文章來源于公眾號(hào)：樂靈教育、愛在數(shù)學(xué)
指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。不同地區(qū)對(duì)此有不同的稱呼，通常稱為“K字模型”，也有部分地方稱為“M形圖”。
起源與基本類型
DE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從外到內(nèi)，從一般位置到特殊位置。
基本類型：
同側(cè)“一線三等角”
異側(cè)“一線三等角”
性質(zhì)
1.一般情況下，如下左圖，易得△AEC∽△BDE.
2.當(dāng)?shù)冉撬鶎?duì)的邊相等時(shí)，則兩個(gè)三角形全等。（若CE=ED，則△AEC≌△BDE）
3.中點(diǎn)型“一線三等角”
如右上圖，當(dāng)∠1=∠2=∠3，且D是BC中點(diǎn)時(shí)，△BDE∽△CFD∽△DFE.
4.“一線三等角”的各種變式
應(yīng)用
1.“一線三等角”應(yīng)用的三種情況。
a.圖形中已經(jīng)存在一線三等角，直接應(yīng)用模型解題；
b.圖形中存在“一線二等角”，補(bǔ)上“一等角”構(gòu)造模型解題；
c.圖形中只有直線上一個(gè)角，補(bǔ)上“二等角”構(gòu)造模型解題.
2.在定邊對(duì)定角問題中，構(gòu)造一線三等角是基本手段。
3.構(gòu)造一線三等角的步驟：找角、定線、構(gòu)相似。
如上圖，線上有一特殊角，就考慮構(gòu)造同側(cè)型一線三等角，當(dāng)然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個(gè)特殊角與線段的關(guān)系，過C、D兩點(diǎn)作直線l的垂線是必不可少的。
模型建立
例 如圖2，已知E是矩形ABCD的邊AB上一點(diǎn)， EF⊥DE交BC于點(diǎn)F，
試說明：ΔADE∽ΔBFE。
分析：要證明ΔADE與ΔBFE相似，已經(jīng)知道∠A=∠B=90°，只需要再找出另外一對(duì)相等的角即可。
解答：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°
∵EF⊥DE
∴∠DEF=90°，∠2+∠3=90°
又 ∵∠1+∠3=90°
∴∠1=∠2
∴ΔADE∽ΔBFE
小結(jié)：此時(shí)，在直線AB上，∠A=∠DEF=∠B=90°，一條線上有3個(gè)直角，
兩邊的ΔADE與ΔBFE相似。這個(gè)相似的基本圖形像字母K，可以稱為“K”型相似，但更因?yàn)閳D形的結(jié)構(gòu)特征是一條線上有3個(gè)垂直關(guān)系，也常被稱為“一線三垂直”。通過例題，我們已經(jīng)證明，“一線三垂直”可以得出相似三角形，那普通的3個(gè)等角又會(huì)怎樣呢？
變式1
如圖3，已知等邊三角形ABC， 點(diǎn)D、E分別為BC，AC上的點(diǎn)，∠ADE=60o。
（1） 圖中有相似三角形嗎？如果有，請(qǐng)說明理由。
（2） 如圖4，若將∠ADE在ΔABC的內(nèi)部（∠ADE兩邊不與BC重合）繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到的兩三角形仍相似嗎？
分析：
（1）此時(shí)，在直線BC上，∠B=∠ADE=∠C=60°，一條線上有3個(gè)等角，兩邊的ΔABD與ΔDEC相似嗎？
（2）旋轉(zhuǎn)后，變化中的不變量是什么？ΔABD與ΔDEC相似嗎？
解答：（1）在等邊三角形ABC中，
∠B=∠C=60°
∵∠ADE=60o
∴∠2+∠3=120°
又 ∵∠1+∠3=120°
∴∠1=∠2
∴ΔABD∽ΔDCE
另外：ΔADE與ΔACD也相似。
∵∠DAE=∠CAD（公共角）
∠ADE=60o=∠DCA
∴ΔADE∽ΔACD
（2）旋轉(zhuǎn)后，變化中的不變量是∠ADE的大小
那么，依然可以有：
∵∠2+∠3=120°
又 ∵∠1+∠3=120°
∴∠1=∠2
∴ΔABD∽ΔDCE
小結(jié)：
此時(shí)，一條線上的三個(gè)等角由90°變成了60°，兩邊的三角形依然相似。那么，更一般的等角呢？
變式2
如圖5，隱藏變式1圖形中的線段AE，在得到的新圖形中，
（1） 如果∠B=∠C=∠ADE=50o，圖中有相似三角形嗎？
（2）如圖6，若∠B=∠C=∠ADE=∠α，∠α為任意角，還有相似三角形嗎？
分析：等角由90°變?yōu)?0°，三角形依然相似。再變?yōu)?0o，任意角α，雖然等角的大小發(fā)生了變化，但等量關(guān)系沒變。
解答：
（1） ∵∠B=∠C=∠ADE=50o
∴∠2+∠3=130°
又 ∵∠1+∠3=130°
∴∠1=∠2
∴ΔABD∽ΔDCE
（2）
∵∠B=∠C=∠ADE=α
∴∠2+∠3=180°-α
又 ∵∠1+∠3=180°-α
∴∠1=∠2
∴ΔABD∽ΔDCE
小結(jié)：現(xiàn)在，我們已經(jīng)從特殊角過渡到任意角，證明在一條線上，只要有3個(gè)等角，兩邊的三角形就一定相似。這個(gè)相似的基本模型就是“一線三等角”。
模型應(yīng)用
打開我們的新年禮包：
已知，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角△ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)分別在這三條平行直線上，則sinα的值是（ ）
分析：觀察這個(gè)圖形， ∠α不是特殊角，要求sinα的值，首先要把角α放在一個(gè)直角三角形中，于是過點(diǎn)B作垂線，構(gòu)造直角三角形ABF。又已知△ABC是等腰直角三角形，要用到∠ACB 為直角和AC=CB的特殊條件，及平行線之間的等距條件，所以分別過點(diǎn)A、B作垂線，構(gòu)造“一線三等角”的相似基本圖形。
解答：由“一線三等角”，得ΔACD∽ΔCBE
由AC=AB，得ΔACD≌ΔCBE， 由平行線等距，可設(shè)平行線間的距離為d，
小結(jié)：在數(shù)學(xué)中，我們常通過模型來建立數(shù)量之間的關(guān)系或圖形間的聯(lián)系，本題中，通過建立“一線三等角”這種相似的基本模型可以巧妙的使問題得解。
（2010奉賢一模23）如圖，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4， M是邊AB的中點(diǎn)，E、G分別是邊AC、BC上的一點(diǎn)，∠EMG＝45°,AC與MG的延長線相交于點(diǎn)F， （1）在不添加字母和線段的情況下寫出圖中一定相似的三角形，并證明其中的一對(duì)； （2）聯(lián)結(jié)結(jié)EG，當(dāng) AE＝3時(shí)，求EG的長．
（2001上海中考25） 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如圖，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPC＝∠A． ①求證；△ABP∽△DPC ②求AP的長． （2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足∠BPE＝∠A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么 ①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí)，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域； ②當(dāng)CE＝1時(shí)，寫出AP的長．
（2012長寧一模24）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點(diǎn)P是射線DA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將三角板的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)P，三角板兩直角中的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊交射線BA于點(diǎn)E． （1）判斷△EAP與△PDC一定相似嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論； （2）設(shè)PD=x，AE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域； （3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EAP周長等于△PDC周長的2倍？若存在，請(qǐng)求出PD的長度；若不存在請(qǐng)簡要說明理由．
（2009·嘉定區(qū)一模25）（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)P、Q分別在射線CB、AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持∠APQ=∠ABC． ①若點(diǎn)P在線段CB上（如圖），且BP=6，求線段CQ的長； ②若BP=x，CQ=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域； （2）正方形ABCD的邊長為5（如圖），點(diǎn)P、Q分別在直線CB、DC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持∠APQ=90度．當(dāng)CQ=1時(shí)，寫出線段BP的長（不需要計(jì)算過程，請(qǐng)直接寫出結(jié)果）．
（2016崇明一模18）如圖，等邊△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，且BD：DC=1:3，把△ABC折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處．那么AM/AN的值為
（2015長寧一模25）如圖，已知△ABC是等邊三角形，AB=4，D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C點(diǎn)重合），EF垂直平分BD，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，設(shè)CD=x，AE=y. （1）求證：△AED∽△CDF； （2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域； （3）過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，當(dāng)EH=1時(shí)，求線段CD的長.
（2012閔行二模25）已知：如圖，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．點(diǎn)P在線段AB上，聯(lián)結(jié)PD，過點(diǎn)D作PD的垂線，與BC相交于點(diǎn)C．設(shè)線段AP的長為x． （1）...........
（2）...........
（3）當(dāng)△APD∽△DPC時(shí)，求線段BC的長．
如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，且BP=2，將一個(gè)大小與∠B相等的角的頂點(diǎn)放在P 點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點(diǎn)為D、E。 （1）求證△BPD∽△CEP （2）是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，點(diǎn)E是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)E作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)P． （1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； （2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l交BD于點(diǎn)Q，當(dāng)四邊形CDQP是平行四邊形時(shí)，求m的值； （3）是否存在點(diǎn)P，使△BDP是不以BD為斜邊的直角三角形？如果存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
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