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2008年全國初中數(shù)學(xué)競賽（浙江賽區(qū)）初賽試題

（考試時間：120分鐘）

班級__________學(xué)號__________姓名______________得分______________

一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分．以下每小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的．請將正確選項的代號填入題后的括號里．不填、多填或錯填均得零分）

1． 已知x＋y＝x^－1＋y^－1≠0，則xy的值為（　　）

（A）－1                   （B）0                     （C）1                     （D）2

2． 如圖，直線l₁與直線l₂相交，∠α＝60o，點P在∠α內(nèi)（不在l₁，l₂上）．小明用下面的方法作P的對稱點：先以l₁為對稱軸作點P關(guān)于l₁的對稱點P₁，再

以l₂為對稱軸作P₁關(guān)于l₂的對稱點P₂，然后再以l₁為對稱軸作P₂關(guān)于

l₁的對稱點P₃，以l₂為對稱軸作P₃關(guān)于l₂的對稱點P₄，……，如此繼續(xù)，

得到一系列點P₁，P₂，P₃，…，P_n．若P_n與P重合，則n的最小值

是（　　）

（A）5                      （B）6                     （C）7                     （D）8

3． 甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加校田徑運動會4×100米接力跑比賽，如果任意安排四位同學(xué)的跑步順序，那么恰好由甲將接力棒交給乙的概率是（　?。?/span>

（A）               （B）              （C）              （D）

4． 如圖，兩個反比例函數(shù)y＝ 和y＝ （其中k₁＞k₂＞0）在第一象限

內(nèi)的圖象依次是C₁和C₂，設(shè)點P在C₁上，PC⊥x軸于點C，交C₂于

點A，PD⊥y軸于點D，交C₂于點B，則四邊形PAOB的面積為（　?。?/span>

（A）k₁＋k₂        （B）k₁－k₂      （C）k₁·k₂      （D）

5． 在平面直角坐標(biāo)系中，如果橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點，將二次函數(shù)y＝－x²＋6x－的圖象與x軸所圍成的封閉圖形染成紅色，則在此紅色區(qū)域內(nèi)部及其邊界上的整點的個數(shù)是（　　）

（A）5                      （B）6                     （C）7                     （D）8

6． 小明把棱長為4的正方體分割成了29個棱長為整數(shù)的

    小正方體，則其中棱長為1的小正方體有（　　）

（A）22個         （B）23個        （C）24個        （D）25個

7． 如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D，與直角邊AC

相交于點E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，

則⊙O的半徑是（　?。?/span>

（A）3               （B）4              （C）4          （D）2

8． 7條長度均為整數(shù)厘米的線段：a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，滿足a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅＜a₆＜a₇，且這7條線段中的任意3條都不能構(gòu)成三角形．若a₁＝1厘米，a₇＝21厘米，則a₆＝（　?。?/span>

（A）18厘米             （B）13厘米           （C）8厘米             （D）5厘米

二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）

9． 若干名同學(xué)制作迎奧運卡通圖片，他們制作的卡通圖片

張數(shù)的條形統(tǒng)計圖如圖所示，設(shè)他們制作的卡通圖片張數(shù)的

平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則a，b，c的大小關(guān)系

為_________．

10．△ABC中，∠A和∠B均為銳角，AC＝6，BC＝3，

且sinA＝，則cosB的值為_________．

11．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90o，BC＝CD，

E是AD延長線上一點，若DE＝AB＝3cm，CE＝4cm，

則AD的長是_________．

12．已知△ABC為鈍角三角形，其最大邊AC上有一點P（點P與點A，C不重合），過點P作直線l，使直線l截△ABC所得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l可作的條數(shù)是_________．

13．小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車．假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時間是_________分鐘．

14．如圖，矩形ABCD中，點E，F，G，H分別在邊AB，BC，CD，

DA上，點P在矩形ABCD內(nèi)．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG＝

3cm，BF＝DH＝4cm，四邊形AEPH的面積為5cm²，則四邊形PFCG

的面積為_________cm²．

三、解答題（共4題，分值依次為12分、12分、12分和14分，滿分50分）

15．（本題滿分12分）小王、小李兩同學(xué)玩“石頭、剪刀、布"的劃拳游戲．游戲規(guī)則為：勝一次得3分，平一次得1分，負(fù)一次得0分，一共進(jìn)行7次游戲，游戲結(jié)束時，得分高者為勝．

（1）若游戲結(jié)束后，小王得分為10分，則小王7次游戲比賽的結(jié)果是幾勝幾平幾負(fù)？

（2）若小王前3次游戲比賽的結(jié)果是一勝一平一負(fù)，則他在后面4次比賽中，要取得怎樣的比賽結(jié)果，才能保證勝小李？

16．（本題滿分12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx＋b＋2（k≠0）的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，且使得△OAB的面積值等于|OA|＋|OB|＋3．

（1）用b表示k；

（2）求△OAB面積的最小值．

17．（本題滿分12分）如圖，AB，AC，AD是圓中的三條弦，

點E在AD上，且AB＝AC＝AE．請你說明以下各式成立的理由：

（1）∠CAD＝2∠DBE；

（2）AD²－AB²＝BD·DC．

18．（本題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，現(xiàn)有兩動點P，Q分別從O，A同時出發(fā)，點P在線段OA上沿OA方向作勻速運動，點Q在線段AB上沿AB方向作勻速運動，已知點P的運動速度為1厘米／秒．

（1）設(shè)點Q的運動速度為 厘米／秒，運動時間為t秒，

①當(dāng)△CPQ的面積最小時，求點Q的坐標(biāo)；

②當(dāng)△COP和△PAQ相似時，求點Q的坐標(biāo)．

（2）設(shè)點Q的運動速度為a厘米／秒，問是否存在a的值，

使得△OCP與△PAQ和△CBQ這兩個三角形都相似？若存在，

請求出a的值，并寫出此時點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．