（2）全等三角形：能夠完全重合的三角形叫做全等三角形。
（3）全等三角形的表示方法：比如△BCD≌△AEF
（4）全等三角形的性質(zhì)：
①全等三角形的對應邊相等；
②全等三角形的對應角相等；
③全等三角形周長、面積相等。
4. 三角形全等的判定定理
（1）一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS。
（2）直角三角形：HL，SAS，ASA，AAS，SSS。
5. 直角三角形：
（1）直角三角形的性質(zhì)：
①直角三角形中兩銳角互余。
②如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
③在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。
④在直角三角形中，有一個角為90°。
⑤在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。
⑥在直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2＋b2＝c2。
（2）直角三角形的判定：
①有一個角為90°的三角形為直角三角形。
②有兩個角互余的三角形為直角三角形。
③如果三角形的三邊長a、b、c，有下面關(guān)系：
a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形。
6. 作三角形
（1）已知三邊作三角形。
（2）已知兩邊及其夾角作三角形
（3）已知兩角及其夾邊作三角形
六、規(guī)律與方法
1. 三角形的邊角關(guān)系：
（1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。
（2）三角形內(nèi)角和等于180°。
（3）三角形的任一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。
2. 三角形的分類：
3. 證明線段相等的方法：
（1）可證明它們所在的兩個三角形全等。
（2）角平分線性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊距離相等。
（3）等角對等邊。
（4）等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。
（5）垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。
（6）等式的性質(zhì)。
（7）中點的定義。
4. 證明角相等的方法：
（1）同角（等角）的余角相等。
（2）同角（等角）的補角相等。
（3）平行線的性質(zhì)：
①兩直線平行，同位角相等。
②兩直線平行，內(nèi)錯角相等。
（4）全等三角形的對應角相等。
（5）等邊對等角。
（6）角平分線的定義。
（7）等式的性質(zhì)。
（8）對頂角相等。
5. 證明垂直的方法
（1）證鄰補角相等。
（2）證和已知直角三角形全等。
（3）勾股定理的逆定理。
6. 常見輔助線的作法：
（1）在△ABC中，如AD是中線，常采用的作法是：
①延長AD到E，使DE＝AD，連結(jié)BE（或過B作BE∥AC，交AD的延長線于E），如圖甲。
②取AC的中點E，連結(jié)DE（或過D作DE∥BA，交AC于E），如圖乙。
③延長BA至E，使AE＝AB，連結(jié)CE（或過C作CE∥AD交BA的延長線于E），如圖丙。
（2）在△ABC中，若AD是∠BAC的平分線，常采用的作法是：
①延長BA至E，使AE＝AC，連結(jié)CE（或過C作CE∥AD，交BA的延長線于E），如圖甲。
②在較長邊AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE，如圖乙。
③過C作CE∥AB，交AD的延長線于E，如圖丙。
④過D作DE∥AB，交AC于E，如圖丁。
（3）在△ABC中，若D是AB的中點，常采用的作法是：
①過D作DE∥BC，交AC于E。
②取AC的中點E，連結(jié)DE。
③連結(jié)CD，用中線的性質(zhì)。
④若已知△ABC為特殊三角形，可利用特殊三角形的性質(zhì)：如為等腰三角形，考慮頂點平分線；若為直角三角形，考慮斜邊中線；若為有一個角是30°的直角三角形，考慮斜邊中線及30°角所對邊之間的關(guān)系，?？勺鞒鲋芯€。
七、數(shù)學思想方法
1. 通過學習，逐步學會運用分析、綜合、歸納、概括及類比的方法，逐步發(fā)展有條理的思考和表達能力。
2. 轉(zhuǎn)化的思想：將復雜問題轉(zhuǎn)化，分解，將實際問題轉(zhuǎn)化成幾何問題解決。
3. 圖形處理方法：
（1）分解圖形法：
復雜圖形都是由較簡單的基本圖形組成，故可將復雜圖形分解成基本圖形。
（2）構(gòu)造圖形的方法：
當直接說明問題有困難時，常添加輔助線，構(gòu)造圖形達到解題目的。
八、掌握以下8類問題及其解法，并領(lǐng)會其中的數(shù)學思想：
1. 能夠利用三角形全等的判定及其性質(zhì)，證明線段或角相等，領(lǐng)會全等形的思想。
2. 能夠利用等腰三角形和直角三角形的特殊性質(zhì)解題，領(lǐng)會一般與特殊的關(guān)系。
3. 能夠理解旋轉(zhuǎn)，角平分線的概念及其性質(zhì)，領(lǐng)會對稱思想。
4. 能夠理解逆命題與逆定理的概念，領(lǐng)會對立統(tǒng)一的思想。
5. 通過幾何問題一題多解的研究和推理論證分析綜合的訓練，滲透轉(zhuǎn)化思想和辨證唯物主義觀點。
6. 通過對實際問題的研究體現(xiàn)理論聯(lián)系實際的思想。
7. 通過用代數(shù)方法解決幾何問題又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方程的思想。
8. 能夠運用尺規(guī)作圖，將作圖問題轉(zhuǎn)化為基本作圖，領(lǐng)會化歸思想。
【典型例題】
（一）構(gòu)造全等三角形法：
例1. 已知：如圖，AB∥CD，AD∥BC，證明：AB＝DC，AD＝BC
分析：需得到AB＝DC，AD＝BC，需構(gòu)造三角形，因此可添加輔助線：連結(jié)AC。
證明：連結(jié)AC
∵AB∥CD ∴∠1＝∠2
又∵AD∥BC ∴∠3＝∠4
在△ADC和△CBA中
∴AB＝DC，AD＝BC（全等三角形的對應邊相等）
例2. 如圖，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD的延長線于E，求證：BD＝2CE。
分析：
證明：延長CE、BA相交于F
在△FBE和△CBE中
在Rt△BEF中，∠2＝90°－∠F
同理∠1＝90°－∠F ∴∠1＝∠2
在△ABD和△ACF中
∴BD＝2CE
小結(jié)：①在題目中如果含有角平分線且含有和這條角平分線垂直的條件時，要想到翻折圖形，此題所作的輔助線，實質(zhì)上是將Rt△BCE以BE所在的直線為軸翻折過去得Rt△BFE。
②此題圖中，可以把BE、CA看成是△FBC的兩條高，注意“∠1＝∠2”這個結(jié)論。
（二）巧用勾股定理
例3. 已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，D為BC上任一點，求證：AB2－AD2＝BD·DC（AB＞AD）
分析：此題的求證中出現(xiàn)了AB2和AD2，由此可聯(lián)想到把它們放到兩個直角三角形中，利用勾股定理可得有AB2和AD2的式子，因此想到作輔助線AE⊥BC于E。
證明：過A作AE⊥BC于E
∵AB＝AC，AE⊥BC
∴BE＝CE，∠AEB＝∠AEC＝90°
在Rt△AEB和Rt△AED中，由勾股定理得：
例4. 如圖，已知四邊形ABCD為正方形，點E為AB的中點，點F在AD邊上，且AF
求證：EF⊥CE
分析：此題中的已知條件告訴了我們邊之間的關(guān)系，若設(shè)AF＝a，則可得正方形邊長為4a，AE＝BE＝2a，DF＝3a，由直角三角形和這些邊的關(guān)系，我們很容易想到勾股定理和其逆定理來證明兩條直線互相垂直。
證明：連結(jié)FC，設(shè)AF＝a，則正方形邊長為4a， AE＝BE＝2a，DF＝3a
由勾股定理得： 在Rt△AEF中，
在Rt△BCE中，
在Rt△CDF中，
由勾股定理的逆定理知△EFC為直角三角形
且CF為斜邊 ∴EF⊥EC
（三）截長補短法：
例5. 如圖甲，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD
分析：此題是證兩條線段的和等于第三邊，這類型的題我們通常采用截長補短法，①截長法即為在這三條最長的線段截取一段使它等于較短線段中的一條，然后證明剩下的一段等于另一條較短的線段。②補短法即為在較短的一條線段上延長一段，使它們等于最長的線段，然后證明延長的這一線段等于另一條較短的線段。
證明一：截長法：
如圖乙，在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE
在△ADE和△ADC中
∵∠C＝∠AED＝∠B＋∠BDE＝2∠B
∴∠EBD＝∠EDB ∴BE＝DE ∴BE＝DC
∴AB＝AE＋EB＝AC＋DC
即AB＝AC＋DC
證明二：補短法
如圖丙，延長AC至E，使AE＝AB，連結(jié)DE
在△ABD和△AED中
∵∠ACB＝2∠B＝∠E＋∠EDC
＝∠B＋∠EDC ∴∠E＝∠EDC ∴CD＝CE
∴AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CD 即AB＝AC＋CD
聯(lián)系客服
