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一、函數(shù)單調(diào)性的判定方法

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則

(1)在(a,b)內(nèi)f’(x)>0(或f’(x)≥0且不存在任意子區(qū)間f’(x)≡0)，則函數(shù)f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增加．

(2)在(a,b)內(nèi)f’(x)<0(或f’(x)≤0且不存在任意子區(qū)間f’(x)≡0)，那么函數(shù)f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)減少.

二、單調(diào)性判定步驟和單調(diào)區(qū)間計(jì)算

(1)寫出定義域.

(2)確定單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于0或者導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)是連續(xù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間可能的分界點(diǎn). 以這些點(diǎn)為分割點(diǎn)分割定義域?yàn)槎x區(qū)間.

(3)確定單調(diào)性：判定上面給出的依據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判定單調(diào)性的方法確定各定義區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性.

(4)寫出單調(diào)區(qū)間并明確單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間一般寫成開(kāi)區(qū)間，也可以是閉區(qū)間(如果函數(shù)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)).

【注】如果需要判定函數(shù)不連續(xù)區(qū)間的單調(diào)性，則一般考慮定義的方法，即在考慮的區(qū)間內(nèi)任取x₁<x₂，判定函數(shù)f(x₁)，f(x₂)的大小(一般考慮差值法，如f(x₂)-f(x₁)的正負(fù)，或者比值法f(x₂)/f(x₁)大于1或小于1)關(guān)系來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)值的大小關(guān)系與自變量相同，則為單調(diào)遞增函數(shù)，否則為單調(diào)遞減函數(shù).

三、函數(shù)極值的判定

(1)極值第一充分條件：設(shè)f(x)在x₀處連續(xù)，在x₀的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則

(1)如果f’(x)左正右負(fù)，那么f(x)在x₀處取極大值．

(2)如果f’(x)左負(fù)右正，那么f(x)在x₀處取極小值．

(3)如果f’(x)不變號(hào)，那么f(x)在x₀處不取極值．

(2)極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在x₀處具有n階導(dǎo)數(shù)，且

那么

●n為偶數(shù)時(shí)，x₀為極值點(diǎn)，且n階導(dǎo)數(shù)大于0，取極小值；n階導(dǎo)數(shù)小于0，取極大值.

● n為奇數(shù)時(shí)，x₀不是極值點(diǎn).

比如二階導(dǎo)數(shù)判定法. 該結(jié)論的證明用函數(shù)在x₀的帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，并借助于極限的保號(hào)性和極值的定義法來(lái)判定. 具體參見(jiàn)課件.

【注】極值的判別法都是充分的. 當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí), 不等于極值不存在 .

四、極值的判定和極值點(diǎn)、極值的計(jì)算

(1)寫出定義域.

(2)確定可能的極值點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于0或者導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，也是連續(xù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間可能的分界點(diǎn).并以這些點(diǎn)為分割點(diǎn)分割定義域?yàn)槎x區(qū)間.

(3)確定極值點(diǎn)與計(jì)算極值：對(duì)于可能的極值點(diǎn)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，如果二階導(dǎo)數(shù)存在且不等于0，則依據(jù)第二充分條件判定并確定極值點(diǎn)和計(jì)算極值.否則，依據(jù)第一充分條件判定并確定極值點(diǎn)和計(jì)算極值；如果兩個(gè)方法都失敗，則依據(jù)定義法判定并確定極值點(diǎn)和計(jì)算極值.

五、應(yīng)用題型

(1)驗(yàn)證函數(shù)不等式

●改寫、移項(xiàng)構(gòu)建輔助函數(shù)，借助函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，借助函數(shù)的單調(diào)性驗(yàn)證函數(shù)不等式；

●借助極值獲取函數(shù)最值的方式來(lái)驗(yàn)證函數(shù)不等式的成立(如函數(shù)大于等于最小值，小于等于最大值).

(2)驗(yàn)證常值不等式

●轉(zhuǎn)換常值不等式為一個(gè)函數(shù)在兩個(gè)不同點(diǎn)的函數(shù)值，并通過(guò)判定函數(shù)在由兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間上的單調(diào)性來(lái)確定函數(shù)在兩個(gè)不同點(diǎn)的函數(shù)值的大??；

●選取其中一個(gè)常值為變量，構(gòu)建輔助函數(shù)，借助于函數(shù)單調(diào)性的判定來(lái)確定不等式；

●轉(zhuǎn)換為函數(shù)值小于常數(shù)值的結(jié)構(gòu)來(lái)判定函數(shù)值的最值的方式來(lái)驗(yàn)證不等式.

(3)判定方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

●借助函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性判定函數(shù)零點(diǎn)或方程根的唯一性；

●借助最值獲取函數(shù)最值的方式，并借助函數(shù)在最值點(diǎn)的正負(fù)和兩側(cè)的單調(diào)性來(lái)確定方程根或者函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

具體應(yīng)用實(shí)例可以看見(jiàn)課件！

參考課件節(jié)選