二．幾何探索題巡視
探索類問題是近幾年中考命題的重點，不少省市還作為壓軸的大題。筆者研究了各地中考試卷，對命題特點、解題方法做了一些探討。本文以中考題為例說明之，供同學們學習時參考。
一、實驗型探索題
例1.等腰三角形是我們熟悉的圖形之一，下面介紹一種等分等腰三角形面積的方法：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，把底邊BC分成m等份，連接頂點A和底邊BC各等分點的線段，即可把這個三角形的面積m等分。
圖1
問題提出：任意給定一個正n邊形，你能把它的面積m等分嗎？
探究與發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題，我們先從簡單問題入手怎樣從正三角形的中心（正多邊形的各對稱軸的交點，又稱為正多邊形的中心）引線段，才能將這個正三角形的面積m等分？
如果要把正三角形的面積4等分，我們可以先連接正三角形的中心和各頂點（如圖2(1)），這些線段將這個三角形分成了3個全等的等腰三角形）；再把所得到的每個等腰三角形的底邊4等分，連接中心和各邊等分點（如圖2(2)，這些線段把這個三角形分成了12個面積相等的小三角形）；最后依次把相鄰的3個小三角形拼合在一起（如圖2(3)），這樣就能把這個正三角形的面積4等分了。
圖2
（1）實驗與驗證：仿照上述方法，利用刻度尺在圖3中畫出一種將正三角形的面積5等分的示意圖。
圖3
（2）猜想與證明：怎樣從正三角形的中心引線段，才能將這個正三角形的面積m等分？敘述你的分法并說明理由。
（3）拓展與延伸：怎樣從正方形（如圖4）的中心引線段，才能將這個正方形的面積m等分（敘述分法即可，不要求說明理由）？
圖4
（4）問題解決：怎樣從正n邊形（如圖5）的中心引線段，才能使這個正n邊形的面積m等分？（敘述分法，不要求說明理由）
圖5
分析：這類問題的特點是先給出一個解決問題的范例，然后要求解答一個類似的問題，最后將結(jié)論或方法推廣到一般情況。這類問題文字較多，首先應弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的問題，然后詳細閱讀范例，從中領會解決問題的方法，并能運用這個方法解決問題。
解：（1）先連接正三角形的中心和各頂點，再把正三角形各邊分別5等分，連接中心和各分點，然后將每3個相鄰的小三角形拼在一起，就可將正三角形的面積5等分了（圖略）。
（2）先連接正三角形的中心和各頂點，再把正三角形各邊分別m等分，連接中心和各個分點，然后把每3個相鄰的小三角形拼合在一起，即可把這個正三角形的面積m等分了。
理由：每個小三角形的底和高都相等，因此它們的面積都相等，每3個拼合在一起的圖形面積當然也都相等，即把正三角形的面積m等分。
（3）先連接正方形的中心和各頂點，然后將正方形各邊m等分，連接中心和各分點，再依次將相鄰的4個小三角形拼合在一起，這就把這個正方形的面積m等分了。
（4）連接正n邊形的中心和各頂點，然后將這個正n邊形各邊m等分，再依次將n個相鄰的小三角形拼在一起，這就將這個正n邊形的面積m等分了。
二、操作型探索題
例2.已知線段AC＝8，BD＝6。
（1）已知線段AC⊥BD于O（O不與A、B、C、D四點重合），設圖6（1）、圖6（2）和圖6（3）中的四邊形ABCD的面積分別為S1、S2、S3，則S1＝_________，S2＝_________，S3＝_________；
圖6
（2）如圖6（4），對于線段AC與線段BD垂直相交（垂足O不與點A、B、C、D重合）的任意情形，請你就四邊形ABCD面積的大小提出猜想，并證明你的結(jié)論；
（3）當線段BD與AC（或CA）的延長線垂直相交時，猜想順次連接點A、B、C、D所圍成的封閉圖形的面積是多少。
分析：題（1）實際上是將BD沿AC由下向上移動，計算BC在不同位置時四邊形ABCD的面積，再觀察計算結(jié)果。題（2）是AC沿BD左右移動，計算四邊形ABCD的面積，再觀察計算結(jié)果。題（3）是在更一般的情況下探索規(guī)律。這種由淺入深的探索方式是中考探索類問題的特點。
解：（1）24 24 24
（2）對于線段AC與線段BD垂直相交（垂足O不與點A、C、B、D重合）的任意情形，四邊形ABCD的面積為定值24。證明如下：
顯然，
（3）所圍成的封閉圖形的面積仍為24。
三、觀察猜想型探索題
例3. （山西?。┤鐖D7，正方形ABCD的邊CD在正方形EFGC的邊CE上，連接BE、DG。
圖7
（1）觀察并猜想BE與DG之間的大小關系，并證明你的結(jié)論；
（2）圖7中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的三角形？若存在，請說明旋轉(zhuǎn)過程；若不存在，說明理由。
分析：證明題是直接給出結(jié)論，要求尋找結(jié)論成立的理由，而這一類探索題是題目沒有給出結(jié)論，要求自己下結(jié)論，并證明結(jié)論成立。這就要求有較強的觀察猜想能力。
解：（1）BE＝DG，證明如下：
在Rt△BCE和Rt△DCG中，BC＝CD，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG。故BE＝DG。
（2）將Rt△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，可與Rt△DCG重合。
四、圖形計數(shù)型探索題
例4.如圖8，在圖（1）中，互不重疊的三角形有4個，在圖（2）中，互不重疊的三角形有7個，在圖（3）中，互不重疊的三角形有10個，…，則在圖（n）中互不重疊的三角形有_______個（用含n的代數(shù)式表示）。
圖8
分析：這類圖形計數(shù)型探索題有線段計數(shù)、射線計數(shù)、角計數(shù)等。解這類題首先要通過幾個具體圖形尋找規(guī)律，然后寫出公式，或稱一般表達式。解題的關鍵是找規(guī)律。
解：圖（1）：1＋1×3＝4；圖（2）：1＋2×3＝7；圖（3）：1＋3×3＝10。
所以圖（n）中有1＋3n個互不重疊的三角形，應填3n＋1。
五、其他類型探索題
例5.如圖9，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC。
(1) (2)
圖9
（1）在圖9（1）中，判斷能否在AB上確定一點E，使得AC2＝AE·AB，并說明理由；
（2）在圖9（2）中，在條件（1）的結(jié)論下，延長EC到P。連接PB，如果PB＝PE，試判斷PB和⊙O的位置關系，并說明理由。
分析：一般的探索題是由特殊到一般，探求結(jié)論的普遍性，而這道題是兩個小題互相獨立，只是基本圖形相同。題（1）是作出滿足線段關系式的圖形，題（2）是判斷圖形中的一些線段的相互關系。
解：（1）作法有多種，這里舉一例。如圖10，在⊙O上取點D，使
圖10 圖11
（2）如圖11，過點B作⊙O的直徑BF，連接CF、BC?？梢宰C明∠PBC＋∠FBC＝90°，即PB⊥BF。所以PB是⊙O的切線。
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