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中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型:求兩條線段最值即“PA PB型”詳細(xì)剖析

①兩定一動(dòng)(將軍飲馬)

解題思路:將其中一個(gè)定點(diǎn)沿著動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡做對(duì)稱,所得到的對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)連接得到一條線段,此線段的長(zhǎng)即為所求的答案。

證明 :如下圖所示,從 B 出發(fā)向河岸引垂線,垂足為 D,在 BD 的延長(zhǎng)線上,取 B 關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn) B',連結(jié) AB',與河岸線相交于 P,則 P 點(diǎn)就是所求作的點(diǎn),只要從 A 出發(fā),沿直線到 P,再由 P 沿直線走到 B,所走的路程就是最短的。

兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):

(1)找準(zhǔn)對(duì)稱軸。動(dòng)點(diǎn)所在的直線即為對(duì)稱軸。

(2)同側(cè)化異側(cè)。同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),通過(guò)作對(duì)稱點(diǎn),轉(zhuǎn)化為對(duì)稱軸異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),連線即與對(duì)稱軸相交,交點(diǎn)即是所求。

將軍飲馬口訣: : “ 和最小,對(duì)稱找”

例題:

②一定兩動(dòng)

解題思路:一定兩動(dòng)型可轉(zhuǎn)化為 “ 兩點(diǎn)之間的連線中,線段最短 ” + “ 垂線段最短 ”

在這個(gè)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換中,關(guān)鍵是作定點(diǎn)(或動(dòng)點(diǎn))關(guān)于動(dòng)折點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)。通過(guò)等量代換將問(wèn)題化為兩定一動(dòng)(將軍飲馬問(wèn)題)

例題:

【小結(jié)】此類問(wèn)題處理方法是將雙動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為單動(dòng)點(diǎn),然后利用將軍飲馬模型。對(duì)于兩動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題可以讓其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)暫時(shí)保持不動(dòng),作此動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),從而將雙動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為單動(dòng)點(diǎn),然后利用將軍飲馬模型,化折為直,最后利用定點(diǎn)到定直線之間垂線段最短找到最小值。

③三動(dòng)點(diǎn)型

已知 Rt△ ABC 中,∠B= 90 °,AB=3,BC=4,D、E、F分別是三邊 AB、BC、CA 上的點(diǎn),則DE+EF+FD 的最小值為_(kāi)_______.

總之,解決這一類動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題,關(guān)鍵在于善于作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn),或動(dòng)點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,這對(duì)于解決動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題有著事中功倍的作用。

關(guān)于找對(duì)稱的方法:①出現(xiàn)垂直找對(duì)稱②角平分線找對(duì)稱③正方形(菱形)對(duì)角線找對(duì)稱④拋物線對(duì)稱軸找對(duì)稱⑤圓中找對(duì)稱

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