專題復(fù)習(xí)：立體幾何
二. 高考要求：
了解：柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體；三視圖與直觀圖；柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積；平面及其基本性質(zhì)；
理解：直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)；兩平面平行、垂直的判定與性質(zhì)
三. 基本內(nèi)容：
1、空間基本元素：直線與平面之間位置關(guān)系的小結(jié)。如下表：
條件
結(jié)論
線線平行
線面平行
面面平行
垂直關(guān)系
線線平行
如果a∥b，b∥c，那么a∥c
如果a∥α，a
β，β∩α＝b，那么a∥b
如果α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，那么a∥b
如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b
線面平行
如果a∥b，a
α，b
α，那么a∥α
——
如果α∥β，a
α，那么α∥β
——
面面平行
如果a
α，b
α，c
β，d
β，a∥c，b∥d，a∩b＝P，那么α∥β
如果a
α，b
α，a∩b＝P，a∥β，b∥β，那么α∥β
如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ
如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β
條件
結(jié)論
線線垂直
線面垂直
面面垂直
平行關(guān)系
線線垂直
三垂線定理及逆定理
如果a⊥α，b
α，那么a⊥b
如果三個(gè)平面兩兩垂直，那么它們的交線兩兩垂直
如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c
線面垂直
如果a⊥b，a⊥c，b
α，c
α，b∩c＝P，那么a⊥α
——
如果α⊥β，α∩β＝b，a
α，a⊥b，那么a⊥β
如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α
面面垂直
定義（二面角等于90°）
如果a⊥α，a
β，那么β⊥α
——
——
2、空間元素位置關(guān)系的度量
（1）角：異面直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角，都化歸為平面幾何中兩條相交直線所成的角。
異面直線所成的角：通過平移的變換手段化歸，具體途徑有：中位線、補(bǔ)形法等。
直線和平面所成的角：通過作直線射影的作圖法得到。
二面角：化歸為平面角的度量，化歸途徑有：定義法，三垂線定理法，棱的垂面法及面積射影法。
（2）距離：異面直線的距離，點(diǎn)面距離，線面距離及面面距離。
異面直線的距離：除求公垂線段長(zhǎng)度外，通常化歸為線面距離和面面距離。
線面距離，面面距離常化歸為點(diǎn)面距離。
3、棱柱、棱錐是常見的多面體。在正棱柱中特別要運(yùn)用側(cè)面與底面垂直的性質(zhì)解題，在正棱錐中，要熟記由高PO，斜高PM，側(cè)棱PA，底面外接圓半徑OA，底面內(nèi)切圓半徑OM，底面正多邊形半邊長(zhǎng)OM構(gòu)成的三棱錐，該三棱錐四個(gè)面均為直角三角形。
4、球是由曲面圍成的旋轉(zhuǎn)體。研究球，主要抓球心和半徑。
5、立體幾何的學(xué)習(xí)，主要把握對(duì)圖形的識(shí)別及變換（分割，補(bǔ)形，旋轉(zhuǎn)等），因此，既要熟記基本圖形中元素的位置關(guān)系和度量關(guān)系，也要能在復(fù)雜背景圖形中“剝出”基本圖形。
【典型例題】
例1. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點(diǎn)，O為AC與BD的交點(diǎn)（如圖），求證：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C。
解析：（1）欲證EG∥平面BB1D1D，需在平面BB1D1D內(nèi)找一條與EG平行的直線，構(gòu)造輔助平面BEGO′及輔助直線BO′，顯然BO′即是。
（2）按線線平行
線面平行
面面平行的思路，在平面B1D1H內(nèi)尋找B1D1和O′H兩條關(guān)鍵的相交直線，轉(zhuǎn)化為證明：B1D1∥平面BDF，O′H∥平面BDF。
（3）為證A1O⊥平面BDF，由三垂線定理，易得BD⊥A1O，再尋A1O垂直于平面BDF內(nèi)的另一條直線。猜想A1O⊥OF。借助于正方體棱長(zhǎng)及有關(guān)線段的關(guān)系計(jì)算得：A1O2＋OF2＝A1F2
A1O⊥OF。
（4）∵ CC1⊥平面AC ∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC ∴ BD⊥平面AA1C
又BD
平面BDF ∴ 平面BDF⊥平面AA1C
例2. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為DD1中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點(diǎn)，求直線OP與直線AM所成的角。
解析：取P點(diǎn)的特殊點(diǎn)A1，連OA1，在底面上過O作OE⊥AD于E，連A1E
∵ OE⊥平面ADD1A1，AM⊥A1E
根據(jù)三垂線定理，得：AM⊥OA1，故直線OP與直線AM所成的角為
評(píng)注：化“動(dòng)”為“定”是處理“動(dòng)”的思路
例3. 如圖，三棱錐D—ABC中，平面ABD、平面ABC均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠BAD＝90°，其腰BC＝a，且二面角D—AB—C＝60°。
（1）求異面直線DA與BC所成的角的度數(shù)；
（2）求異面直線BD與AC所成的角的余弦值；
（3）求D到BC的距離；
（4）求異面直線BD與AC的距離。
解析：（1）在平面ABC內(nèi)作AE∥BC，從而得∠DAE＝60°
∴ DA與BC成60°角
（2）過B作BF∥AC，交EA延長(zhǎng)線于F，則∠DBF為BD與AC所成的角
由△DAF易得AF＝a，DA＝a，∠DAF＝120°
∴ DF2＝a2＋a2－2a2·（
）＝3a2 ∴ DF＝
a
在△DBF中，BF＝AC＝
a∴ cos∠DBF＝
∴ 異面直線BD與AC所成角的余弦值為
（3）∵ BA⊥平面ADE ∴ 平面DAE⊥平面ABC
故取AE中點(diǎn)M，則有DM⊥平面ABC；取BC中點(diǎn)N，有MN⊥BC，根據(jù)三垂線定理，DN⊥BC
∴DN是D到BC的距離，在△DMN中，DM＝
a，MN＝a，∴ DN＝
a
（4）∵ BF
平面BDF，AC
平面BDF，AC∥BF
∴ AC∥平面BDF又BD
平面BDF
∴ AC與BD的距離即AC到平面BDF的距離
∵
，
∴
由
，即異面直線BD與AC的距離為
評(píng)注：三棱錐的等體積變換求高，也是求點(diǎn)到面距離的常用方法。
例4. 如圖，在60°的二面角α—CD—β中，AC
α，BD
β，且∠ACD＝45°，tg∠BDC＝2，CD＝a，AC＝
x，BD＝
x，當(dāng)x為何值時(shí)，A、B的距離最??？并求此距離。
解析：作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，則EF為異面直線AE、BF的公垂線，AE與BF成60°角，可求得|AB|＝
，當(dāng)x＝
時(shí)，|AB|有最小值
。
評(píng)注：轉(zhuǎn)化為求異面直線上兩點(diǎn)間距離的最小值。
例5. 如圖，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為b，側(cè)棱AA′與底面相鄰兩邊AB、AC都成45°角，求此三棱柱的側(cè)面積和體積。
解析：
在側(cè)面AB′內(nèi)作BD⊥AA′于D，連結(jié)CD
∵ AC＝AB，AD＝AD，∠DAB＝∠DAC＝45° ∴ △DAB≌△DAC
∴ ∠CDA＝∠BDA＝90°，BD＝CD，∴ BD⊥AA′，CD⊥AA′
∴ △DBC是斜三棱柱的直截面，在Rt△ADB中，BD＝AB·sin45°＝
∴ △DBC的周長(zhǎng)＝BD＋CD＋BC＝（
＋1）a，△DBC的面積＝
∴ S側(cè)＝b（BD＋DC＋BC）＝（
＋1）ab， ∴ V＝
·AA′＝
評(píng)注：求斜棱柱的側(cè)面積有兩種方法，一是判斷各側(cè)面的形狀，求各側(cè)面的面積之和，二是求直截面的周長(zhǎng)與側(cè)棱的乘積，求體積時(shí)同樣可以利用直截面，即V＝直截面面積×側(cè)棱長(zhǎng)。
例6. 在三棱錐P—ABC中，PC＝16cm，AB＝18cm，PA＝PB＝AC＝BC＝17cm，求三棱錐的體積VP－ABC。
解析：取PC和AB的中點(diǎn)M和N
∴
在△AMB中，AM2＝BM2＝172－82＝25×9，
∴ AM＝BM＝15cm，MN2＝152－92＝24×6
∴ S△AMB＝
×AB×MN＝
×18×12＝108（cm2），
∴ VP－ABC＝
×16×108＝576（cm3）
評(píng)注：把一個(gè)幾何體分割成若干個(gè)三棱錐的方法是一種用得較多的分割方法，這樣分割的結(jié)果，一方面便于求體積，另一方面便于利用體積的相關(guān)性質(zhì)，如等底等高的錐體的體積相等，等底的兩個(gè)錐體的體積的比等于相應(yīng)高的比，等等。
例7. 在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB＝AD＝a，S D＝
，在線段SA上取一點(diǎn)E（不含端點(diǎn)）使EC＝AC，截面CDE與SB交于點(diǎn)F。
（1）求證：四邊形EFCD為直角梯形；
（2）求二面角B－EF－C的平面角的正切值；
（3）設(shè)SB的中點(diǎn)為M，當(dāng)
的值是多少時(shí)，能使△DMC為直角三角形？請(qǐng)給出證明。
解：（1）∵ CD∥AB，AB
平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB＝EF，
∴CD∥EF ∵
又
面
∴
平面SAD，∴
又
為直角梯形
（2）
平面
∥
平面SAD
即為二面角B—EF—C的平面角
中
而
且
為等腰三角形，
（3）當(dāng)
時(shí)，
為直角三角形。
，
平面
平面
。
在
中，
為SB中點(diǎn)，
。
平面
平面
為直角三角形。
例8. 如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F(xiàn)、G分別為EB和AB的中點(diǎn)。
（1）求證：FD∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD；
解：（1）∵F、G分別為EB、AB的中點(diǎn)，
∴FG＝
EA，又EA、DC都垂直于面ABC，F(xiàn)G＝DC，
∴四邊形FGCD為平行四邊形，∴FD∥GC，又GC
面ABC，
∴FD∥面ABC。
（2）∵AB＝EA，且F為EB中點(diǎn)，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC ∵G為等邊△ABC，AB邊的中點(diǎn)，∴AG⊥GC。
∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ②
由①、②知AF⊥面EBD，又BD
面EBD，∴AF⊥BD。
例9. 如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P、Q分別是線段AD1和BD上的點(diǎn)，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12.
（1）求證PQ∥平面CDD
C
；
（2）求證PQ⊥AD；
（3）求線段PQ的長(zhǎng).
解：（1）在平面AD
內(nèi)，作PP
∥AD與DD
交于點(diǎn)P
，在平面AC內(nèi)，作QQ1∥BC交CD于點(diǎn)Q
，連結(jié)P
Q
。
，PP1
QQ
。
由四邊形PQQ
P
為平行四邊形，知PQ∥P
Q
，而P
Q
平面CDD
C
，
所以PQ∥平面CDD
C
（2）
AD⊥平面D
DCC
，∴AD⊥P
Q
，又∵PQ∥P
Q
，∴AD⊥PQ。
（3）由（1）知P
Q
PQ，
，而棱長(zhǎng)CD＝1?！郉Q
＝
。 同理可求得 P
D＝
。
在Rt△P
DQ
中，應(yīng)用勾股定理，
得P1Q1＝
。
作為本題的深化，我們提出這樣的問題：P，Q分別是BD，
上的動(dòng)點(diǎn)，試求
的最小值，請(qǐng)應(yīng)用函數(shù)方法計(jì)算，并與如下2002年全國高考試題作一對(duì)照，可以得到一些啟示。
例10. 如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM＝BN＝
，
。
（1）求MN的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)
為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最?。?div style="height:15px;">
（3）當(dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角
的余弦值。
解析：立體幾何知識(shí)是復(fù)習(xí)耗時(shí)較多，而考試得分偏低的題型。只有放低起點(diǎn)，依據(jù)課本，熟化知識(shí)，構(gòu)建空間思維網(wǎng)絡(luò)，掌握解三角形的基本工具，嚴(yán)密規(guī)范表述，才能突破解答立幾考題的道道難關(guān)。
解：（1）作
∥
交
于點(diǎn)
，
∥
交
于點(diǎn)
，連結(jié)
，依題意可得
∥
，且
，即
是平行四邊形。
∴
由已知
，
∴
，
（2）由（1）
所以，當(dāng)
時(shí)，
即當(dāng)
、
分別為
、
的中點(diǎn)時(shí)，
的長(zhǎng)最小，最小值為
（3）取
的中點(diǎn)
，連結(jié)
、
，
∵
，
為
的中點(diǎn)
∴
，即
即為二面角的平面角
又
，所以，由余弦定理有，
故所求二面角
的余弦值為
例11. 在邊長(zhǎng)為a的正三角形的三個(gè)角處各剪去一個(gè)四邊形。這個(gè)四邊形是由兩個(gè)全等的直角三角形組成的，并且這三個(gè)四邊形也全等，如圖①。若用剩下的部分折成一個(gè)無蓋的正三棱柱形容器，如圖②。則當(dāng)容器的高為多少時(shí)，可使這個(gè)容器的容積最大，并求出容積的最大值。
圖① 圖②
解：設(shè)容器的高為x。則容器底面正三角形的邊長(zhǎng)為
，
。
當(dāng)且僅當(dāng)
。
故當(dāng)容器的高為
時(shí)，容器的容積最大，其最大容積為
三角函數(shù)的最值問題用導(dǎo)數(shù)求解最方便，不妨一試. 另外，本題的深化似乎與2002年全國高考文科數(shù)學(xué)壓軸題有關(guān). 類似的問題是：
某企業(yè)設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當(dāng)圓柱的底面半徑r和圓柱的高h(yuǎn)為何值時(shí)，制造這個(gè)密閉容器的用料最省（即容器的表面積最?。?。
例12. 如圖所示，等腰
的底邊
，高
，點(diǎn)
是線段
上異于點(diǎn)
的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)
在
邊上，且
，現(xiàn)沿
將
折起到
的位置，使
，記
，
表示四棱錐
的體積.
（1）求
的表達(dá)式；
（2）當(dāng)
為何值時(shí)，
取得最大值？
（3）當(dāng)
取得最大值時(shí)，求異面直線
與
所成角的余弦值.
解：（1）由折起的過程可知，PE⊥平面ABC，
，
V（x）＝
（
）
（2）
，所以
時(shí)，
，V（x）單調(diào)遞增；
時(shí)，
，V（x）單調(diào)遞減；因此x＝6時(shí)，V（x）取得最大值
；
（3）過F作MF//AC交AD于M，則
，PM＝
，
，
在△PFM中，
，∴異面直線AC與PF所成角的余弦值為
。
【模擬試題】
1. 如下圖中“斜二測(cè)”直觀圖所示的平面圖形是
2. 設(shè)
，
，
均為直線，其中
，
在平面
內(nèi)，“
”是“
”且“
”的______________________條件。
3. 設(shè)
表示三條直線，
表示三個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中真命題是___________。
①若
，則
； ②若
是
在
內(nèi)的射影，
，則
；
③若
，則
； ④若
，則
.
4. 已知某個(gè)幾何體的三視圖如下（主視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是 cm3.
5. 已知
正方形
所在的平面，垂足為
，連結(jié)
，則互相垂直的平面有 對(duì)。
6. 下列命題中正確的個(gè)數(shù)有
（1）平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；
（2）平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；
（3）垂直于同一直線的兩直線平行；
（4）垂直于同一平面的兩直線平行.
7. 如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，對(duì)角線BD1與過A1、D、C1的平面交于點(diǎn)M，則BM：MD1＝________________.
8. 直三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱AA和CC1上，AP＝C1Q，則四棱錐B—APQC的體積為
9. 下面命題中，正確結(jié)論有
①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；
②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等；
③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；
④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.
10. 下面條件中，能判定直線
的有
①
與平面
內(nèi)的兩條直線垂直
②
與平面
內(nèi)的無數(shù)條直線垂直
③
與平面
內(nèi)的某一條直線垂直
④
與平面
內(nèi)的任意一條直線垂直
11. 在正四面體P—ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的有
①BC//平面PDF ②DF⊥PAE
③平面PDF⊥平面ABC ④平面PAE⊥平面ABC
12. 如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE，SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合于點(diǎn)G，這樣，有下列五個(gè)結(jié)論：
（1）SG
平面EFG；（2）SD
平面EFG；（3）GF
平面SEF；
（4）EF
平面GSD；（5）GD
平面SEF。
正確的有
13. 如圖，
矩形
所在平面，
分別是
和
的中點(diǎn).
（1）求證：
平面
（2）求證：
（3）若
，求證：
平面
14. 已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且
（Ⅰ）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD？
【試題答案】
1. 直角梯形
2. 充分不必要
3. ①②
4.
5. 7
6. 2
7. 2∶1
8.
9. ②③④
10. ④
11. ③
12. ①④
13. （1）證明：取PD中點(diǎn)E，連結(jié)AE，NE，則
∥
，
∥
，
∴
∥
，
＝
，∴四邊形AMNE為平行四邊形，故
∥
，又
（3）當(dāng)
時(shí)，則
14. （Ⅰ）證明，∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，又∠BCD＝90°∴CD⊥面ABC，
∴EF⊥面ABC，∴平面BEF⊥平面ABC。
（Ⅱ）當(dāng)
時(shí)，平面BEF⊥平面ACD。
∵△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∴
，又∠ADB＝60°，AB⊥平面BCD
，又
，
∽
∴BE⊥AC，又EF⊥面ABC，BE⊥EF，∴BE⊥面ABC，∴平面BEF⊥平面ACD。
