最值問題一直是高中數(shù)學(xué)的重點和熱點問題，當(dāng)然，也是歷年高考試題都要涉及的題目。在立體幾何中，計算幾何體的最值往往有兩種方法：一是利用函數(shù)及重要不等式，二是利用化歸轉(zhuǎn)化思想將立體幾何中的極值問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的極值問題。另外，解決幾何體的相切、相接問題的關(guān)鍵是注意兩個幾何體之間的等量關(guān)系。本文舉例說明立體幾何中的最值問題的求解策略。
一. 利用三角函數(shù)求最值
例1. 已知三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面的菱形，且平面ABB1A1⊥平面ABC，M是A1B1上的動點。試求使二面角A1?BM?C的平面角最小時的三棱錐M?A1CB的體積。
分析：要使二面角A1?BM?C的平面角最小，必須先構(gòu)建其平面角，如何構(gòu)建？如圖所示，取AB中點O，在MB上找一點P，因為CO垂直MB，剩下的問題只要使OP垂直于MB即可。這樣MB就垂直于平面CPO，則∠OPC就是所求的平面角。在Rt△COP中就轉(zhuǎn)化為求OP的最大值的問題，易發(fā)現(xiàn)此時點P即為點B，點M為線段A1B1的中點。
解：取AB中點O，過O作OP⊥BM，垂足為P，連結(jié)CP。
∵AB是平面A1B與平面ABC的交線，CO⊥AB，且平面A1B⊥平面ABC
∴CO⊥平面A1B
，因此
，∠OPC即為的平面角。
在Rt△COP中，
CO為定長，∠OPC為最小，即OP為最大。
當(dāng)且僅當(dāng)P與B重合時，OP最大，此時M點為A1B1的中點，BM⊥AB。
解后反思：本題是一道探索性題，確定動點M使所求二面角最小的位置是關(guān)鍵。在求體積的過程中運(yùn)用了等積變形。
二. 利用均值定理求最值
例2. 在棱長為a的正方體OABC?中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF。
（1）求證：；
（2）當(dāng)三棱錐B”?BEF的體積取得最大值時，求二面角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）。
（1）證明：連結(jié)OF、CE、A”O(jiān)，如圖所示。
∵AE=BF
∴EB=CF
又OC=CB，∠OCF=∠CBE
因此，
又∵EB⊥平面BC”，C”B⊥B”C
∴C”E⊥B”C
又因為A”O(jiān)//B”C，所以C”E⊥A”O(jiān)
而
所以
（2）解：設(shè)EB=y，BF=x，邊長為a，則
三棱錐的體積
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
因此，三棱錐的體積取得最大值時
過點B作BD⊥EF交EF于D，連結(jié)B”D，可得
∴
在Rt△BEF中，直角邊，BD是斜邊上的高，則，。
∴二面角的大小為。
解后反思：如果函數(shù)解析式符合基本不等式條件（或可以轉(zhuǎn)化為基本不等式形式），可以用基本不等式定理（均值定理）求解。（均值定理的條件是“一正，二定，三相等”）
三. 利用二次函數(shù)求最值
例3. 如圖所示，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若。
（1）求MN的長；
（2）當(dāng)a為何值時，MN的長最?。?/span>
解：（1）作MP//AB交BC于點P，NQ//AB交BE于點Q
連結(jié)PQ，依題意可得MP//NQ
且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形
如下圖所示，則MN=PQ。
由題意知，
則
即
（2）由（1）知，
所以，當(dāng)時，
即M、N分別為AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為
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