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【題型解析】

一線三垂直問題，通常指問題中有一線段繞某一點旋轉(zhuǎn) 90°，或者問題中有矩形或正方形的情況下考慮，作輔助線構(gòu)造全等三角形形或相似三角形，建立數(shù)量關(guān)系使問題得到解決。

【知識點總結(jié)】

① 過等腰直角三角形的直角頂點或者正方形直角頂點的一條直線。

② 過等腰直角三角形的另外兩個頂點作該直線的垂線段，會有兩個三角形全等（AAS）。

常見的兩種圖形：

【典型例題】

1、已知：在等腰直角 △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC , E 是 AC 邊上的 點，AF⊥BE 交 BC 于點 D, 若 AE = CD，

求證：① BF 平分 ∠ABC；② AB + AE = BC .

【解析】

（1）作 AC 的垂線交 AD 的延長線于點 M，

在 △BAE 和 △ACM 中，

∠ABE = ∠CAM = 90° - ∠BAF，AB = AC，∠BAE = ∠ACM = 90°，

∴ △BAE≌△ACM（ASA），

∴ CM = AE = CD，

∴ ∠M = ∠CDM = ∠AEB = ∠BAD，

∴ AB = BD，

又 ∵ BF⊥AD，

∴ BF 平分 ∠ABD（等腰三角形三線合一）；

（2）AB + AE = BD + DC = BC .

2、已知：在 △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC，AE 是過點 A 的一條直線，且 BD⊥AE 于 D，CE⊥AE 于點 E.

① 當(dāng)直線 AE 處于如圖 1 的位置時，有 BD = DE + CE , 請說明理由；

圖 1

② 當(dāng)直線 AE 處于如圖 2 的位置時，則 BD、DE、CE 的關(guān)系如何？請說明理由.

圖 2

【解析】

（1）∵ BD⊥AE , CE⊥AE，

∴ ∠BDA = ∠AEC = 90°，

∴ ∠ABD + ∠BAD = 90°，

∵ ∠BAC = 90°，

∴ ∠BAD + ∠EAC = 90°，

∴ ∠ABD = ∠EAC，

在 △ABD 和 △CAE 中，

∠ADB = ∠CEA = 90° ，∠ABD = ∠EAC，AB=CA，

∴ △ABD ≌ △CAE (AAS)，

AD = CE , BD = AE，

∵ AE = AD + DE，

∴ BD = DE + CE；

（2）在 △ABD 和 △CAE 中，

∠ADB = ∠CEA = 90° ，AB = CA，

∴ △ABD ≌ △CAE（AAS），

∴ AD=CE,BD=AE，

∵ AE = DE - AD，

∴ BD = DE - CE .

3、如圖，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC , AD=2，BC=3，設(shè) ∠BCD = α，以 D 為旋轉(zhuǎn)中心，將腰 DC 繞點 D 逆時針旋轉(zhuǎn) 90° 至 DE.

① 當(dāng) α=45° 時，求 △EAD 的面積；

② 當(dāng) α = 30° 時，求 △EAD 的面積；

③ 當(dāng) 0°＜α＜90°，猜想 △EAD 的面積與 α 大小有無關(guān)系，若有關(guān)，寫出 △EAD 的面積 S 與 α 的關(guān)系式，若無關(guān)，請證明結(jié)論.

【解析】

∵ AD∥BC , DG⊥BC，

∴ ∠GDF = 90°，

又 ∵ ∠EDC = 90°，

∴ ∠1 = ∠2，

在 △CGD 和 △EFD 中，

∠DGC = ∠DFE，∠1=∠2，CD = DE，

∴ △DCG ≌ △DEF，

∴ EF = CG，

∵ AD∥BC , AB⊥BC, AD = 2，BC = 3，

∴ BG = AD = 2，

∴ CG = 1，EF = 1，△EAD 的面積與 α 無關(guān) .