專題一 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)
1．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝定義域相同的函數(shù)為( )．
A．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝
答案：D [函數(shù)y＝的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，而y＝的定義域?yàn)閧x|x∈R，x≠kπ，k∈Z}，y＝的定義域?yàn)?0，＋∞)，y＝xex的定義域?yàn)镽，y＝的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．]
2．下列函數(shù)中，不滿足f(2x)＝2f(x)的是( )．
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
答案：C [對于選項(xiàng)A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；對于選項(xiàng)B，f(x)＝x－|x|＝，當(dāng)x≥0時(shí)，f(2x)＝0＝2f(x)，當(dāng)x＜0時(shí)，f(2x)＝4x＝2·2x＝2f(x)，恒有f(2x)＝2f(x)；對于選項(xiàng)D，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)；對于選項(xiàng)C，f(2x)＝2x＋1＝2f(x)－1.]
3．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是( )．
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
答案：A [結(jié)合初等函數(shù)的單調(diào)性逐一分析即可得到正確結(jié)論．選項(xiàng)A的函數(shù)y＝ln(x＋2)的增區(qū)間為(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函數(shù)．]
4．已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．[來源:Z#xx#k.Com]
解析 首先討論1－a,1＋a與1的關(guān)系，
當(dāng)a＜0時(shí)，1－a＞1,1＋a＜1，
所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
因?yàn)閒(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，
所以a＝－.當(dāng)a＞0時(shí)，1－a＜1,1＋a＞1，
所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.
因?yàn)閒(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1，所以a＝－(舍去)．
綜上，滿足條件的a＝－.
答案?。?div style="height:15px;">
高考對本內(nèi)容的考查主要有：①利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求函數(shù)定義域、值域與最值，尤其是考查對數(shù)函數(shù)的定義域、值域與最值問題；②借助基本初等函數(shù)考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，尤其是考查含參函數(shù)的單調(diào)性問題或借助單調(diào)性求參數(shù)的范圍，主要以解答題的形式考查；③求二次函數(shù)的解析式、值域與最值，考查二次函數(shù)的最值、一元二次方程與不等式的綜合應(yīng)用；④在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題中，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)、含參函數(shù)單調(diào)性的討論、函數(shù)的極值或最值的求解等．
本部分的試題多圍繞二次函數(shù)、分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等幾個(gè)常見的函數(shù)來設(shè)計(jì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等，所以復(fù)習(xí)時(shí)一定要回歸課本，重讀教材，只有把課本中的例題、習(xí)題弄明白，把基礎(chǔ)夯扎實(shí)，才能真正掌握、靈活應(yīng)用，達(dá)到事半功倍的效果.
[來源:Zxxk.Com]
必備知
識(shí)
函數(shù)及其圖象
(1)定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)的三個(gè)要素，是一個(gè)整體，研究函數(shù)問題時(shí)務(wù)必要“定義域優(yōu)先”．
(2)對于函數(shù)的圖象要會(huì)作圖、識(shí)圖、用圖，作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換．
函數(shù)的性質(zhì)
(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法
①定義法：取值，作差，變形，定號(hào)，作答．
其中變形是關(guān)鍵，常用的方法有：通分、配方、因式分解．
②導(dǎo)數(shù)法．
③復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則．
(2)函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖象的對稱性，是函數(shù)的整體特性．利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上，是簡化問題的一種途徑．
(3)求函數(shù)最值(值域)常用的方法
①單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)；
②圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)；
③基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)；
④導(dǎo)數(shù)法：適合于可求導(dǎo)
數(shù)的函數(shù)．
函數(shù)圖象的對稱性
(1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
(2)若f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．
(3)若f(x＋a)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對稱；若f(x＋a)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
必備方法
1．函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，它們的實(shí)質(zhì)是相同的，在解題時(shí)經(jīng)常要互相轉(zhuǎn)化．在解決函數(shù)問題時(shí)，尤其是較為繁瑣的(如分類討論，求參數(shù)的取值范圍等)問題時(shí)，要注意充分發(fā)揮
圖象的直觀作用．
2．二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個(gè)有機(jī)的整體，要深刻理解它們之間的相互關(guān)系，能用函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想來研究與“三個(gè)二次”有關(guān)的問題，高考對“三個(gè)二次”知識(shí)的考查往往滲透在其他知識(shí)之中，并且大都出現(xiàn)在解答題中.
?？疾椋孩俳o定函數(shù)解析式求定義域；②給出分段函數(shù)表達(dá)式結(jié)合奇偶性、周期性求值．熟練轉(zhuǎn)化函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，是高考的必考內(nèi)容，常以選擇題、填空題的形式考查，多為基礎(chǔ)題．
【例1】?設(shè)定義域在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)＜f(m)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____
___．
[審題視點(diǎn)]
[聽課記錄]
[審題視點(diǎn)] 利用已知條件，可將問題轉(zhuǎn)化為|1－m|＞|m|.
解析 ∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
∴不等式f(1－m)＜f(m)?f(|1－m|)＜f(|m|)，[來源:學(xué)。科。網(wǎng)]
又∵當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)是減函數(shù)，
∴解得－1≤m＜.
答案
(1)函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性．
(2)求函數(shù)最值常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法和換元法．
【突破訓(xùn)練1】)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足以下三個(gè)條件：①對于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；②對于任意的x1，x2∈R，且0≤x1≤x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)；③函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象關(guān)于y軸對稱．則下列結(jié)論正確的是( )．
A．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5) B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)
C．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5) D．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)
答案：A [由①知，f(x)的周期為4，
由②知，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增．
由③知，f(x)的對稱軸為x＝2.
∴f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)．
f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)．
∴f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．]
?？疾椋孩儆珊瘮?shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、對稱性、最值)及圖象的變換選圖象；②在解方程或不等式問題時(shí)，利用圖象求交點(diǎn)個(gè)數(shù)或解集的范圍，是高考考查的熱點(diǎn)，常以選擇題形式考查，難度中檔．
【例2】?函數(shù)y＝－2sin x的圖象大致是( )．
[審題視點(diǎn)]
[聽課記錄]
[審題視點(diǎn)] 利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性的關(guān)系求解．
C [由f(－x)＝－f(x)知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以排除A；又f′(x)＝－2cosx，當(dāng)x在y軸右側(cè)，趨向0時(shí)，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在x軸右邊接近原點(diǎn)處為減函數(shù)，當(dāng)x＝2π時(shí)，f′(2π)＝－2cos2π＝－＜0，所以x＝2π應(yīng)在函數(shù)的減區(qū)間上，所以選C.]
函數(shù)的圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中有著舉足輕重的作用．
(1)識(shí)圖：在觀察、分析圖象時(shí)，要注意到圖象的分布及變化趨勢，具有的性質(zhì)，找準(zhǔn)解析式與圖象的對應(yīng)關(guān)系．
(2)用圖：在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象研究．
(3)掌握基本初等函數(shù)的圖象(一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))，它們是圖象變換的基礎(chǔ)．
【突破訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)＝，則y＝f(x)的圖象大致為( )．
答案：B [g(x)＝ln(x＋1)－x?g′(x)＝－，
當(dāng)g′(x)＞0時(shí)，－1＜x＜0.當(dāng)g′(x)＜0時(shí)，x＞0.
故g(x)＜g(0)＝0，即x＞0或－1＜x＜0時(shí)均有f(x)＜0，排除A、C、D.]
高考很少單獨(dú)考查二次函數(shù)，往往與導(dǎo)數(shù)結(jié)合來命題，可涉及到二次函數(shù)的許多基礎(chǔ)知
識(shí)的考查，如含參函數(shù)根的分布問題，根與系數(shù)的關(guān)系問題，要求考生熟練應(yīng)用有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)．
【例3】?設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩
個(gè)根分別為1,4.
(1)當(dāng)a＝3且曲線y＝f(x)過原點(diǎn)時(shí)，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點(diǎn)，求a的取值范圍．
[審題視點(diǎn)]
[聽課記錄]
[審題視點(diǎn)] (1)借助根與系數(shù)的關(guān)系，曲線過原點(diǎn)等條件進(jìn)行求解；(2)問題可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立．
解 由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.
因?yàn)閒′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩個(gè)根分別為1,4，
所以(*)
(1)當(dāng)a＝3時(shí)，由(*)式得
解得b＝－3，c＝12.
又因?yàn)榍€y＝f(x)過原點(diǎn)，所以d＝0，
故f(x)＝x3－3x2＋12x.[來源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]
(2)由于a＞0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點(diǎn)”等價(jià)于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立”．
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．
解得，a∈[1,9]，
即a的取值范圍是[1,9]．
高考對該部分的考查多與二次函數(shù)相結(jié)合綜合命題，涉及函數(shù)零點(diǎn)問題，比較方程根的大小問題，函數(shù)值的求解，函數(shù)圖象的識(shí)別等問題，考查學(xué)生分析、解決問題的能力．
【突破訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x.
(1)當(dāng)a＝時(shí)，求f(x)的極值；
(2)若f(x
)在(－1,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．
解 (1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．
當(dāng)a＝時(shí)，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，
f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，
在x＝－2時(shí)，f(x)有極小值．
所以f(－2)＝－12是f(x)的極小值．
(2)在(－1,1)上，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)f′(x)＝4(x－1)·(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0，①
(i)當(dāng)a＝0時(shí)，①恒成立；
(ii)當(dāng)a＞0時(shí)，①成立，當(dāng)且僅當(dāng)3a·12＋3a·1－1≤0.
解得a≤.∴0＜a≤.
(iii)當(dāng)a＜0時(shí)，①成立，即3a2－－1≤0成立，
當(dāng)且僅當(dāng)－－1≤0.解得a≥－.∴－≤a＜0.
綜上，a的取值范圍是.
函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)在綜合問題中的應(yīng)用
函數(shù)是高考永遠(yuǎn)不變的主題，二次函數(shù)更是熱點(diǎn)．對二次函數(shù)的考查主要以二次函數(shù)的圖象為載體，利用數(shù)形結(jié)合思想，解決二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值以及與此相關(guān)的參數(shù)范圍的問題．下面介紹函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)在綜合問題中的應(yīng)用．
【示例】設(shè)函數(shù)f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.
(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率；[來源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(3)已知函數(shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，x1，x2，且x1＜x2，若對任意的x∈[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立，求m的取值范圍．
[滿分解答] (1)當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝－x3＋x2，f′
(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為1.(3分)
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)
＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因?yàn)閙＞0，所以1＋m＞1－m.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，1－m)
1－m
(1－m,1＋m)
1＋m
(1＋m，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
極小值
極大值
所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)上是減函數(shù)，在(1－m,1＋m)上是增函數(shù)．函數(shù)f
(
x)在x＝1－m處取得極小值f(1－m)，且f(1－m)＝－m3＋m2－.函數(shù)f(x)在x＝1＋m處取得極大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m3＋m2－.(7分)
(3)由題設(shè)，f(x)＝x＝－x(x－x1)(x－x2)，所以方程－x2＋x＋m2－1＝0有兩個(gè)相異的實(shí)根x1，x2，故x1＋x2＝3，且Δ＝1＋(m2－1)＞0，解得m＜－(舍去)或m＞.因?yàn)閤1＜x2，所以2x2＞x1＋x2＝3，故x2＞＞x1.(9分)
若x1≤1＜x2，則f(1)＝－(1－x1)(1－x2)≥0，而f(x1)＝0，不合題意．
若1＜x1＜x2，對任意的x∈[x1，x2]，有x＞0，x－x1≥0，x－x2≤0，則f(x)＝－x(x－x1)(x－x2)≥0.又f(x1)＝0，所以f(x)在[x1，x2]上的最小值為0.于是對任意的x∈[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立的充要條件是f(1)＝m2－＜0，解得－＜m＜.綜上，m的取值范圍是.(12分)
老師叮嚀：該題綜合考查了導(dǎo)數(shù)知識(shí)與函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，是一道不錯(cuò)的試題.(1)(2)問較易得分，第(3)問因找不到問題的突破口而得分率很低，原因是二次函數(shù)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢固，不會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想.
【試一試】 設(shè)函數(shù)f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(
1)若f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，且x1x2＝1，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
解 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)
x＋2a.
(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，從而x1x2＝＝1，所以a＝9.
(2)由于Δ＝36(a＋2)2－4×18
×2a＝36(a2＋4)＞0，
所以不存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)．
