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一.提取公因式法

am＋bm＋cm＝m（a＋b＋c）

(一)公因式是單項(xiàng)式的因式分解

1.分解因式

確定公因式的方法

①系數(shù):取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù);

②字母(或多項(xiàng)式):取各項(xiàng)都含有的字母(或多項(xiàng)式);

③指數(shù):取相同字母(或多項(xiàng)式)的最低次冪.

注意:公因式可以是單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母，也可以是多項(xiàng)式，當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)是負(fù)數(shù)時(shí)可先提負(fù)號(hào)，當(dāng)公因式與多項(xiàng)式某一項(xiàng)相同時(shí)，提公因式后剩余項(xiàng)是1，不要漏項(xiàng).解:原式=一4m2n(m2一4m+7).

(二)公因式是多項(xiàng)式的因式分解

2.因式分解

15b(2a一b)2+25(b一2a)2

解:原式=15b(2a一b)2+25(2a一b)2=5(2a一b)2(3b+5)

二.公式法

(一)直接用公式法

a2－b2＝（a＋b）（a－b）

3.分解因式

(1).(x2+y2)2一4x2y2

(2).(x2十6x)2+18(x2+6x)十81

解:(1)原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2一2xy)=(x十y)2(x一y)2

(2)原式=(x2十6x+9)2=[(x+3)2]2

=（ ）

(二)先提再套法

4.分解因式

(三)先局部再整法

5.分解因式

9x2一16一(x十3)(3x+4)

解:

原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)

(四)先展開再分解法

6.分解因式

4x(y一x)一y2

解:原式=4xy一4x2一y2=一(4x2一4xy+y2)=一(2x一y)2

三.分組分解法

7.分解因式

x2一2xy+y2一9

解:原式=(x一y)2一9=(x一y十3)(x一y一3)

四.拆、添項(xiàng)法

8.分解因式

五.整體法

(一)'提'整體

9.分解因式

a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)

解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)

(二)'當(dāng)'整體

10.分解因式

(x+y)2一4(x+y一1)

解:原式

=(x+y)2一4(x+y)+4

=(x十y一2)2

(三)'拆'整體

11.分解因式

ab(c2+d2)+cd(a2+b2)

解:原式

=abc2+abd2+cda2+cdb2

=(abc2+cda2)+(abd2+cdb2)

=ac(bc十a(chǎn)d)+bd(ad+bc)

=(bc十a(chǎn)d)(ac+bd)

(四)'湊'整體

12.分解因式

x2一y2一4x+6y一5

解:原式

=(x2一4x十4)一(y2一6y+9)

=(x一2)2+(y一3)2

=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]

=(x+y一5)(x一y十1)

六.換元法

13.分解因式

(a2十2a一2)(a2+2a+4)+9

解:設(shè)a2+2a=m，則原式

=(m一2)(m+4)十9

=m2十4m一2m一8+9

=m2+2m十1=(m+1)2

=(a2+2a十1)2=

七.十字相乘法

公式:x2十(a十b)x十a(chǎn)b=(x+a)(x十b)或

對(duì)于一個(gè)三項(xiàng)式若能象上邊一樣中間左側(cè)上下相乘得x2，中間右側(cè)上下相乘得ab，中間上下斜對(duì)角相乘之和為(a+b)x，則能進(jìn)行分解，如:

14.x2一5x一14

解:原式=(x一7)(x十2)

十字相乘法分解因式非常重，在以后有關(guān)代數(shù)式的運(yùn)算，解方程等知識(shí)中常常用到.

八.待定系數(shù)法

15.分解因式

x2+3xy+2y2十4x+5y+3

解: ∵x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y)

∴設(shè)原式=(x+y+m)(x+2y十n)

=x2十3xy+2y2十(m+n)x+(2m+n)y+mn.

∴m＋n＝4，2m＋n＝5，mn＝3

∴m=1，n=3

∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)