刻的學(xué)問，請大家千萬不要小看物理量校準(zhǔn)與測量，這才是最深刻的學(xué)問。
我認(rèn)為，說得清楚中國杠桿的原理，你就懂得物理的一半。給我們創(chuàng)造數(shù)學(xué)與物理的大神都在哪兒工作，看看龐加萊，他是數(shù)學(xué)全才，但他是鐵路工程師，在法國的長度標(biāo)準(zhǔn)局。愛因斯坦給我們帶來廣義相對論、相對相對論，愛因斯坦在哪兒工作呢？他在瑞士伯爾尼專利局，為什么審專利能夠做出相對論呢？因?yàn)槟菚r(shí)候最重要的就是鐘表校準(zhǔn)的問題，而愛因斯坦就是考慮火車上的鐘表與火車站的鐘表，如何校準(zhǔn)的問題，得出一個(gè)微分方程，這個(gè)微分方程的解就是電磁學(xué)的規(guī)范變換、洛侖茲變換，這是愛因斯坦成名的原因。而我們所謂的科普書里面永遠(yuǎn)不會(huì)說到這一點(diǎn)，你為什么不知道愛因斯坦的偉大，光看科普書，永遠(yuǎn)不知道為什么不知道一流科學(xué)家會(huì)接受專利局職員的工作。
再看，你不知道巴黎長度標(biāo)準(zhǔn)局到底有多大的意義，請看這一套東西，這是北斗系統(tǒng)，請問巴黎長度標(biāo)準(zhǔn)局與北斗系統(tǒng)有什么關(guān)系？北斗系統(tǒng)最上邊最值錢的原子噴泉鐘，原子噴泉鐘的概念來自于巴黎長度標(biāo)準(zhǔn)局，你學(xué)會(huì)了原子噴泉鐘，而人家這個(gè)地方產(chǎn)生概念，這就是我們科技要追趕的距離。
外爾將規(guī)范理論整理成一篇文章，有電磁場的時(shí)候從一點(diǎn)挪到另一點(diǎn)，長度有變化，這篇文章是愛因斯坦審稿，愛因斯坦說這個(gè)理論是不對的。為什么？如果這個(gè)理論對的話，原子性質(zhì)就依賴于它經(jīng)過的路徑，原子波長是不同的，那么過兩天原子就變的不一樣。但是我們的世界不是這樣的，原子是穩(wěn)定的，原子波長是定的。愛因斯坦的審稿意見最后是：但是這篇文章的深度和理性是我們每個(gè)人都要充滿敬意看待的，這審稿意見多么高情商。
可是，大家想象一下，像這么好的理論難道沒用嗎？誰來拯救他呢？拿什么拯救？后來這樣的一個(gè)理論就被薛定諤、倫敦他們這些人拯救了。拿什么拯救呢？老量子力學(xué)與新量子力學(xué)。
第一個(gè)拯救的人是薛定諤。薛定諤是奧地利維也納大學(xué)教授，當(dāng)時(shí)在瑞士訪問，這么好的理論哪能無視呢？他從外爾能量量子化的概念，發(fā)現(xiàn)外爾表達(dá)式有道理，他說很難相信這個(gè)量子化條件是偶然結(jié)果，而沒有深刻的意義，他提出了修改因子γ的建議。1926年，得出來了量子力學(xué)基本方程，也就是“薛定諤方程”。
他寫出量子力學(xué)方程，怎么證明對呢？要舉一個(gè)例子，用來解氫原子的方程，一般的量子力學(xué)書都會(huì)告訴這個(gè)解是什么，大家看這個(gè)解算復(fù)雜吧。我當(dāng)年學(xué)量子力學(xué)的時(shí)候背這個(gè)公式，有一天我看了原文發(fā)現(xiàn)，薛定諤雖然是維也納數(shù)學(xué)物理教授，他也不會(huì)解。誰解的呢？就是剛才的規(guī)范場的人幫他解的。恰恰我們會(huì)發(fā)現(xiàn)就是薛定諤這兩個(gè)方程救了他的理論，所以請大家記住幫同臺(tái)僚就是幫自己，幫別人不是讓別人付錢說謝謝，同事有一個(gè)值得幫的機(jī)會(huì)，幫的過程當(dāng)中自己的提高與獲得，那是你的收獲。這個(gè)方程出來之后，當(dāng)年，一個(gè)俄國人說，我們現(xiàn)在有薛定諤的方程，把薛定諤方程與電磁學(xué)規(guī)范場論放在一起，不就有電子與量子力學(xué)的電磁場理論了嗎，這就是規(guī)范場論了。
一個(gè)叫Fritz London的人明確指出相因子的概念，路徑不可積分，但是在每一點(diǎn)的規(guī)范尺度是唯一的。這使得外爾的理論包含了通往波動(dòng)力學(xué)的邏輯之路。不可積因子同電磁理論聯(lián)系沒有問題，但是不能當(dāng)作時(shí)空的尺度因子，而應(yīng)該是當(dāng)做波動(dòng)力學(xué)的相因子。
外爾電磁學(xué)與引力的規(guī)范場論
規(guī)范場論不再往下講了，接下來介紹更重要的：外爾電磁學(xué)與引力的規(guī)范場論，1929年外爾又寫了一篇長論文，Pauli先是諷刺，但是看他到寫的長論文的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)外爾寫的非常有道理。Pauli理解了外爾思想之后，1933年在物理學(xué)手冊上把論文表述很清楚，表述清楚到什么程度呢？清楚到不仔細(xì)的人，以為這個(gè)理論是他的。但是沒事，這是規(guī)范場論，我們之前就知道引力是規(guī)范場論，這些東西雖然很神奇，沒有帶出新東西，新東西還在醞釀中，是什么呢？就是關(guān)于原子核里面的作用，原子核里面有質(zhì)子中子，它們?yōu)槭裁创谝黄鹉?？Pauli的同門海森堡提出了別的對稱性，比如說同位旋，同位旋角度下看質(zhì)子中子有對稱性，是同一個(gè)矢量的兩個(gè)分量等等。
我們用這些思想看原子核的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)特別有趣的現(xiàn)象，剛才說同種正電荷靠的近，是強(qiáng)相互作用造成的。原子核里面有質(zhì)子中子，質(zhì)子、中子可能會(huì)跑出來，比如產(chǎn)生α粒子，這很好理解?？墒菑睦锩孢€跑出電子，電子哪兒來的，原子核里沒有電子。這說明什么？質(zhì)子中子電子有弱的相互作用。這里面還跑出光子，里面沒有光，光的過程一定是在哪個(gè)過程產(chǎn)生的，因?yàn)楣馐请姶挪?，所以這個(gè)地方可能有電磁相互作用，所以我們可以判斷原子核這么小的地方里面有強(qiáng)相互作用、弱相互作用，有電磁相互作用，我們相信一定有某種原因使得這些作用同時(shí)存在。
這中間有一個(gè)叫Oscar Klein的人，用五維空間的東西，把這套理論都發(fā)展起來，1938年，他用法語發(fā)表了文章，因此很少人知道他的研究。
接下來我給大家講講安徽省，有人老說江蘇省是散裝省，安徽倒不是散裝省，分三塊，通過淮河和長江的沿線劃分，這三塊是三個(gè)文化區(qū)。中國第一本物理書是明朝的方以智寫的，家是安徽桐城。安徽鳳陽有個(gè)人叫楊克純，他在安徽淮陽縣當(dāng)中學(xué)老師，1922年他的長子在振寧出生，因?yàn)樵谡駥幊錾越袟钫駥帲?945年楊振寧到美國芝加哥大學(xué)攻讀物理博士。1938年的時(shí)候，楊振寧先生在昆明讀中學(xué)，他的父親建議他閱讀1937年出版的“有限群理論”，這個(gè)有限群理論將來出現(xiàn)在外爾的對稱性書里面，1954年楊振寧先生的成名之作“規(guī)范場論”就是外爾的理論。我看這樣的東西，總相信冥冥之中某些人的成就是前面安排好的。
談?wù)撨@個(gè)我不得啰嗦一句，什么樣的人是著名科學(xué)家的問題，能把自己的姓進(jìn)入到科學(xué)里面的。比如說，你的姓和某個(gè)理論、方程、概念綁定了，什么愛因斯坦相對論、諾德定律、歐拉方程、狄拉克矩陣、外爾旋量這是一類。第二類是你的姓被改造成了形容詞，或者形容詞做名詞，比如說牛頓改成Newtonian，Lagrange改成Lagrangian，Laplace是Laplacian，Hamilton是Hamiltonian。楊振寧也被改成Yangian。還有最高水平是姓被改造了好，并且有小寫來代替，比如Abel到abelian，用a來代表。楊先生的工作是什么呢？楊先生關(guān)于規(guī)范場論的工作體現(xiàn)主要是其在1954年、1974、1975年的工作，1974年的文章是最清楚的。具體的工作都列在下面。
楊振寧在做報(bào)告的時(shí)候，Pauli坐在最前排，我們都知道Pauli被稱為物理學(xué)的鞭子，誰做報(bào)告都不客氣。楊先生做報(bào)告的時(shí)候，Pauli說同位旋粒子質(zhì)量問題如何解決呢？楊振寧先生說這個(gè)問題太難了，我們考慮了，沒解決。Pauli說這算什么借口，但第二天他就明白了，對楊振寧先生的工作非常認(rèn)可，第二天Pauli建議楊振寧先生看薛定諤的1932年的文章，薛定諤1932年正式把相對論與狄拉克電子結(jié)合在一起，寫了很了不起的文章。課本中只講薛定諤方程，這其實(shí)不夠全面，在整個(gè)物理學(xué)史上還有很多重要的人。
后來規(guī)范場論誰的表述最好呢，是同時(shí)期的哈佛大學(xué)學(xué)生肖恩，在1954年他的博士論文中將規(guī)范場論論述的特別好，最簡單的指數(shù)函數(shù)，把變量擴(kuò)展成矩陣，擴(kuò)展成2*3矩陣，擴(kuò)展成2*2矩陣，該是什么？這是Shaw的博士論文研究的內(nèi)容。還有一個(gè)沒太被注意的日本人，叫內(nèi)山菱友，他1954年到了普利斯頓研究所，注意到楊振寧先生的工作，才知道自己的工作多么重要，所以趕緊又寫了論文，并引了楊振寧先生的論文，文章在1956年發(fā)表，人們都認(rèn)為他的工作比楊先生晚了很多。但是其實(shí)內(nèi)山的工作由簡單的李群推廣到廣義李群的情形，構(gòu)造了廣義規(guī)范理論，而且條理特別清楚，我建議讀專業(yè)理論的博士，一定要讀內(nèi)山菱友的這篇論文。由于這篇論文是用日語發(fā)表的。因此知名度很低，內(nèi)山菱友的照片都很難找，但是他是特別了不起的日本物理教育家。
四種基本相互作用，強(qiáng)、弱、電磁、引力相互作用，規(guī)范場論都適用，而強(qiáng)相互作用、弱相互作用、電磁相互作用它的對應(yīng)的群，SU（3）、SU（2）、SU（1）都差不多，所以它們統(tǒng)一比較方便，而引力雖然也是規(guī)范場論，但是它的規(guī)范比較復(fù)雜，是龐加萊群。到目前為止還沒有引力和其他三種相互作用的統(tǒng)一，統(tǒng)一就是關(guān)于粒子的標(biāo)準(zhǔn)模型，什么叫做統(tǒng)一呢？就是一個(gè)規(guī)范群中一個(gè)場是不同的粒子場的不同分量，這是非常了不起的理論。
由物理學(xué)發(fā)展產(chǎn)生的啟發(fā)
這個(gè)地方給大家提一個(gè)非常重要的事情，學(xué)問構(gòu)成很重要的就是擴(kuò)展。有學(xué)問，要有能力在平面擴(kuò)展，以及更深層次的擴(kuò)展，和往下深挖擴(kuò)展。對于新的知識接受不是自然而然的接受，很多時(shí)候是不得已，摁著牛頭喝水才接受。今天講的這些事情，從物理說到實(shí)處，以至于引到一元二次方程、狹義相對論，在此過程中都對新的知識都不是自然而然的接受，而是把路走到這個(gè)地方不得已接受。談到工作的時(shí)候，我特別想說，剛才我們說了雖然有些地方升教授強(qiáng)調(diào)獨(dú)立工作，但是真正創(chuàng)造過程中，真正層次上互相有幫助啟發(fā)的合作是非常重要的。
關(guān)于我過去三年里面講的量子力學(xué)、相對論和規(guī)范場論，我請大家記住它產(chǎn)生于瑞士同一個(gè)小鎮(zhèn)子，蘇黎士，這個(gè)小鎮(zhèn)上聚集著外爾、愛因斯坦、薛定諤，這三個(gè)人都是同時(shí)對規(guī)范場論、量子力學(xué)有貢獻(xiàn)的人，薛定諤當(dāng)時(shí)在蘇黎士大學(xué)。愛因斯坦畢業(yè)于Eidgenosse，外爾在這所大學(xué)里面工作，今天隨便把這所大學(xué)翻譯成瑞士聯(lián)邦理工就不能理解這個(gè)學(xué)校的意思，這個(gè)學(xué)校開頭叫Eidgenosse，就是漢語中志同道合的人，這個(gè)學(xué)校名字會(huì)讓你有所感觸。這三個(gè)人他們在一起，湊到一起帶給我們這么深刻的理論，也意味著他們是“同志”。這個(gè)時(shí)期在這個(gè)學(xué)校工作的，還有閔可夫斯基，他對于相對論發(fā)展也很重要。
寫到這兒的時(shí)候我特別感慨，什么是天才，天才不過是受到合格教育的正常人而已，包括在座各位，包括線上那么多同志。非常抱歉和可惜的是我們都沒有受到正常教育。第一個(gè)，科學(xué)巨擘的成長需要什么條件？第一，生來是那塊料子。第二，他碰巧生在有教養(yǎng)的人家，比如楊振寧先生，父親就是美國芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)博士，后來送了他去美國芝加哥大學(xué)讀物理博士。第三個(gè)是長在有文化底蘊(yùn)的地方。第四，年輕時(shí)要上算的上大學(xué)的大學(xué)。最后一條就是成年后身邊有幾個(gè)可以相互砥礪的杰出的朋友同儕，一個(gè)人在成長過程中，湊齊了這幾條可以說以后前途不可限量。
德國一個(gè)小鎮(zhèn)叫哥廷恩，哥廷恩有這么一句話，說哥廷恩之外沒有生活。哥廷恩大學(xué)厲害到什么程度？高斯、韋伯、黎曼、狄里希利、希爾伯特、克萊因、閔可夫斯基、諾特、外爾等，這些都是這個(gè)地方的。我們都知道黎曼只活了40歲，做了15年數(shù)學(xué)，有一種評價(jià)，在19世紀(jì)，黎曼一個(gè)人做的數(shù)學(xué)占當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界一半的貢獻(xiàn)。而且黎曼是學(xué)文科的，他到19歲的時(shí)候還弄不清楚自己要學(xué)語言還是神學(xué)，結(jié)果在大學(xué)里面遇到了高斯老師，老師說你應(yīng)該去學(xué)數(shù)學(xué)，于是他到柏林大學(xué)去學(xué)數(shù)學(xué)。這就是一個(gè)好大學(xué)最重要的標(biāo)配，就是大學(xué)里面要有巨擘，不是你成為那個(gè)老師的學(xué)生，而是你在校園里面能夠遇到他，能夠趕上他，能有那種崇高的理念，這就足夠了。
許多人讀物理，為什么一直讀的不對？就是數(shù)學(xué)學(xué)的不對，經(jīng)典電磁力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)、數(shù)學(xué)基本都是那三個(gè)人創(chuàng)造的，這三個(gè)人中，Hermann
Grabmann是德國中學(xué)老師，又是學(xué)文科的語言學(xué)家，他創(chuàng)造了內(nèi)機(jī)、外機(jī)這些概念。再說Clifford，Clifford享年只有34歲，但是Clifford代數(shù)以及整個(gè)相對論思想，包括引力是物質(zhì)產(chǎn)生的，而物質(zhì)不過是彎曲空間里面的漣漪，以及引力是以彎曲的波的形式傳播這些話都出現(xiàn)在Clifford的書里面。在趕海撿貝殼時(shí)，由于落潮的時(shí)候整個(gè)沙灘上都是起伏的，判斷不出哪個(gè)地方有東西，所以先用工具讓沙灘平變，但是我們說物質(zhì)附近的空間是彎曲的，引力是彎曲波形式，所以捋平的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)有些地方無法弄平，那個(gè)地方就是有物質(zhì)的，有東西的。這是日常生活中簡單的智慧，但是蘊(yùn)含了最深刻的道理。
請大家注意，在學(xué)相對論、規(guī)范場論這種東西時(shí)，一開始是很難，但是你學(xué)著學(xué)著慢慢感覺到它有道理，而且很深刻，就可以為你帶來喜悅，大概就能學(xué)下去了，這也是我學(xué)它的經(jīng)驗(yàn)。
關(guān)于經(jīng)典力學(xué)、方程，請大家一定要讀這些經(jīng)典，關(guān)于規(guī)范場論寫的最好的就是規(guī)范場論《黎明》的一本書，我學(xué)習(xí)過程中，從一元二次方程到規(guī)范場論，我都會(huì)在一本小冊子里面記筆記。再提醒大家，如果讀書都讀那些自己也不懂的人寫的書，你會(huì)越讀越孤獨(dú)的。所以讀書有一個(gè)竅門，當(dāng)你讀一個(gè)東西讀不懂的時(shí)候，最正確的做法不是書讀千遍其意自現(xiàn)，是把這本書扔了換一本，因?yàn)榭傆幸粋€(gè)人能夠把這個(gè)問題講明白，換一本書，而不是在那個(gè)地方死扣，因?yàn)槟莻€(gè)人你看不明白，道理再講也會(huì)不明白。
這就是我給大家的建議，要讀厚重的書，學(xué)深刻的知識，做從前不會(huì)的事情。有一句話在歐洲哲學(xué)里面被濃縮成：“No time to be brief”，這句話特別難翻譯，就是你有時(shí)間干瑣碎的事情，但是沒有時(shí)間干精簡的事情，我也嘗試著翻譯為“人生再難，不可以草草地、匆匆地辜負(fù)”。
結(jié)語
經(jīng)過三年，我們把理論物理三座大山，規(guī)范場論、相對論、量子力學(xué)，都介紹過了。但是這些學(xué)問其實(shí)論難度、內(nèi)涵思想都遠(yuǎn)遠(yuǎn)趕不上經(jīng)典的物理，經(jīng)典的物理才是思想最多的，是數(shù)學(xué)物理創(chuàng)造的東西，經(jīng)典物理是地基性的東西，其他是頂層建筑式的東西，所以真正的學(xué)問應(yīng)該在經(jīng)典。如果有機(jī)會(huì)，我們把經(jīng)典力學(xué)、熱力學(xué)、電磁學(xué)、電動(dòng)力學(xué)人這些知識一點(diǎn)一點(diǎn)從平地建立起來。電動(dòng)力學(xué)是我一直很害怕的東西，它里面的內(nèi)容太深了。這也是為什么在過去三年里面沒有討論它的問題。
給大家看一張圖，問“毛驢拉磨”為什么要蒙眼睛？如果大家學(xué)過廣義相對論就知道，在這樣的空間里面，圓才是最短的，圓是直線，所以給毛驢蒙上眼睛，就是讓毛驢正確的理解認(rèn)識到圓也是直線。所以我今天講的這些東西，大家覺得太難了，不懂，怎么接受它呢？就是把眼睛一蒙，世界就好理解了。你要有這種態(tài)度。學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)物理要用什么呢？要用你的內(nèi)眼看它，有兩個(gè)大神，一個(gè)是Euler，后來眼睛幾乎看不見了，一個(gè)是大神龐加萊，他一輩子眼神都不好，眼神不好的人有內(nèi)眼，有計(jì)算能力，躺在床上，可以在腦子里面把論文推導(dǎo)出來，這恰恰是其他人做不來的事情。
我這個(gè)講座之所以講那么深刻的東西，不是說能夠讓年輕人都看懂，因?yàn)槲易约阂膊欢?，我自己不懂也不能完全講懂，但是我希望你們聽說過。我特別希望有一天在這片土地上成長起來的，從小愿意學(xué)習(xí)深刻學(xué)問的少年，也能夠像楊振寧先生，像今年95歲的李政道先生一樣，為人類的數(shù)學(xué)和物理做出不可磨滅的貢獻(xiàn)。
你們聽說過這首歌吧？《Santa Lucia》，我嗓子不會(huì)唱歌，但是給大家稍微哼一下，這首歌是專門到諾貝爾獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)叻块g里面唱的意大利民歌，我希望這首歌將來能夠派得上用場，希望年輕一代有人得諾貝爾獎(jiǎng)。
感謝大家的捧場。謝謝大家！
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