醫(yī)咖會(huì)之前推送過二分類logistic回歸的SPSS教程，不過有些問題未詳細(xì)闡述，例如，如何驗(yàn)證：連續(xù)自變量與因變量的logit轉(zhuǎn)換值之間存在線性關(guān)系；自變量之間無多重共線性等。經(jīng)常有伙伴問到這些問題，為此，我們對(duì)二分類logistic回歸的教程做了更新，希望能對(duì)大家有所幫助。
一、問題與數(shù)據(jù)
某研究者想了解年齡、體重、性別和最大攝氧量（VO2max）預(yù)測(cè)患心臟病的能力，招募了100例研究對(duì)象完成最大攝氧量試驗(yàn)，登記年齡（age）、體重（weight）和性別（gender），并評(píng)估研究對(duì)象目前是否患有心臟?。╤eart_disease）。
二、對(duì)問題的分析
使用二分類Logistic模型前，需判斷是否滿足以下7項(xiàng)假設(shè)。
假設(shè)1：因變量（結(jié)局）是二分類變量。
假設(shè)2：有至少1個(gè)自變量，自變量可以是連續(xù)變量，也可以是分類變量。
假設(shè)3：每條觀測(cè)間相互獨(dú)立。分類變量（包括因變量和自變量）的分類必須全面且每一個(gè)分類間互斥。
假設(shè)4：最小樣本量要求為自變量數(shù)目的15倍，但一些研究者認(rèn)為樣本量應(yīng)達(dá)到自變量數(shù)目的50倍。
假設(shè)5：連續(xù)的自變量與因變量的logit轉(zhuǎn)換值之間存在線性關(guān)系。
假設(shè)6：自變量之間無多重共線性。
假設(shè)7：沒有明顯的離群點(diǎn)、杠桿點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)。
假設(shè)1-4取決于研究設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)類型，本研究數(shù)據(jù)滿足假設(shè)1-4。那么應(yīng)該如何檢驗(yàn)假設(shè)5-7，并進(jìn)行Logistics回歸呢？
三、SPSS操作
檢驗(yàn)假設(shè)5：連續(xù)的自變量與因變量的logit轉(zhuǎn)換值之間存在線性關(guān)系
連續(xù)的自變量與因變量的logit轉(zhuǎn)換值之間是否存在線性關(guān)系，可以通過多種方法檢驗(yàn)。這里主要介紹Box-Tidwell方法，即將連續(xù)自變量與其自然對(duì)數(shù)值的交互項(xiàng)納入回歸方程。
本研究中，連續(xù)的自變量包括年齡（age）、體重（weight）、最大攝氧量（VO2max）。使用Box-Tidwell方法時(shí)，需要先計(jì)算age、weight和VO2max的自然對(duì)數(shù)值，并命名為ln_age、ln_weight、ln_VO2max。
(1) 計(jì)算連續(xù)自變量的自然對(duì)數(shù)值
以age為例，計(jì)算age的自然對(duì)數(shù)值ln_age的SPSS操作如下。
在主界面點(diǎn)擊 Transform→Compute Variable，出現(xiàn)Compute Variable對(duì)話框中。在Target Variable框中輸入即將生成自然對(duì)數(shù)值的變量名稱（如輸入ln_age表示age的自然對(duì)數(shù)值）。
選擇Function group菜單下的Arithmetic，選擇Functions and special variables菜單下的Ln，雙擊Ln將該公式選入Numeric Expression框中，最后雙擊age將該變量選入“LN（）”公式中。點(diǎn)擊OK生成新變量ln_age（即age的自然對(duì)數(shù)值）。
此時(shí)新變量會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在Variable View和Data View窗口中。在Data View窗口中，新生成的ln_age變量如下圖。
重復(fù)以上過程，將本研究中的所有連續(xù)自變量的自然對(duì)數(shù)值全部生成。在Data View中，新生成的ln_age，ln_weight，ln_VO2max變量如下圖。
(2) Box-Tidwell法
Box-Tidwell法檢驗(yàn)連續(xù)的自變量與因變量的logit轉(zhuǎn)換值之間是否存在線性關(guān)系的SPSS操作如下。
在主界面中點(diǎn)擊 Analyze→Regression→Binary Logistic。在Logistic Regression對(duì)話框中將變量heart_disease選入Dependent框中，將變量age、weight、gender和VO2max選入Covariates框中。Methods選項(xiàng)選擇默認(rèn)值，即Enter。如果目前未選擇Enter，應(yīng)修改為Enter。
點(diǎn)擊Categorical，在Logistic Regression：Define Categorical Variables對(duì)話框中，將gender選入Categorical Covariates框中。在Change Contrast區(qū)域，將Reference Category從Last改為First后，點(diǎn)擊Change→Continue。
對(duì)于二分類變量（如本研究的gender），也可以不通過Categorical選項(xiàng)指定參照，SPSS將默認(rèn)以賦值較低的變量為參照。
Categorical選項(xiàng)可將多分類變量（包括有序多分類和無序多分類）變換成啞變量，指定某一分類為參照。比如，某研究中COPD是多分類變量（分為無COPD病史、輕/中度、中度），如果指定“無COPD病史”的研究對(duì)象為參照組，可以分別比較“輕/中度”和“重度”組相對(duì)于參照組發(fā)生結(jié)局的風(fēng)險(xiǎn)。
Contrast右側(cè)的下拉菜單中（該下拉菜單內(nèi)的選項(xiàng)是幾種與參照比較的方式），Indicator方式最常用，其比較方法為：第一類或最后一類為參照類，每一類與參照類比較。在Reference Category的右側(cè)選擇First，表示本研究以女性為對(duì)照組（賦值為0）。
回到Logistic Regression對(duì)話框后，可見gender已顯示為gender（Cat）。分類變量后顯示“（Cat）”說明已正確定義分類變量。
設(shè)置好分類自變量后，開始生成交互項(xiàng)。以age和ln_age為例，同時(shí)選中age和ln_age（使用Ctrl鍵+鼠標(biāo)點(diǎn)擊），點(diǎn)擊>a*b>鍵，將ln_age*age交互項(xiàng)選入Covariates框中。
重復(fù)以上過程，將所有交互項(xiàng)都選入Covariates框中，點(diǎn)擊OK。
(3) 假設(shè)5的檢驗(yàn)結(jié)果
查看Variables in the Equation表格中，有交互作用的行及行內(nèi)“Sig”值，本研究中為age by ln_age、ln_weight by weight和VO2max by ln_VO2max”所在的行及行內(nèi)“Sig”值。
如果交互作用有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P<>
本研究中，共有8項(xiàng)納入模型分析，包括三個(gè)連續(xù)自變量age、weight、VO2max，分類自變量gender，三個(gè)交互作用項(xiàng)age*ln_age、ln_weight*weight、VO2max*ln_VO2max和截距項(xiàng)（Constant）。
因此本研究中，建議選擇顯著性水平應(yīng)為α=0.00625（即0.05 ÷ 8）。根據(jù)該顯著性水平，本研究所有交互項(xiàng)的P值均高于0.00625，因此所有連續(xù)自變量與因變量logit轉(zhuǎn)換值之間存在線性關(guān)系。
假設(shè)5檢驗(yàn)完之后，有兩種情況：① 所有連續(xù)自變量與因變量的logit轉(zhuǎn)換值間存在線性關(guān)系，則直接進(jìn)行下一步；② 如果一個(gè)及以上連續(xù)自變量與因變量的logit轉(zhuǎn)換值間不存在線性關(guān)系，建議將該變量轉(zhuǎn)換為有序分類變量。
(關(guān)于Box-Tidwell法，我們主要參考了外文的一些資料，小咖手上有兩個(gè)PDF，有需要的伙伴，請(qǐng)?jiān)谙路搅粞浴?
檢驗(yàn)假設(shè)6：自變量之間無多重共線性
與線性回歸一樣，Logistic回歸模型也需要檢驗(yàn)自變量之間是否存在多重共線性。自變量之間的簡單相關(guān)或多重相關(guān)都會(huì)產(chǎn)生多重共線性。
容忍度（Tolerance）或方差膨脹因子（VIF）可以用來診斷自變量之間的多重共線性。遺憾的是，SPSS的Binary Logistic模塊并不能提供容忍度或方差膨脹因子，但是我們可以通過線性回歸來獲得。
由于我們關(guān)心的是自變量之間的關(guān)系，因此容忍度或方差膨脹因子與模型中因變量的函數(shù)形式無關(guān)。也就是說，我們可以將Logistic回歸的因變量（二分類變量）、自變量（二分類、多分類或連續(xù)變量）直接帶入線性回歸模型，從而獲得容忍度或方差膨脹因子。
在主界面點(diǎn)擊Analyze→Regression→Linear，將heart_disease選入Dependent，將age、weight、gender和VO2max選入Independent(s)。
點(diǎn)擊Statistics，出現(xiàn)Linear Regression：Statistics對(duì)話框，點(diǎn)擊Collinearity diagnostics→Continue→OK。
結(jié)果如下圖：
如果容忍度（Tolerance）小于0.1或方差膨脹因子（VIF）大于10，則表示有共線性存在。本例中，容忍度均遠(yuǎn)大于0.1，方差膨脹因子均小于10，所以不存在多重共線性。如果數(shù)據(jù)存在多重共線性，則需要用復(fù)雜的方法進(jìn)行處理，其中最簡單的方法是剔除引起共線性的因素之一，剔除哪一個(gè)因素可以基于理論依據(jù)。
檢驗(yàn)假設(shè)7：沒有明顯的離群點(diǎn)、杠桿點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)
該假設(shè)的SPSS操作可見后面的“Logistic 回歸”部分，此處僅展示如何解讀結(jié)果。結(jié)果中Casewise List表格顯示學(xué)生化殘差大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差的觀測(cè)。學(xué)生化殘差大于2.5倍標(biāo)準(zhǔn)差的觀測(cè)需要研究者進(jìn)一步觀察決定這些觀測(cè)是否是離群點(diǎn)，如有必要甚至可以從分析中剔除這些觀測(cè)。
本例中，第70個(gè)觀測(cè)（Case Number）的學(xué)生化殘差為3.349，符合上述判斷離群點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)。
需要注意的是：
① 如果所有觀測(cè)的學(xué)生化殘差小于2倍標(biāo)準(zhǔn)差，SPSS不會(huì)輸出Casewise List表格。如果已經(jīng)剔除離群點(diǎn)，則第一次分析得到的Casewise Diagnostics表格不會(huì)再顯示。
② 觀測(cè)數(shù)（Case Number）指SPSS系統(tǒng)內(nèi)自動(dòng)編碼（Data View窗口中最左側(cè)藍(lán)色一列中的編碼），而非研究者賦值的編碼。
③ 研究者需要查看該觀測(cè)為離群點(diǎn)的原因，決定是否刪除該觀測(cè)并報(bào)告。本研究考慮不刪除該觀測(cè)，并在結(jié)果中報(bào)告“納入分析的觀測(cè)中有一項(xiàng)觀測(cè)的學(xué)生化殘差為3.349”。
Logistic 回歸
在主界面點(diǎn)擊Analyze→Regression→Binary Logistic，在Logistic Regression對(duì)話框中，將heart_disease選入Dependent，將age、weight、gender和VO2max選入Covariates。并按照前述操作，通過Categorical將gender變換為啞變量。
注意：如果是按本文中指導(dǎo)的步驟依次進(jìn)行的分析，此時(shí)Logistic Regression對(duì)話框下為因變量heart_disease，Covariates框中為4個(gè)自變量age、weight、gender（Cat）、VO2max和3個(gè)交互項(xiàng)ln_age*age、ln_weight*weight、ln_VO2max* VO2max。
此時(shí)僅需要將交互項(xiàng)ln_age*age、ln_weight*weight、ln_VO2max* VO2max從Covariates框中刪除即可。
對(duì)于自變量篩選的方法（Method對(duì)話框），SPSS提供了7種選擇，使用各種方法的結(jié)果略有不同，讀者可相互印證。各種方法之間的差別在于變量篩選方法不同，其中Forward: LR法（基于最大似然估計(jì)的向前逐步回歸法）的結(jié)果相對(duì)可靠，但最終模型的選擇還需要獲得專業(yè)理論的支持。本文以Enter法為例進(jìn)行展示（其它方法得到的結(jié)果，解釋方法一樣）。
點(diǎn)擊Options，在Logistic Regression：Options對(duì)話框中，選中Classification plots，Hosmer-Lemeshow goodness-of-fit，Casewise listing of residuals和CI for exp(B)這4個(gè)選項(xiàng)。在Display區(qū)域，選中At last step選項(xiàng)。點(diǎn)擊Continue→OK。
四、結(jié)果解釋
1. 檢查變量和數(shù)據(jù)
首先檢查是否存在缺失觀測(cè)，納入分析的觀測(cè)數(shù)是否和數(shù)據(jù)庫中觀測(cè)數(shù)一致。Case Processing Summary表格如下圖。
確認(rèn)因變量的編碼是否正確。Dependent Variable Encoding表格如下圖。
觀察分類自變量是否存在某一類觀測(cè)數(shù)過少的情況，如果某項(xiàng)分類較少，可能不利于二項(xiàng)Logistic回歸分析。本研究中，定義的分類自變量只有g(shù)ender，因此Categorical Variables Codings表格只給出了gender的信息。
2. 基本分析
此部分結(jié)果的標(biāo)題為“Block 0：Beginning Block”，指的是所有自變量不納入模型、只包括常數(shù)項(xiàng)時(shí)的結(jié)果。此部分可以跳過。
3. Logistic回歸
此部分結(jié)果的標(biāo)題為“Block 1：Method=Enter”（Enter指前述SPSS操作部分所述的自變量篩選方法）。
(1) 模型整體評(píng)價(jià)
Omnibus Tests of Model Coefficients是模型系數(shù)的綜合檢驗(yàn)。其中Model一行輸出了Logistic回歸模型中所有參數(shù)是否均為0的似然比檢驗(yàn)結(jié)果。P<>
Hosmer and Lemeshow Test是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合優(yōu)度。當(dāng)P值不小于檢驗(yàn)水準(zhǔn)時(shí)（即P>0.05），認(rèn)為當(dāng)前數(shù)據(jù)中的信息已經(jīng)被充分提取，模型擬合優(yōu)度較高。
Model Summary表格中，提供了因變量的變異能夠被擬合的模型解釋的比例。該表格包含Cox & Snell R Square和Nagelkerke R Square，這兩種R2有時(shí)被稱為偽R2，在Logistic回歸中意義不大（與線性回歸中的不同），可以不予關(guān)注。
(2) 模型預(yù)測(cè)能力
擬合Logistic回歸模型后，對(duì)于每一個(gè)自變量組合，均可以得到結(jié)局事件（本例中為患心臟病）發(fā)生的概率。如果事件發(fā)生的概率大于或等于0.5，Logistic回歸判斷為事件發(fā)生（患心臟病）；如果可能性小于0.5，則判斷為事件未發(fā)生（未患心臟?。Ｒ虼?，與真實(shí)情況相比，就可以評(píng)價(jià)Logistic回歸模型的預(yù)測(cè)效果。
Logistic回歸模型能夠?qū)?1.0%的觀測(cè)正確分類（Overall Percentage一行），該指標(biāo)常被稱作percentage accuracy in classification（正確分類百分比），即診斷試驗(yàn)中的一致率。
預(yù)測(cè)為“是”的觀測(cè)數(shù)占實(shí)際為“是”的觀測(cè)數(shù)的比例即靈敏度。本研究中，45.7%患有心臟病的研究對(duì)象被模型預(yù)測(cè)患有心臟病。預(yù)測(cè)為“否”的觀測(cè)數(shù)占實(shí)際為“否”的觀測(cè)數(shù)的比例即特異度。本研究中，84.6%未患心臟病的研究對(duì)象被模型預(yù)測(cè)未患心臟病。
同理，還可以計(jì)算得到陽性預(yù)測(cè)值（61.5%）和陰性預(yù)測(cè)值（74.3%）。
(3) 方程中的自變量
由于本次統(tǒng)計(jì)過程中篩選變量的方式是Enter法，因此所有自變量均進(jìn)入了模型，Variables in the Equation表格中也列出了所有自變量及其參數(shù)。其中Sig.一列表示相應(yīng)變量在模型中的P值，Exp (B)和95% CI for EXP (B)表示相應(yīng)變量的OR值和其95%可信區(qū)間。
結(jié)果顯示，age（P=0.003），gender（P=0.021）和VO2max（P=0.039）有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，但weight（P=0.799）沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。
對(duì)于分類變量，OR值的含義為：相對(duì)于賦值較低的研究對(duì)象（gender賦值為“0”的為女性），賦值較高的研究對(duì)象（男性）患心臟病的風(fēng)險(xiǎn)是多少（7.026倍）。對(duì)于連續(xù)變量，OR值的含義為：自變量每增加一個(gè)單位（年齡每增加1歲），發(fā)生結(jié)局的風(fēng)險(xiǎn)增加的倍數(shù)（1.089倍）。
五、撰寫結(jié)論
本研究采用二分類Logistic回歸評(píng)估年齡、體重、性別和最大攝氧量對(duì)研究對(duì)象患心臟病的影響。使用Box-Tidwell方法檢驗(yàn)連續(xù)自變量與因變量logit轉(zhuǎn)換值間是否為線性。線性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜁r(shí)共納入8項(xiàng)，Bonferroni校正后顯著性水平為0.00625。線性檢驗(yàn)結(jié)果得到所有連續(xù)自變量與因變量logit轉(zhuǎn)換值間存在線性關(guān)系。一個(gè)觀測(cè)的學(xué)生化殘差為標(biāo)準(zhǔn)差的3.349倍，但保留在分析中。
最終，得到的Logistic模型具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，χ2=27.402，P<>
模型納入的五個(gè)自變量中，年齡、性別和最大攝氧量有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。男性患心臟病的風(fēng)險(xiǎn)是女性的7.026倍。年齡每增加1歲，患心臟病的風(fēng)險(xiǎn)增加8.9%。最大攝氧量每增加一個(gè)單位，患心臟病的風(fēng)險(xiǎn)降低9.4%。
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