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一線三等角模型及其典型變式

妍小青 >《待分類》

2022.09.24 上海

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“一線三等角”模型及其典型變式

“一線三等角模型”顧名思義就是“一條直線上有三個角相等”，此時借助三角形的外角性質，可以得到一組相似三角形，“一線三等角”分為“同側”和“異側”兩種情況，盡管點的位置在變，但是其中的相似三角形是不變的，線段間的比例關系也是不變的。

基本背景如下，已知▲ABC，AB=AC，點D在直線BC上運動，分別交直線AB、AC于點E和點F，試發(fā)現(xiàn)其中的相似三角形及線段間的比例關系。

一般情況

點D的位置進行變化

點E和點F分別在延長線上的情況（同側）

點D在BC或BC反向延長線上的情況（異側）

點F或點E與A重合的情況（子母三角形）

點D為BC中點情況

因此當AB=AC，∠B=∠EDF+①D為BC中點或②ED平分∠BEF或③DF平分∠EFC，可以推出▲DEF∽▲CDF∽▲BED。

特別地，當EF//BC時，三個三角形也是兩兩相似的。

“一線三直角的特殊情況”

“一線三直角”的特殊情況往往在平面直角坐標系中比較常見，往往建立在直角三角形的背景，通過向坐標軸作垂線，構造全等或相似三角形，借助線段間的比例關系，從而求出點的坐標。

等腰直角三角形或正方形背景

一般直角三角形或矩形背景

“一線三等角四邊形背景情況”

當“一線三等角”在等腰梯形或者一般四邊形背景下，上述的情況仍然成立。當∠1=∠2=∠3是，有▲ACP∽▲BPD，特別地，當P為AB中點時，圖中的三個三角形兩兩相似。

01

三角形背景(同側)

解法分析：本題考察了“一線三等角模型”背景下的三個三角形兩兩相似的問題。此時分為兩種情況，即DF//BC和E為BC中點兩種特殊情況，在證明時，對于點E為BC中點的背景尤其需要注意，也是此類問題最難的點。

同類題鏈接

02

三角形背景(異側)

對于在異側的情況在日常的練習中比較少見，其性質和應用往往會忽略，常見的在異側的一線三等角模型有如下兩種：

01 構造一線三等角模型求線段長度

下面這道題的特點在于已知45°角和直角，構造另兩個45°角，從而構造位于異側的一線三等角模型。

02 利用一線三等角模型構造線段間的比例關系

解法分析：本題考察了借助“一線三等角模型”以及“X型基本圖形”搭建線段間的數(shù)量關系。本題的第一問的難點在于輔助線的添加，由∠B=45°，聯(lián)想過點A作BE的垂線，從而構造了一個等腰直角三角形和一個正方形。繼而利用CM-AD-X型基本圖形建立線段間的數(shù)量關系；本題的第二問通過聯(lián)結AC后，構造了一個以AC為公共邊的一線三等角模型，則利用相似三角形的性質可以得到線段間的比例關系；本題的第三問是前兩問的融合，兩次利用基本圖形，助力問題解決。

03

四邊形背景(梯形)

四邊形背景下的一線三等角問題和中的一線三等角問題相仿，這類問題難點在于等腰三角形或相似三角形的存在性問題。

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